Nous traitons deux problèmes liés aux séries de Dirichlet. Nous étudions d'abord le prolongement analytique d'une certaine classe de séries de Dirichlet à deux variables: g(s_1,s_2,a,r) = somme_d=1 r(d) / a(d)s1ds2, où a(d) est une fonction multiplicative strictement positive et r(d) est une fonction multiplicative. Nous démontrons, sous certaines hypothèses, un théorème général qui permet d'approcher cette série de Dirichlet par une série connue, modulo une autre série pour laquelle nous obtenons des majorations très précises. Nous utilisons ensuite cet outil pour obtenir des résultats quantitatifs sur la distribution des valeurs de fonctions arithmétiques. Sous certaines hypothèses sur les fonctions a(d) et r(d), nous déterminons lim_x?8 1/X somme_d<x_a(d)<z r(d) (0<z=X) et mesurons la vitesse de convergence vers la loi limite. La classe de fonctions a(d) est beaucoup plus large que celle considérée jusqu'à maintenant. L'introduction de r(d) semble nouvelle. / We deal with two problems related to Dirichlet series. First we study the analytic continuation of a class of Dirichlet series with two variables: g(s_1,s_2,a,r) = sum_d=1 r(d) / a(d)s1ds2, where a(d) is a positive multiplicative function and r(d) is a multiplicative function. We prove, under suitable hypotheses, a general Theorem which allows us to approach this Dirichlet series by a known series, up to another series for which we get very precise upper bounds. Then we use this tool to get quantitative results on the distribution of values of arithmetical functions. Under suitable hypotheses on the functions a(d) and r(d), we determine lim_x?8 1/X sum_d<x_a(d)<z r(d) (0<z=X) and estimate the rate of convergence towards the limit distribution. The class of functions a(d) is much wider than that considered so far. The introduction of r(d) seems to be new.

Ce travail est consacré à l'étude de trois problèmes liés à l'évaluation de sommes de fonctions multiplicatives sur les entiers friables. On dit qu'un nombre entier n est y-friable si son plus grand facteur premier P(n) n'excède pas y. Dans une première partie, nous considérons une fonction multiplicative aléatoire au sens de Wintner, c'est-à-dire une fonction arithmétique multiplicative f supportée par les entiers sans facteur carré, telle que, pour tout entier premier p, f(p) est une variable aléatoire de Bernoulli prenant les valeurs +1 et -1 avec probabilité 1/2. Dans la continuité de travaux de Wintner, Erdös, Halasz, Lau, Tenenbaum et Wu, notre étude est dédiée à l'obtention d'une majoration presque sûre de la fonction sommatoire de f sur les entiers y-friables n'excédant pas x. Un second volet est dévolu à l'évaluation asymptotique des fonctions sommatoires de certaines fonctions multiplicatives, notamment la fonction phi d'Euler, sur les translatés des entiers friables. La méthode employée fait appel à des résultats de répartition des entiers friables dans les progressions arithmétiques. La troisième partie consiste en une étude de la loi moyenne de répartition des diviseurs des entiers friables. Nous établissons le glissement, lorsque le paramètre de friabilité u = (log x)/log y croît, depuis la loi de l'arcsinus (établie en 1979 dans les travaux de Dress, Deshouillers et Tenenbaum) jusqu'à une loi approximativement gaussienne. La loi limite obtenue s'exprime au moyen d'une convolution faisant apparaître les fonctions de Dickman / This dissertation is devoted to studying three problems, all linked to estimates for sums of multiplicative functions over friable integers. An integer n is called y-friable if its largest prime factor P(n) does not exceed y. In a first part, we consider a random multiplicative function in the sense of Wintner, i.e. a multiplicative arithmetic function f supported on squarefree integers and such that, for each prime p, f(p) is a Bernoulli random variable taking each value +1 and -1 with probability 1/2. Elaborating on previous works