No description available.

No description available.

This thesis has been motivated largely by Lehmer's problem [20], which was stated in 1933 and it is still a problem that mathematicians have not completely solved. The Mersenne sequence, (2n-1)nen has properties that make it useful for finding large primes but its terms become very large very fast. Lehmer's problem is related to finding large primes in sequences that are analogous to the Mersenne sequence but that grow as slowly as possible and Lehmer's conjecture implies a lower bound on the growth rate of any such sequence.

This thesis uses hyperbolic geometry to study various classes of both real and complex continued fractions. This intuitive approach gives insight into the theory of continued fractions that is not so easy to obtain from traditional algebraic methods. Using it, we provide a more extensive study of both Rosen continued fractions and even-integer continued fractions than many previous works, yielding new results, and revisiting classical theorems. We also study two types of complex continued fractions, namely Gaussian integer continued fractions and Bianchi continued fractions. As well as providing a more elegant and simple theory of continued fractions, our approach leads to a natural generalisation of continued fractions that has not been explored, before.

If the descent theory, developed by Colliot-Thelene and Sansuc, applies, then it can reduce the question of understanding whether the Brauer-Manin obstruction is the only one to understanding weak approximation on the resulting descent varieties. In some cases the descent varieties are easier to handle and accessible by analytic methods as for example t he circle method. In joint work with A. Skorobogatov we followed this approach focusing on varieties corresponding to the representation of a norm form by a product of linear polynomials. We present this work in the first part of this thesis which involves an application of the circle method over number fields to systems of linear equations involving norm forms. In the second part of this thesis we study the arithmetic of subvarieties in biprojective space. So far, the circle method has been a very useful tool to prove many cases of Manin's conjecture. Work of B. Birch back in 1962 establishes this for smooth complete intersections in projective space as soon as the number of variables is large enough depending on the degree and number of equations. In biprojective space there is not much known so far, unless the underlying polynomials are of bidegree (1,1). A combination of the circle method with the generalised hyperbola method recently developed by V. Blomer and J. Brudern allows us to verify Manin 's conjecture for certain smooth hypersurfaces of general bidegree in biprojective space.

- / -

Η θεωρία της διαιρετότητας, η ιστορία της οποίας είναι πολύ παλιά, καλύπτει πολλούς κλάδους της σύγχρονης Άλγεβρας, όπως είναι η θεωρία των δακτυλίων, η θεωρία των διατεταγμένων ομάδων και φυσικά η θεωρία των αριθμών. Η θεωρία της διαιρετότητας ίσως θα μπορούσε να μελετηθεί σε δύο ενότητες: Α) Αυστηρή πολλαπλασιαστική θεωρία. Β) Θεωρία της διαιρετότητας των δακτυλίων. Η παρούσα εργασία προέρχεται από τις προσπάθειες να περιγραφούν λεπτομερώς κάποια αποτελέσματα τα οποία είναι συνδεδεμένα με το μέρος (Β) του παραπάνω διαχωρισμού της θεωρίας της διαιρετότητας και είναι πλήρως αφιερωμένο στην διερεύνηση της ομάδας διαιρετότητας G(A) μίας περιοχής A, όπου G(A) είναι η ομάδα πηλίκο K*IU(A) με K* την πολλαπλασιαστική ομάδα του σώματος πηλίκου της A και U(A) την ομάδα των ενάδων της A με διάταξη οριζόμενη από το θετικό κώνο G(A)+=A*IU(A). Σε αντίθεση προς την εργασία του Aubert που έχει σχέση με τις καθαρά πολλαπλασιαστικές ιδιότητες τής G(A), εμείς σκόπιμα κρατάμε στο μυαλό μας την προέλευση τής G(A) από μία περιοχή Α, δηλαδή συχνά χρησιμοποιούμε ιδιότητες τής G(A) οι οποίες δεν είναι πολλαπλασιαστικής μορφής. Αυτή η προσέγγιση εμφανίζεται εξ’ ολοκλήρου όταν έχουμε να κάνουμε με μία δομή d-ομάδας σε μία ομάδα διαιρετότητας, δηλ. όταν θεωρούμε ότι είναι μία μερικώς διατεταγμένη ομάδα με μία πλειότιμη πρόσθεση +A η οποία εξαρτάται από την A. Χρησιμοποιώντας αυτή την δομή d-ομάδας της G(A) είναι δυνατόν να ανακαλύπτουμε πολλές ιδιότητες της περιοχής A, χρησιμοποιώντας κάποιες ιδιότητες της (G(A), +A) ακόμη και στην περίπτωση όπου η υπό μελέτη ιδιότητα δεν μπορεί πιθανά να εκφραστεί στην γλώσσα των μερικώς διατεταγμένων ομάδων. Επιπλέον, είναι μία καλή αφορμή να σκεφτούμε ένα τέτοιο σύστημα από την στιγμή που μας επιτρέπει να μελετήσουμε τους δακτυλίους και τα μερικώς διατεταγμένα συστήματα με έναν ενιαίο τρόπο. / The theory of divisibility, the history of which is very old, covers a lot of modern algebra branches including the theory of rings, the theory of ordered groups and, of course, the theory of numbers. At present, the theory of divisibility may be divided into two parts: a) Strictly multiplicative theory, and b) Theory of divisibility of rings. This study has grown out of efforts to write up some results which are connected with part (b) of the above division of the theory of divisibility and it is fully devoted to the investigation of a group of divisibility G(A) of a domain A , where G(A) is the factor group K*IU(A) with K* the multiplicative group of the quotient field of A and U(A) the group of units of A with ordering defined by the positive cone (G(A)+=A*IU(A). Contrary to the excellent paper of Aubert dealing with the purely multiplicative properties of G(A), we purposely keep in mind the origin of G(A) from a domain A, i.e. we frequently employ properties of G(A) which are not of a multiplicative nature. This access appears fully when dealing with a d-group structure on a group of divisibility, i.e. when we consider G(A) to be a partially ordered group with a multivalued addition +A which depends essentially on A. Using this so called d-group structure of G(A) it is possible to derive a lot of properties of a domain A, using some properties of (G(A), +A) even in the case where the property under the question cannot possibly be to expressed in the language of partly ordered groups. Moreover, there is a good reason for considering such a system since it enables us to study rings and partly ordered systems in a unified way.

