Depuis le début des années 90, les automates temporisés et les langages temporisés ont été largement utilisés pour modéliser et vérifier les systèmes temps réels. Ces langages ont été aussi été largement étudiés d'un point de vue théorique. Plus récemment Asarin et Degorre ont introduit les notions de volume et d'entropie des langages temporisés pour quantifier la taille de ces langages et l'information que ses éléments contiennent. Dans cette thèse nous construisons de nouveaux développements à cette théorie (que nous appelons volumétrie des langages temporisés) et l'appliquons a plusieurs problèmes apparaissant dans divers domaine de recherche tel que la théorie de l'information, la vérification, la combinatoire énumérative. Entre autre nous (i) développons une théorie de la dynamique symbolique temporisée~; (ii) caractérisons une dichotomie entre automate temporisé se comportant bien ou mal~; (iii) définissons pour un automate temporisé donné, un processus stochastique d'entropie maximale le moins biaisé possible~; (iv) développons une version temporisé de la théorie des codes sur canal contraint (v) énumérons et générons aléatoirement des permutations dans une certaine classe / Since early 90s, timed automata and timed languages are extensively used for modelling and verification of real-time systems, and thoroughly explored from a theoretical standpoint. Recently Asarin and Degorre introduced the notions of volume and entropy of timed languages to quantify the size of these languages and the information content of their elements. In this thesis we build new developments of this theory (called by us volumetry of timed languages) and apply it to several problems occurring in various domains of theoretical computer science such as verification, enumerative combinatorics or information theory. Among other we (i) develop a theory of timed symbolic dynamics; (ii) characterize a dichotomy between bad behaving and well behaving timed automata; (iii) define a least biased stochastic process for a timed automaton; (iv) develop a timed theory of constrained channel coding; (v)count and generate randomly and uniformly permutations in certain classes

Nous mettons en évidence une condition géométrico-dynamique minimale créant de l'hyperbolicité au voisinage d'un tore homocline transverse partiellement hyperbolique dans un système Hamiltonien presque intégrable à trois degrés de liberté. On en déduit une généralisation du théorème de dynamique symbolique d'Easton. Nous donnons ensuite une estimation optimale du temps de diffusion d'Arnold le long d'une chaîne de transition dans les systèmes Hamiltoniens initialement hyperboliques à trois degrés de liberté en utilisant une chaîne d'orbites périodiques hyperboliques sous-jacente. <br />Nous décrivons ensuite géométriquement à partir d'un système Hamiltonien presque intégrable à trois degrés de liberté à deux paramètres dû à Chirikov, un mécanisme de diffusion mettant en jeu un réseau de plans résonnants parallèles et voisins et un plan résonnant transversal au réseau. Ainsi, nous montrons qu'en dessous d'un certain seuil atteint par le paramètre prépondérant, on peut construire une orbite de transition dérivant en action à travers ce réseau modulationnel. Un des scénarii envisagés, le mécanisme de diffusion modulationnelle, basé sur l'existence de connexions hétéroclines entre tores partiellement hyperboliques issus de deux plans résonnants distincts est valide lorsqu'une condition de chevauchement est vérifiée. <br />Nous étudions enfin le modèle bidimensionnel décrivant un écoulement laminaire avec convection mixte entre deux plaques planes puis dans un tube vertical. Avec des conditions aux bords réduites, nous montrons via le théorème de la variété centrale qu'il existe dans le premier cas une bifurcation de pitchfork pour une valeur critique du nombre de Rayleigh.

Cette thèse aborde une classe de modèles de la dynamique de réseaux d'interaction biologique, en particulier génétique, définis comme systèmes d'équations différentielles affines par morceaux. Les morceaux en question sont des pavés d'un espace euclidien, dont la dimension est le nombre d'éléments en interaction dans le réseau. Chaque coordonnée représente le niveau d'activité d'un des éléments. La thèse se décompose en trois parties. Premièrement, après une brève introduction biologique, les modèles mathématiques les plus connus sont présentés. Les modèles affines par morceaux sont décrits de manière détaillée, et certains liens avec des modèles purement discrets, ainsi qu'avec des modèles différentiables incluant des sigmoïdes, sont précisés. Un récapitulatif détaillé de la littérature sur le sujet est fourni. Dans une deuxième partie, des résultats théoriques sont présentés. L'analyse des orbites périodiques, développée dans la littérature pour des systèmes linéaires par morceaux, est étendue au cas affine par morceaux. Ensuite, un point de vue géométrique et combinatoire est porté sur la dynamique locale, au niveau des pavés décrits plus haut. Les conséquences globales de cette analyse locale sont décrites en termes de dynamique symbolique. Il est montré en particulier que l'entropie topologique des systèmes affines par morceaux est strictement inférieure à celle de modèles purement discrets, pour une large classe de systèmes. La troisième partie concerne l'analyse numérique des systèmes étudiés. Après une présentation des algorithmes implémentés, un jeu de données de simulations en dimension 4 est analysé, ainsi qu'un exemple plus spécifique en dimension 3.