by Wintner, Erdös, Halasz, Lau, Tenenbaum and Wu, we investigate upper bounds for the summatory function of f over y-friable integers not exceeding x. In the second part, we provide asymptotic estimates for sums of certain multiplicative functions, including Euler's totient, over shifted friable integers. This study depends on the distribution of friable integers in arithmetic progressions. In the third part, we consider a friable extension of the Arcsine law for the mean distribution of the divisors of integers. The original study is due to Deshouillers, Dress and Tenenbaum (1979). We describe the limit law in terms of the Dickman functions and we show that, as the friability parameter u = (log x)/log y increases, the mean distribution drifts from the Arcsine law towards a Gaussian behaviour

Le sujet principal de cette thèse est l’étude des valeurs moyennes et corrélations de fonctions multiplicatives. Les résultats portant sur ces derniers sont subséquemment appliqués à la résolution de plusieurs problèmes. Dans le premier chapitre, on rappelle certains résultats classiques concernant les valeurs moyennes des fonctions multiplicatives. On y énonce également les théorèmes principaux de la thèse. Le deuxième chapitre consiste de l’article “Mean values of multiplicative functions over the function fields". En se basant sur des résultats classiques de Wirsing, de Hall et de Tenenbaum concernant les fonctions multiplicatives arithmétiques, on énonce et on démontre des théorèmes qui y correspondent pour les fonctions multiplicatives sur les corps des fonctions Fq[x]. Ainsi, on résoud un problème posé dans un travail récent de Granville, Harper et Soundararajan. On décrit dans notre thése certaines caractéristiques du comportement des fonctions multiplicatives sur les corps de fonctions qui ne sont pas présentes dans le contexte des corps de nombres. Entre autres, on introduit pour la première fois une notion de “simulation” pour les fonctions multiplicatives sur les corps de fonctions Fq[x]. Les chapitres 3 et 4 comprennent plusieurs résultats de l’article “Correlations of multiplicative functions and applications". Dans cet article, on détermine une formule asymptotique pour les corrélations X n6x f1(P1(n)) · · · fm(Pm(n)), où f1, . . . ,fm sont des fonctions multiplicatives de module au plus ou égal à 1 ”simulatrices” qui satisfont certaines hypothèses naturelles, et P1, . . . ,Pm sont des polynomes ayant des coefficients positifs. On déduit de cette formule plusieurs conséquences intéressantes. D’abord, on donne une classification des fonctions multiplicatives f : N ! {−1,+1} ayant des sommes partielles uniformément bornées. Ainsi, on résoud un problème d’Erdos datant de 1957 (dans la forme conjecturée par Tao). Ensuite, on démontre que si la valeur moyenne des écarts |f(n + 1) − f(n)| est zéro, alors soit |f| a une valeur moyenne de zéro, soit f(n) = ns avec iii Re(s) < 1. Ce résultat affirme une ancienne conjecture de Kátai. Enfin, notre théorème principal est utilisé pour compter le nombre de représentations d’un entier n en tant que somme a+b, où a et b proviennent de sous-ensembles multiplicatifs fixés de N. Notre démonstration de ce résultat, dû à l’origine à Brüdern, évite l’usage de la “méthode du cercle". Les chapitres 5 et 6 sont basés sur les résultats obtenus dans l’article “Effective asymptotic formulae for multilinear averages and sign patterns of multiplicative functions," un travail conjoint avec Alexander Mangerel. D’après une méthode analytique dans l’esprit du théorème des valeurs moyennes de Halász, on détermine une formule asymptotique pour les moyennes multidimensionelles x−l X n2[x]l Y 16j6k fj(Lj(n)), lorsque x ! 