Dans ce travail, nous nous intéressons aux séries rationnelles et aux matrices génériques non commutatives. Dans le premier chapitre, on étudiera les polynômes de cliques du graphe pondéré. Soit C un graphe simple non orienté (sans boucles), on lui associe la somme des monômes (-1)i CiXi où Ci est le nombre de sous-graphes complets (cliques) sur i sommets. En pondérant les sommets par des entiers non négatifs, on définit les polynômes de cliques du graphe pondéré C comme étant la somme des monômes (-1)|B|xdeg(B), où B est un sous-graphe complet de C. On va montrer que l'ensemble de tels polynômes coïncide avec l'ensemble des polynômes réciproques des polynômes caractéristiques de matrices à coefficients entiers non négatifs. Au chapitre 2, on va généraliser ce polynôme une fois de plus en pondérant les sommets du graphe simple par des monômes de la forme αxd , où α est un réel positif et d, un entier non négatif. On va lui associer le polynôme de cliques généralisé comme la somme (-1)IBI (∏sЄB αsxds ), où B est un sous-ensemble commutatif de C et s est un sommet de B. On va montrer que l'ensemble de ces polynômes coïncide exactement avec l'ensemble des polynômes réciproques des polynômes caractéristiques à coefficients réels non négatifs. Le troisième chapitre porte sur la N-rationalité de certaines classes de séries. Tout d'abord, on va établir les conditions nécessaires et suffisantes nous permettant de décider de la N-rationalité d'une série de la forme (1-ax +bxk)-1, où a Є N, b Є Z, k ≥ 2 . Par la suite, on fera de même pour les séries de la forme (1-ax + bx2 + cx3)-1, où a Є N et b, c Є Z. Au Chapitre 4, on étudiera les propriétés des fonctions zêta associées aux automates et aux codes. On va montrer que le nombre de chemins bi-infinis dans A dont la période est n est égal au rang stable d'un certain mot non vide w; i.e. le rang de wn pour un n suffisamment grand. Par ailleurs, on montrera plusieurs propriétés de cette série telles la N-rationalité, l'apériodicité ou la divergence. Étant donné que plusieurs de ces résultats sont valides pour des automates non ambigus, ceux-ci s'appliqueront aux codes. On y présentera les propriétés de la fonction zêta des codes complets, des codes purs, des codes circulaires et des codes bifixes. Le chapitre 5 portera sur les matrices génériques stochastiques, i.e. les matrices à variables non commutatives soumises aux conditions stochastiques (somme des éléments de chaque ligne vaut 1). Il est bien connu dans la littérature que toute matrice stochastique a 1 comme valeur propre dont le vecteur propre à droite associé est t (1, ... , 1). Mais qu'en est-il du vecteur propre à gauche associé à cette même valeur propre? Dans le cas commutatif, on montrera que ce vecteur de la matrice M est le vecteur ligne des mineurs principaux M - In. Dans le cas non-commutatif, on montrera que les éléments de ce vecteur sont les inverses des dérivations des codes reconnus par l'automate dont M est la matrice associée, évalués dans un corps libre. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Séries rationnelles, Codes à longueurs variables, Fonction zêta, Automate, Corps libre, Matrices génériques, Polynômes de cliques.

Cette thèse est consacrée à l'étude des valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers impairs. Quatre résultats sont démontrés : - Soit $a$ un nombre rationnel, $\vert a \vert <1$. Le Q-espace vectoriel engendré par $1, Li_1(a), Li_2(a),...$ est de dimension infinie. - Le Q-espace vectoriel engendré par $1, \zeta(3), \zeta(5), \zeta(7),...$ est de dimension infinie. - Il existe un entier impair $j$, $5\le j \le 169$ tel que $1, \zeta(3), \zeta(j)$ sont linéairement indépendants sur Q. - Au moins un des neuf nombres $\zeta(5), \zeta(7),..., \zeta(21)$ est irrationnel.

Nous étudions la répartition des zéros non triviaux de la fonction Zêta de Riemann. Plus précisément, nous montrons qu'il n'y en a pas dans une région à gauche de l'axe $\Re s =1$ de la forme : \Re s \ge 1- \frac1(R_0 \log (|\Im s|+2)), où R_0=5.70175. Les méthodes élaborées dans ce cas se généralisent alors à celui des fonctions de Dirichlet et nous établissons que les fonctions L associées à un module q fixé ne s'annulent jamais dans la région~: \Re s \ge 1- \frac1(R_1 \log(q\max(1,|\Im s|))) où R_1=6.4355, à l'exception d'au plus une d'entre elles qui correspondrait alors à un caractère réel et qui aurait au plus un zéro réel dans cette zone (qu'on appelle zéro de Siegel). De plus, nous précisons que chaque fonction associée à un caractère donné possède au plus quatre zéros très proches de l'axe réel dans la région \Re s \ge 1- \frac1(R_4 \log(q\max(1,|\Im s|))) où R_4=2.58208. Enfin, nous appliquons nos résultats à la répartition des nombres premiers dans une progression arithmétique de la forme (a+nq). Nous établissons ainsi que le plus petit d'entre eux (qu'on notera P(a,q)) vérifie P(a,q) \le \exp\big(\alpha(\log q)^2\big) où \alpha=6.95015 pour q\ge10^6.