L'emploi de systèmes chaotiques pour la sécurisation de transmissions numériques est l'objectif principal de cette thèse. L'étude de la synchronisation chaotique a tout d'abord été réalisée par des méthodes d'estimation d'état avec un accent important sur la mise en place d'une nouvelle méthode de filtrage de Kalman polynomiale Exacte. Les performances sont ensuite évaluées, en considérant plusieurs critères (EQM, stabilité, consistence), par rapport à d'autres solutions de filtrage de Kalman (EKF, UKF). Une deuxième partie de l'étude concerne les structures de récepteurs adaptés aux systèmes de communication à porteuse chaotique (étalement par séquence chaotique directe). Pour les récepteurs à synchronisation chaotique on utilise des solutions de traitement en bande de base du signal reçu par estimation parallèle. Pour des applications sur des canaux réels difficiles, comme c'est le cas des transmissions acoustiques sous-marines, la synchronisation est réalisée par des méthodes classiques (boucle à verrouillage de retard). On introduit par la suite un nouveau schéma qui estime cette fois, la majorité des trajets énergétiques présents à l'entrée du récepteur. Ce schéma est obtenu en développant l'équation d'observation des coefficients du canal pondérés par la matrice d'auto-corrélation. Deux versions sont ainsi considérées : le cas des séquences d'étalement courtes et le cas des séquences longues. La dernière partie du document est dédiée à la présentation d'une méthode de compression originale qui utilise la dynamique symbolique chaotique ; celle-ci réalise le codage d'une séquence informationnelle sous la forme d'un intervalle de conditions initiales.

Nous étudions le modèle des automates cellulaires en adoptant successivement deux points de vue --celui des représentations syntaxiques locales puis celui des dynamiques globales-- et en cherchant à établir des liens entre eux par différentes approches ou outils --algébrique, combinatoire, et de la théorie de la calculabilité. Au cours de notre étude de la structure des règles de transition locales, nous introduisons une nouvelle classe d'automates (appelés automates cellulaires captifs) définie par une contrainte locale très simple. Nous établissons une loi 0-1 sur cette classe qui a pour corollaire que presque tous les automates cellulaires captifs sont intrinsèquement universels. En revanche, nous montrons qu'il est indécidable de savoir si un automate cellulaire captif est intrinsèquement universel ou pas. Dans une seconde partie, nous poursuivons l'étude des automates cellulaires en cherchant au contraire à nous affranchir le plus possible de leur représentation syntaxique pour insister sur leurs propriétés dynamiques globales. Notre problématique devient celle de la classification et de l'étude de notions de complexité selon ce point de vue global. L'outil fondamental est celui de simulation. Nous étendons les résultats de N. Ollinger sur les structures de pré-ordre (nouvelles relations de simulations et nouvelles propriétés induisant des structures d'idéal ou de filtre) et étudions également l'effet du produit cartésien sur ces structures. Nous établissons une construction qui peut s'interpréter comme un produit cartésien limite et nous permet d'exhiber des chaînes infinies croissantes de longueur omega+omega dans l'un des pré-ordres étudiés. Enfin, nous nous intéressons aux dynamiques séquentielles et aux automates cellulaires universels pour le calcul Turing. Nous construisons un treillis infini d'automates cellulaires Turing-universels qui sont tous à distance infinie de tout automate cellulaire intrinsèquement universel.

Cette thèse est consacrée à l'étude des décalages, ou encore systèmes dynamiques symboliques, définis sur certains monoïdes finiment présentés, $Z^d$ d'une part et les arbres d'autre part. Le principal résultat concernant les décalages multidimensionnels établit que tout décalage effectif de dimension d est obtenu par facteur et sous-action projective d'un décalage de type fini de dimension d+1. De ce résultat nous déduisons que les décalages S-adiques multidimensionnels donnés par une suite effective de substitutions sont sofiques. Sur les décalages d'arbres nous montrons un théorème de décomposition, qui permet d'écrire une conjugaison entre deux décalages d'arbres quelconques comme une suite finie d'opérations élémentaires, les fusions entrantes et les éclatements entrants. De ce théorème, associé à la commutation des fusions entrantes, nous déduisons la décidabilité du problème de conjugaison entre deux décalages d'arbres de type fini. Nous nous intéressons ensuite à la classe des décalages d'arbres sofiques, qui sont exactement ceux reconnus par des automates d'arbres montants dans lesquels tous les états sont à la fois initiaux et finaux. Nous montrons l'existence d'un unique automate d'arbres déterministe, réduit, irréductible et synchronisé qui reconnaît un décalage d'arbres sofique. Enfin nous montrons que l'appartenance à la sous-classe des décalages d'arbres AFT est décidable