1, où [x] := [1,x] et L1, . . . ,Lk sont des applications linéaires affines qui satisfont certaines hypothèses naturelles. Notre méthode rend ainsi une démonstration neuve d’un résultat de Frantzikinakis et Host avec, également, un terme principal explicite et un terme d’erreur quantitatif. On applique nos formules à la démonstration d’un phénomène local-global pour les normes de Gowers des fonctions multiplicatives. De plus, on découvre et explique certaines irrégularités dans la distribution des suites de signes de fonctions multiplicatives f : N ! {−1,+1}. Visant de tels résultats, on détermine les densités asymptotiques des ensembles d’entiers n tels que la fonction f rend une suite fixée de 3 ou 4 signes dans presque toutes les progressions arithmétiques de 3 ou 4 termes, respectivement, ayant n comme premier terme. Ceci mène à une généralisation et amélioration du travail de Buttkewitz et Elsholtz, et donne un complément à un travail récent de Matomäki, Radziwiłł et Tao sur les suites de signes de la fonction de Liouville. / The main theme of this thesis is to study mean values and correlations of multiplicative functions and apply the corresponding results to tackle some open problems. The first chapter contains discussion of several classical facts about mean values of multiplicative functions and statement of the main results of the thesis. The second chapter consists of the article “Mean values of multiplicative functions over the function fields". The main purpose of this chapter is to formulate and prove analog of several classical results due to Wirsing, Hall and Tenenbaum over the function field Fq[x], thus answering questions raised in the recent work of Granville, Harper and Soundararajan. We explain some features of the behaviour of multiplicative functions that are not present in the number field settings. This is accomplished by, among other things, introducing the notion of “pretentiousness" over the function fields. Chapter 3 and Chapter 4 include results of the article “Correlations of multiplicative functions and applications". Here, we give an asymptotic formula for correlations X n_x f1(P1(n))f2(P2(n)) · · · · · fm(Pm(n)) where f . . . ,fm are bounded “pretentious" multiplicative functions, under certain natural hypotheses. We then deduce several desirable consequences. First, we characterize all multiplicative functions f : N ! {−1,+1} with bounded partial sums. This answers a question of Erdos from 1957 in the form conjectured by Tao. Second, we show that if the average of the first divided difference of multiplicative function is zero, then either f(n) = ns for Re(s) < 1 or |f(n)| is small on average. This settles an old conjecture of Kátai. Third, we apply our theorem to count the number of representations of n = a + b where a,b belong to some multiplicative subsets of N. This gives a new "circle method-free" proof of the result of Brüdern. Chapters 5 and Chapter 6 are based on the results obtained in the article “Effective asymptotic formulae for multilinear averages and sign patterns of multiplicative functions," joint with Alexander Mangerel. Using an analytic approach in the spirit of Halász’ mean v value theorem, we compute multidimensional averages x−l X n2[x]l Y 16j6k fj(Lj(n)) as x ! 1, where [x] := [1,x] and L1, . . . ,Lk are affine linear forms that satisfy some natural conditions. Our approach gives a new proof of a result of Frantzikinakis and Host that is distinct from theirs, with explicit main and error terms. As an application of our formulae, we establish a local-to-global principle for Gowers norms of multiplicative functions. We reveal and explain irregularities in the distribution of the sign patterns of multiplicative functions by computing the asymptotic densities of the sets of integers n such that a given multiplicative function f : N ! {−1, 1} yields a fixed sign pattern of length 3 or 4 on almost all 3- and 4-term arithmetic progressions, respectively, with first term n. The latter generalizes and refines the work of Buttkewitz and Elsholtz and complements the recent work of Matomaki, Radziwiłł and Tao. We conclude this thesis by discussing some work in progress.