Nous exprimons la mesure de Mahler 2-supérieure et 3-supérieure de certaines fonctions rationnelles en terme de valeurs spéciales de la fonction zêta, de fonctions L et de polylogarithmes multiples. Les résultats obtenus sont une généralisation de ceux obtenus dans [10] pour la mesure de Mahler classique. On améliore un de ces résultats en réduisant une combinaison linéaire de polylogarithmes multiples en termes de valeurs spéciales de fonctions L. On termine avec la réduction complète d’un cas particuler. / The 2-higher and 3-higher Mahler measure of some rational functions are given in terms of special values of the Riemann zeta function, a Dirichlet L-function and multiple polylogarithms. Our results generalize those obtained in [10] for the classical Mahler measure. We improve one of our results by providing a reduction for a certain linear combination of multiple polylogarithms in terms of Dirichlet L-functions. We conclude by giving a complete reduction of a special case.

Nous traitons deux problèmes liés aux séries de Dirichlet. Nous étudions d'abord le prolongement analytique d'une certaine classe de séries de Dirichlet à deux variables : g(s_1,s_2,a,r)=∑ (d≥1) r(d)a(d)^{-s_1}d^{-s_2}, où a(d) est une fonction multiplicative strictement positive et r(d) est une fonction multiplicative. Nous démontrons, sous certaines hypothèses, un théorème général qui permet d'approcher cette série de Dirichlet par une série connue, modulo une autre série pour laquelle nous obtenons des majorations très précises. Nous utilisons ensuite cet outil pour obtenir des résultats quantitatifs sur la distribution des valeurs de fonctions arithmétiques. Sous certaines hypothèses sur les fonctions a(d) et r(d), nous déterminons la limite lorsque X tend vers l'infini de X^{-1}∑ (d≤X, a(d)≤z) r(d) (0

Nous exprimons la mesure de Mahler 2-supérieure et 3-supérieure de certaines fonctions rationnelles en terme de valeurs spéciales de la fonction zêta, de fonctions L et de polylogarithmes multiples. Les résultats obtenus sont une généralisation de ceux obtenus dans [10] pour la mesure de Mahler classique. On améliore un de ces résultats en réduisant une combinaison linéaire de polylogarithmes multiples en termes de valeurs spéciales de fonctions L. On termine avec la réduction complète d’un cas particuler. / The 2-higher and 3-higher Mahler measure of some rational functions are given in terms of special values of the Riemann zeta function, a Dirichlet L-function and multiple polylogarithms. Our results generalize those obtained in [10] for the classical Mahler measure. We improve one of our results by providing a reduction for a certain linear combination of multiple polylogarithms in terms of Dirichlet L-functions. We conclude by giving a complete reduction of a special case.

Nous considérons la fonction zêta d’Epstein des réseaux euclidiens pour étudier le problème des minima de la hauteur du tore plat associé à un réseau. La hauteur est définie comme la dérivée au point s = 0 de la fonction zêta spectrale du tore, fonction qui coïncide, à un facteur près, avec la fonction zêta d’Epstein du réseau dual du réseau donné. Nous donnons dans cette dissertation une condition suffisante pour qu’un réseau donné soit un point critique de la hauteur. En particulier, en utilisant la théorie des designs sphériques, nous montrons qu’un réseau qui a des 2-designs sphériques sur toutes ses couches est un point critique de la hauteur. Nous donnons un algorithme pour tester si un réseau donné satisfait cette condition de 2-designs, et nous donnons des tables de résultats en dimension jusqu’à 7. Ensuite, nous montrons qu’un réseau qui réalise un minimum local de la hauteur est nécessairement irréductible. Enfin, nous nous intéressons à certains tores définis sur les corps de nombres quadratiques imaginaires, et nous prouvons une formule qui donne leur hauteur comme limite d’une suite de hauteurs de tores complexes discrets. / In this thesis we consider the Epstein zeta function of Euclidean lattices, in order to study the problem of the minima of the height of the flat torus associated to a lattice. The height is defined as the first derivative at the point s = 0 of the spectral zeta function of the torus ; this function coincides, up to a factor, with the Epstein zeta function of the dual lattice of the given lattice. We describe a sufficient condition for a given lattice to be a stationary point of the height. In particular, by means of the theory of spherical designs, we show that a lattice which has a spherical 2-design on every shell is a stationary point of the height. We give an algorithm to check whether a given lattice satisfies this 2-design condition or not, and we give some tables of results in dimension up to 7. Then, we show that a lattice which realises a local minimum of the height is necessarily irreducible. Finally, we deal with some tori defined over the imaginary quadratic number fields, and we show a formula which gives their height as a limit of a sequence of heights of discrete complex tori.