Στην εργασία αυτή παρουσιάζονται τα βασικά στοιχεία της θεωρίας των συνεχιζόμενων κλασμάτων και στη συνέχεια αναπτύσσονται οι αλγόριθμοι που επιτρέπουν την εκτέλεση πράξεων μεταξύ συνεχιζόμενων κλασμάτων και ρητών αριθμώ,αλλά και μεταξύ συνεχιζόμενων κλασμάτων. / In this thesis we describe the basic theory of continued fractions and describe the algorithms that enable us to perform arithmetic operations with continued fractions and rational numbers,as well as with continued fractions.

Η τόσο συχνή εμφάνιση της ακολουθίας Fibonacci στη φύση καθώς και ο συσχετισμός της με πλείστους τομείς της μαθηματικής επιστήμης έδωσε αφορμή να ενταθεί η έρευνα στην περιοχή αυτή. Και τούτο ιδιαίτερα τις τελευταίες δύο δεκαετίες. Τα πολυώνυμα Fibonacci k-τάξης αποτελούν μία από τις ευρύτερες γενικεύσεις της ακολουθίας Fibonacci. Η μελέτη των πολυωνύμων αυτών και η σύνδεσή τους με την πιθανότητα είναι το κύριο αντικείμενο της διατριβής αυτής. Η κατανομή πιθανότητας της τ. μ. Χk, όπου Xk το πλήθος των επαναλήψεων σε ένα πείραμα δοκιμών Bernoulli ώσπου να προκύψουν k διαδοχικές επιτυχίες, έχει ονομασθεί "κατανομή πιθανότητας Fibonacci". Η σχέση της κατανομής Fibonacci με τα πολυώνυμα Fibonacci οδήγησε στις γενικευμένες κατανομές πιθανότητας που αποτέλεσε το δεύτερο άξονα της μελέτης αυτής. / The fact that Fibonacci sequences appear so frequently in nature together with their interrelationship with almost any branch of mathematics, has resulted in an intesive research in this area particularly during the last two decades. One of the most wide extensions of the Fibonacci sequence is provided by the Fibonacci polynomials of order k. The study of these polynomials and thier relation with probability is the main part of this dissertation. The probability distribution of the r.v. Xk, where Xk denotes the number of trials until the occurrence of the kth consecutive success in indipendent trials, thas been called "Fibonacci Probability Distribution". The relation between the Fibonacci Distribution and the Fibonacci polynomials led to generalized probability distributions (Geometric, Negative binomial, Poisson and Compound poisson) which consists the second major part of this study.

Un entier est dit y-friable si tous ses facteurs premiers n'excèdent pas y. Les valeurs friables de formes binaires interviennent de manière essentielle dans l'algorithme de factorisation du crible algébrique (NFS). Dans cette thèse, nous obtenons des formules asymptotiques pour le nombre de représentations des entiers friables par différentes familles de polynômes. Nous considérons dans la première partie les formes binaires qui se décomposent comme produit d'une forme linéaire et d'une forme quadratique. Nous combinons pour cela le principe d'inclusion-exclusion à des idées issues de travaux sur la distribution multiplicative de certaines suites d'entiers représentés par des formes quadratiques développés par Fouvry et Iwaniec, puis Balog, Blomer, Dartyge et Tenenbaum. Dans un second temps, nous nous concentrons sur les valeurs friables de formes cubiques irréductibles. En adaptant les travaux de Heath-Brown et Moroz sur les nombres premiers représentés par de tels polynômes, nous obtenons des formules asymptotiques valides dans un vaste domaine de friabilité. Notre méthode permet également d'évaluer des moyennes sur les valeurs d'une forme cubique pour d'autres fonctions arithmétiques comprenant en particulier les fonctions de Möbius et de Liouville. Dans le dernier chapitre, nous étudions les corrélations de l'indicatrice des friables avec les nilsuites. En employant la méthode nilpotente de Green et Tao, nous en déduisons une formule pour le nombre de valeurs friables d'un produit de formes affines deux à deux affinement indépendantes / An integer is called y-friable if its largest prime factor does not exceed y. Friable values of binary forms play a central role in the integer factoring algorithm NFS (Number Field Sieve). In this thesis, we obtain some asymptotic formulas for the number of representations of friable integers by various classes of polynomials. In the first part, we focus on binary forms which split as a product of a linear form and a quadratic form. To achieve this, we combine the inclusion-exclusion principle with ideas based on works of Fouvry and Iwaniec and Balog, Blomer, Dartyge and Tenenbaum related to the distribution of some sequences of integers represented by quadratic forms. We then take a closer look at friable values of irreducible cubic forms. Extending some previous works of Heath-Brown and Moroz concerning primes represented by such polynomials, we provide some asymptotic formulas which hold in a large range of friability. With this method, we also evaluate some means over the values of an irreducible cubic form for other multiplicative functions including the Möbius function and the Liouville function. In the last chapter, we investigate the correlations between nilsequences and the characteristic function of friable integers. By using the nilpotent method of Green and Tao, our work provides a formula for the number of friable integers represented by a product of affine forms such that any two forms are affinely independent