Nous traitons deux problèmes liés aux séries de Dirichlet. Nous étudions d'abord le prolongement analytique d'une certaine classe de séries de Dirichlet à deux variables : g(s_1,s_2,a,r)=∑ (d≥1) r(d)a(d)^{-s_1}d^{-s_2}, où a(d) est une fonction multiplicative strictement positive et r(d) est une fonction multiplicative. Nous démontrons, sous certaines hypothèses, un théorème général qui permet d'approcher cette série de Dirichlet par une série connue, modulo une autre série pour laquelle nous obtenons des majorations très précises. Nous utilisons ensuite cet outil pour obtenir des résultats quantitatifs sur la distribution des valeurs de fonctions arithmétiques. Sous certaines hypothèses sur les fonctions a(d) et r(d), nous déterminons la limite lorsque X tend vers l'infini de X^{-1}∑ (d≤X, a(d)≤z) r(d) (0

Un entier est dit y-friable si tous ses facteurs premiers n'excèdent pas y. Les valeurs friables de formes binaires interviennent de manière essentielle dans l'algorithme de factorisation du crible algébrique (NFS). Dans cette thèse, nous obtenons des formules asymptotiques pour le nombre de représentations des entiers friables par différentes familles de polynômes. Nous considérons dans la première partie les formes binaires qui se décomposent comme produit d'une forme linéaire et d'une forme quadratique. Nous combinons pour cela le principe d'inclusion-exclusion à des idées issues de travaux sur la distribution multiplicative de certaines suites d'entiers représentés par des formes quadratiques développés par Fouvry et Iwaniec, puis Balog, Blomer, Dartyge et Tenenbaum. Dans un second temps, nous nous concentrons sur les valeurs friables de formes cubiques irréductibles. En adaptant les travaux de Heath-Brown et Moroz sur les nombres premiers représentés par de tels polynômes, nous obtenons des formules asymptotiques valides dans un vaste domaine de friabilité. Notre méthode permet également d'évaluer des moyennes sur les valeurs d'une forme cubique pour d'autres fonctions arithmétiques comprenant en particulier les fonctions de Möbius et de Liouville. Dans le dernier chapitre, nous étudions les corrélations de l'indicatrice des friables avec les nilsuites. En employant la méthode nilpotente de Green et Tao, nous en déduisons une formule pour le nombre de valeurs friables d'un produit de formes affines deux à deux affinement indépendantes / An integer is called y-friable if its largest prime factor does not exceed y. Friable values of binary forms play a central role in the integer factoring algorithm NFS (Number Field Sieve). In this thesis, we obtain some asymptotic formulas for the number of representations of friable integers by various classes of polynomials. In the first part, we focus on binary forms which split as a product of a linear form and a quadratic form. To achieve this, we combine the inclusion-exclusion principle with ideas based on works of Fouvry and Iwaniec and Balog, Blomer, Dartyge and Tenenbaum related to the distribution of some sequences of integers represented by quadratic forms. We then take a closer look at friable values of irreducible cubic forms. Extending some previous works of Heath-Brown and Moroz concerning primes represented by such polynomials, we provide some asymptotic formulas which hold in a large range of friability. With this method, we also evaluate some means over the values of an irreducible cubic form for other multiplicative functions including the Möbius function and the Liouville function. In the last chapter, we investigate the correlations between nilsequences and the characteristic function of friable integers. By using the nilpotent method of Green and Tao, our work provides a formula for the number of friable integers represented by a product of affine forms such that any two forms are affinely independent

L'objet de cette thèse est l'étude de certaines propriétés arithmétiques et combinatoires de la fonction somme des chiffres. Nous commençons par étudier les sommes d'exponentielles de la forme $dissum_{nleq x}expleft(2ipileft(frac{l}{m}S_q(n)+frac{k}{m'}S_{q}(n+1)+theta nright)right)$ en vue de montrer un résultat d'équirépartition modulo $1$ et un théorème probabiliste d'ErdH{o}s-Kac. Ensuite, on va généraliser un problème dû à Gelfond concernant l'étude de la répartition dans les progressions arithmétiques de la fonction somme des chiffres au cas des nombres ellipséphiques. En particulier, on donne un théorème analogue à celui d'Erdös, Mauduit et S'arközy sur l'uniforme répartition des entiers ellipséphiques dans les progressions arithmétiques sous une contrainte sur la somme des chiffres. Enfin, une étude de l'ordre moyen de certaines fonctions arithmétiques soumises à des contraintes digitales est faite en conséquence des travaux de Mkaouar et Wannès. / The aim of this thesis is the study of some arithmetic and combinatoric properties of the sum of digits function. We start by the study of exponential sums of the form $dissum_{nleq x}expleft(2ipileft(frac{l}{m}S_q(n)+frac{k}{m'}S_q(n+1)+theta nright)right)$ in order to establish a result of equidistribution modulo $1$ in addition to a probabilistic theorem of the kind ErdH{o}s-Kac. Then, we generalize a problem due to Gelfond concerning the distribution in residue classes of the sum of digits function in the case of integers with missing digits. Besides, we give a similar result to that of ErdH{o}s, Mauduit and S'ark"{o}zy on the uniform distribution of integers with missing digits in arithmetic progressions under a constraint on the sum of digits. Finally, a study of the order of magnitude of some arithmetical functions under digital constraints is done as a consequence of the works of Mkaouar and Wannès.