Les sous-décalages sont des ensembles de coloriages d'un groupe définis en excluant certains motifs, et munis d'une action de décalage. Ces objets apparaissent naturellement comme discrétisations de systèmes dynamiques : à partir d'une partition de l'espace, on associe à chaque point de ce-dernier la suite des partitions visitées sous l'action du système.Plusieurs résultats récents ont mis en évidence la riche interaction entre la dynamique des sous-décalages et leur propriétés algorithmiques. Un exemple remarquable est la classification des entropies des sous-décalages multidimensionnels de type fini comme l'ensemble des nombres récursivement énumérables à droite. Cette thèse s'intéresse aux sous-décalages avec une approche double : d'un côté on s'intéresse à leurs propriétés dynamiques et de l'autre on les étudie comme des modèles de calcul.Cette thèse contient plusieurs résultats : une condition combinatoire suffisante prouvant qu'un sous-décalage dans un groupe dénombrable est non-vide, un théorème de simulation qui réalise une action effective d'un groupe de type fini comme un facteur d'une sous-action d'un sous-décalage de type fini, une caractérisation de l'effectivité à l'aide de machines de Turing généralisées et l'indécidabilité du problème de torsion pour deux groupes, qui sont invariants de systèmes dynamiques.Comme corollaires de nos résultats, nous obtenons d'abord une preuve courte de l'existence de sous-décalages fortement apériodiques sur tout groupe dénombrable. Puis, dans le cas d'un produit semi-direct de la grille bidimensionnelle avec un groupe de type fini avec problème du mot décidable, nous montrons que le sous-décalage obtenu est de type fini. / Shift spaces are sets of colorings of a group which avoid a set of forbidden patterns and are endowed with a shift action. These spaces appear naturally as discrete versions of dynamical systems: they are obtained by partitioning the phase space and mapping each element into the sequence of partitions visited by its orbit.Severa! breakthroughs in this domain have pointed out the intricate relationship between dynamics of shift spaces and their computability properties. One remarkable example is the classification of the entropies of multidimensional subshifts of finite type as the set of right recursively enumerable numbers. This work explores shift spaces with a dual approach: on the one hand we are interested in their dynamical properties and on the ether hand we studythese abjects as computational models.Four salient results have been obtained as a result of this approach: (1) a combinatorial condition ensuring non-emptiness of subshifts on arbitrary countable groups; (2) a simulation theorem which realizes effective actions of finitely generated groups as factors of a subaction of a subshift of finite type; (3) a characterization of effectiveness with oracles using generalized Turing machines and (4) the undecidability of the torsion problem for two group invariants of shift spaces.As byproducts of these results we obtain a simple proof of the existence of strongly aperiodic subshifts in countable groups. Furthermore, we realize them as subshifts of finite type in the case of a semidirect product of a d-dimensional integer lattice with a finitely generated group with decida ble word problem whenever d> 1.

Ce travail est consacré à l'étude de systèmes de Lyndon (pour la relation d'ordre alterné) et àla dynamique symbolique des développements des nombres en base négative. Pour un réel ß > 1fixé, nous construisons un code préfixe récurrent positif permettant non seulement de montrerl'intrinsèque ergodicité du —ß-shift mais aussi de déterminer la fonction zêta qui lui est associée.Nous étudions les conditions pour lesquelles le —ß-shift possède la spécification.En outre, lorsque ß est strictement plus petit que le nombre d'or, le langage du —ß-shift admet desmots intransitifs. Cet état de fait engendre dans le système dynamique des cylindres négligeablespar rapport à la mesure d'entropie maximale. Ces cylindres génèrent sur Iß=[—ß/(ß+1),1/(ß+1)[ depetits intervalles de mesure nulle (la mesure considérée étant l'unique mesure ergodique sur Iß).Nous en faisons une étude détaillée, en particulier nous déterminons ces intervalles "trous".Par ailleurs, nous étudions l'unicité des systèmes de numération des entiers relatifs en base négative et nous montrons qu'à chaque mot de Lyndon correspond un tel système. / This work deals with the study of the Lyndon systems (for alternate order) and the symbolicdynamics of the expansions of real numbers in negative base. For a given real ß > 1, we showthe intrinsic ergodicity of the —ß-shift using a positive recurring prefix code and we determine theassociated zeta function. We study the conditions for which the —ß-shift admits the specificationproperty.Moreover, when ß is less than golden ratio, the language of the —ß-shift contains intransitive words.These words lead to some cylinders negligible with respect to the measure with maximal entropy.In the interval Iß=[—ß/(ß+1),1/(ß+1)[, these cylinders correspond to some gaps: small interval withmeasure zero (with respect to the unique ergodic measure on Iß). We make a detailed study ofthese gaps.Otherwise, we study the uniqueness of the number systems of integers in negative base and weshow that to each Lyndon word corresponds to a such system.