Ce travail est consacré à l'étude de systèmes de Lyndon (pour la relation d'ordre alterné) et àla dynamique symbolique des développements des nombres en base négative. Pour un réel ß > 1fixé, nous construisons un code préfixe récurrent positif permettant non seulement de montrerl'intrinsèque ergodicité du —ß-shift mais aussi de déterminer la fonction zêta qui lui est associée.Nous étudions les conditions pour lesquelles le —ß-shift possède la spécification.En outre, lorsque ß est strictement plus petit que le nombre d'or, le langage du —ß-shift admet desmots intransitifs. Cet état de fait engendre dans le système dynamique des cylindres négligeablespar rapport à la mesure d'entropie maximale. Ces cylindres génèrent sur Iß=[—ß/(ß+1),1/(ß+1)[ depetits intervalles de mesure nulle (la mesure considérée étant l'unique mesure ergodique sur Iß).Nous en faisons une étude détaillée, en particulier nous déterminons ces intervalles "trous".Par ailleurs, nous étudions l'unicité des systèmes de numération des entiers relatifs en base négative et nous montrons qu'à chaque mot de Lyndon correspond un tel système. / This work deals with the study of the Lyndon systems (for alternate order) and the symbolicdynamics of the expansions of real numbers in negative base. For a given real ß > 1, we showthe intrinsic ergodicity of the —ß-shift using a positive recurring prefix code and we determine theassociated zeta function. We study the conditions for which the —ß-shift admits the specificationproperty.Moreover, when ß is less than golden ratio, the language of the —ß-shift contains intransitive words.These words lead to some cylinders negligible with respect to the measure with maximal entropy.In the interval Iß=[—ß/(ß+1),1/(ß+1)[, these cylinders correspond to some gaps: small interval withmeasure zero (with respect to the unique ergodic measure on Iß). We make a detailed study ofthese gaps.Otherwise, we study the uniqueness of the number systems of integers in negative base and weshow that to each Lyndon word corresponds to a such system.

On s'intéresse, dans cette thèse, à des questions concernant le nombre maximum de points rationnels d'une courbe singulière définie sur un corps fini, sujet qui, depuis Weil, a été amplement abordé dans le cas lisse. Cette étude se déroule en deux temps. Tout d'abord on présente une construction de courbes singulières de genres et corps de base donnés, possédant un grand nombre de points rationnels : cette construction, qui repose sur des notions et outils de géométrie algébrique et d'algèbre commutative, permet de construire, en partant d'une courbe lisse X, une courbe à singularités X', de telle sorte que X soit la normalisée de X', et que les singularités ajoutées soient rationnelles sur le corps de base et de degré de singularité prescrit. Ensuite, en utilisant une approche euclidienne, on prouve une nouvelle borne sur le nombre de points fermés de degré deux d'une courbe lisse définie sur un corps fini.La combinaison de ces résultats, à priori indépendants, permet notamment d'étudier le problème de savoir quand la borne d'Aubry-Perret, analogue de la borne de Weil dans le cas singulier, est atteinte. Cela nous amène de façon naturelle à l'étude des propriétés des courbes maximales et, lorsque la cardinalité du corps de base est un carré, à l'analyse du spectre des genres de ces dernières. / In this PhD thesis, we focus on some issues about the maximum number of rational points on a singular curve defined over a finite field. This topic has been extensively discussed in the smooth case since Weil's works. We have split our study into two stages. First, we provide a construction of singular curves of prescribed genera and base field and with many rational points: such a construction, based on some notions and tools from algebraic geometry and commutative algebra, yields a method for constructing, given a smooth curve X, another curve X' with singularities, such that X is the normalization of X', and the added singularities are rational on the base field and with the prescribed singularity degree. Then, using a Euclidian approach, we prove a new bound for the number of closed points of degree two on a smooth curve defined over a finite field.Combining these two a priori independent results, we can study the following question: when is the Aubry-Perret bound (the analogue of the Weil bound in the singular case) reached? This leads naturally to the study of the properties of maximal curves and, when the cardinality of the base field is a square, to the analysis of the spectrum of their genera.

A toute variété algébrique on peut associer différents objets algébrico-géométriques qui rendent compte en particulier des singularités de la variété. Cette thèse traite de l'interaction entre l'étude des singularités, le schéma des arcs et le module des dérivations dans le cadre des courbes algébriques affines planes. Elle démontre que les d-tissus quasi-homogènes incomplets sont linéarisables pour d > 3 en utilisant un théorème d'Alain Hénaut. Enfin, dans un dernier chapitre, cette thèse introduit le formalisme des fonctions zêta motiviques associées à une 1-forme locale. / To any algebraic variety one can associate several algebraic-geometric objets which in particular provide information on the singularities of the variety. This thesis deals with the interaction between the study of singularities, arc spaces and derivations module in the context of affine algebraic plane curves. Using a theorem of Alain Hénaut, we show that quasi-homogeneous incomplete d-webs are linearizable for d > 3. Finally, in the last chapter, this thesis intoduces the formalism of motivic zêta function of a local 1-form.