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Soit q ⩾ 2 une puissance première fixe. L’objectif principal de cette thèse est d’étudier le comportement asymptotique de la fonction arithmétique Π_q(n,k) comptant le nombre de polynômes moniques de degré n et ayant exactement k facteurs irréductibles (avec multiplicité) sur le corps fini F_q. Warlimont et Car ont montré que l’objet Π_q(n,k) est approximativement distribué de Poisson lorsque 1 ⩽ k ⩽ A log n pour une constante A > 0. Plus tard, Hwang a étudié la fonction Π_q(n,k) pour la gamme complète 1 ⩽ k ⩽ n. Nous allons d’abord démontrer une formule asymptotique pour Π_q(n,k) en utilisant une technique analytique classique développée par Sathe et Selberg. Nous reproduirons ensuite une version simplifiée du résultat de Hwang en utilisant la formule de Sathe-Selberg dans le champ des fonctions. Nous comparons également nos résultats avec ceux analogues existants dans le cas des entiers, où l’on étudie tous les nombres naturels jusqu’à x avec exactement k facteurs premiers. En particulier, nous montrons que le nombre de polynômes moniques croît à un taux étonnamment plus élevé lorsque k est un peu plus grand que logn que ce que l’on pourrait supposer en examinant le cas des entiers. Pour présenter le travail ci-dessus, nous commençons d’abord par la théorie analytique des nombres de base dans le contexte des polynômes. Nous introduisons ensuite les fonctions arithmétiques clés qui jouent un rôle majeur dans notre thèse et discutons brièvement des résultats bien connus concernant leur distribution d’un point de vue probabiliste. Enfin, pour comprendre les résultats clés, nous donnons une discussion assez détaillée sur l’analogue de champ de fonction de la formule de Sathe-Selberg, un outil récemment développé par Porrit et utilisons ensuite cet outil pour prouver les résultats revendiqués. / Let q ⩾ 2 be a fixed prime power. The main objective of this thesis is to study the asymptotic behaviour of the arithmetic function Π_q(n,k) counting the number of monic polynomials that are of degree n and have exactly k irreducible factors (with multiplicity) over the finite field F_q. Warlimont and Car showed that the object Π_q(n,k) is approximately Poisson distributed when 1 ⩽ k ⩽ A log n for some constant A > 0. Later Hwang studied the function Π_q(n,k) for the full range 1 ⩽ k ⩽ n. We will first prove an asymptotic formula for Π_q(n,k) using a classical analytic technique developed by Sathe and Selberg. We will then reproduce a simplified version of Hwang’s result using the Sathe-Selberg formula in the function field. We also compare our results with the analogous existing ones in the integer case, where one studies all the natural numbers up to x with exactly k prime factors. In particular, we show that the number of monic polynomials grows at a surprisingly higher rate when k is a little larger than logn than what one would speculate from looking at the integer case. To present the above work, we first start with basic analytic number theory in the context of polynomials. We then introduce the key arithmetic functions that play a major role in our thesis and briefly discuss well-known results concerning their distribution from a probabilistic point of view. Finally, to understand the key results, we give a fairly detailed discussion on the function field analogue of the Sathe-Selberg formula, a tool recently developed by Porrit and subsequently use this tool to prove the claimed results.