Ce travail de thèse porte sur la dynamique du flot linéaire des surfaces de translation et de sa renormalisation par le flot de Teichmüller introduite par H. Masur et W. Veech en 1982. Une version combinatoire de cette renormalisation, l'induction de Rauzy sur les échanges d'intervalles, fût introduite auparavant par G. Rauzy en 1979. D'une part, nous faisons une étude combinatoire des classes de Rauzy qui forment une partition de l'ensemble des permutations irréductibles et interviennent dans l'algorithme d'induction de Rauzy. Nous donnons une formule pour la cardinalité de chaque classe. D'autre part, nous étudions un modèle de billard infini périodique dans le plan appelé le "vent dans les arbres" introduit dans une version stochastique par P. et T. Ehrenfest en 1912 et par J. Hardy et J. Weber en 1980 dans la version périodique. Nous construisons une famille de directions pour lesquelles le flot du billard est divergent donnant ainsi des exemples de Z^2-cocycles divergents au-dessus d'échanges d'intervalles. De plus, nous démontrons que le taux polynomial de diffusion générique est 2/3 autrement dit que la distance maximale atteinte par une particule au temps t est de l'ordre de t^2/3. / In this thesis, we study the dynamics of the linear flow of translation surfaces and its renormalization by the Teichmüller flow introduced by H. Masur and W. Veech in 1982. A combinatorial version of the renormalization, the Rauzy induction on interval exchange transformations, was introduced by G. Rauzy in 1979. First of all, we consider the combinatorics of Rauzy classes which form a partition of the set of irreducible permutations and are part of the Rauzy induction. In a second time, we consider an infinite Z^2-periodic billiard in the plane called the wind-tree model. It was introduced in a stochastic version by P. and T. Ehrenfest in 1912 and in the periodic version by J. Hardy and J. Weber in 1980. We construct a family of directions for which the flow of the billiard is divergent and hence give examples of divergent Z^2-cocycles over interval exchange transformations. Moreover, we prove that the polynomial rate of diffusion is generically 2/3. In other words, the maximal distance reached by a particule below time t has the order of t^2/3.

Cette thèse est consacrée à l'étude des décalages, ou encore systèmes dynamiques symboliques, définis sur certains monoïdes finiment présentés, $Z^d$ d'une part et les arbres d'autre part. Le principal résultat concernant les décalages multidimensionnels établit que tout décalage effectif de dimension d est obtenu par facteur et sous-action projective d'un décalage de type fini de dimension d+1. De ce résultat nous déduisons que les décalages S-adiques multidimensionnels donnés par une suite effective de substitutions sont sofiques. Sur les décalages d'arbres nous montrons un théorème de décomposition, qui permet d'écrire une conjugaison entre deux décalages d'arbres quelconques comme une suite finie d'opérations élémentaires, les fusions entrantes et les éclatements entrants. De ce théorème, associé à la commutation des fusions entrantes, nous déduisons la décidabilité du problème de conjugaison entre deux décalages d'arbres de type fini. Nous nous intéressons ensuite à la classe des décalages d'arbres sofiques, qui sont exactement ceux reconnus par des automates d'arbres montants dans lesquels tous les états sont à la fois initiaux et finaux. Nous montrons l'existence d'un unique automate d'arbres déterministe, réduit, irréductible et synchronisé qui reconnaît un décalage d'arbres sofique. Enfin nous montrons que l'appartenance à la sous-classe des décalages d'arbres AFT est décidable / This thesis is devoted to the study of subshifts, or symbolic dynamical systems, defined on some finitely presented monoids like $Z^d$ or the infinite binary tree. The main result concerning multidimensional subshifts establishes that any effective subshift of dimension d can be obtained by factor map and projective subaction of a subshift of finite type of dimension d+1. This result has many applications, and in particular we prove that multidimensional effective S-adic subshifts are sofic. On tree-shifts we prove a decompositiontheorem, which implies that the conjugacy problem between two tree-shifts of finite type is decidable. We then investigate the class of sofic tree-shifts that are exactly those recocognized by tree automata. We prove that any sofic tree-shift has a unique deterministic, reduced, irreducible and synchronized tree automaton that recognized it. Finally we prove that it is decidable wether a sofic tree-shift belong to the sub-class of AFT tree-shifts