Le but de cette thèse est de déterminer la frontière naturelle de méromorphie (lorsqu'elle existe) d'un produit eulérien de plusieurs variables associé à un polynôme h de plusieurs variables à coefficients entiers vérifiant une hypothèse de régularité analytique. Il s'agit précisément de trouver la frontière d'un domaine maximal sur lequel un prolongement méromorphe existe. On présente dans cette thèse des méthodes qui permettent d'étendre dans le cadre de plusieurs variables, sous une hypothèse de régularité analytique qui est vérifiée dans la plupart des cas, le célèbre résultat d'Estermann concernant le domaine maximal de méromorphie d'un produit eulérien d'une variable \prod_{p}h(p^{-s}) associé à un polynôme h à coefficients entiers (tel que h(0)=1). On précise également le sens que l'on peut attribuer au concept de "frontière naturelle" selon la dimension complexe ou réelle d'un éventuel prolongement au-delà de cette frontière. En guise d'application, on détermine la frontière naturelle d'une classe de produits eulériens multivariables associés à une variété torique projective. Une seconde application consiste en la détermination de la frontière naturelle d'une classe de fonctions de la forme \prod_{p}h(p^{-s_l },...,p^{-s_n },p^{-c}) où c est un entier relatif non nul. On résout en particulier un problème de N. Kurokawa et H. Ochiai concernant la frontière naturelle de méromorphie de la fonction zêta multivariable d'Igusa Z^{\textrm{ring} }(s_l ,...,s_n; Z[T,T^{ -1 }]) / The aim of this thesis is to determine the natural boundary of meromorphy (when it exists) of an Euler product of n variables associated to a polynomial h \in \mathbf{Z } [X_1....,X_,n] satisfying an hypothesis of analytic regularity. Precisely it consists in finding the boundary of a maximal domain on which a meromorphic extension exists. We present in this thesis some methods which permit to extend in the multivariable case, under an hypothesis of analytic regularity which is mostly satisfied, the well-know result of Estermann concerning the maximal domain of meromorphy of an one variable Euler product \prod_{p}h(p^{-s}) associated to a polynomial h with integral coefficients (such that Sh(0)=1S). We also precise the sense which we can give to the concept of "natural boundary" with regard to the real or complex dimension of a possible continuation beyond this boundary. As an application, we determine the natural boundary of a class of Euler products associated to a projective toric variety. A second application consists in the determination of the natural boundary of a class of Euler products of the form \prod_{p}h(p^{-s_l },...,p^{-s_n},p^{-c }) where c is an integer (positive or negative). In particular we solve a problem of N. Kurokawa and H. Ochiai concerning the natural boundary of meromorphy of the multivariable lgusa zeta function Z^{\textrm{ring} }(s_1,\dots,s_n; \mathbf{Z}[T,T^{-1}])

Le but de cette thèse est de déterminer la frontière naturelle de méromorphie (lorsqu'elle existe) d'un produit eulérien de plusieurs variables associé à un polynôme h de plusieurs variables à coefficients entiers vérifiant une hypothèse de régularité analytique. Il s'agit précisément de trouver la frontière d'un domaine maximal sur lequel un prolongement méromorphe existe. On présente dans cette thèse des méthodes qui permettent d'étendre dans le cadre de plusieurs variables, sous une hypothèse de régularité analytique qui est vérifiée dans la plupart des cas, le célèbre résultat d'Estermann concernant le domaine maximal de méromorphie d'un produit eulérien d'une variable \prod_{p}h(p^{-s}) associé à un polynôme h à coefficients entiers (tel que h(0)=1). On précise également le sens que l'on peut attribuer au concept de "frontière naturelle" selon la dimension complexe ou réelle d'un éventuel prolongement au-delà de cette frontière. En guise d'application, on détermine la frontière naturelle d'une classe de produits eulériens multivariables associés à une variété torique projective. Une seconde application consiste en la détermination de la frontière naturelle d'une classe de fonctions de la forme \prod_{p}h(p^{-s_l },...,p^{-s_n },p^{-c}) où c est un entier relatif non nul. On résout en particulier un problème de N. Kurokawa et H. Ochiai concernant la frontière naturelle de méromorphie de la fonction zêta multivariable d'Igusa Z^{\textrm{ring} }(s_l ,...,s_n; Z[T,T^{ -1 }])

Nous traitons deux problèmes liés aux séries de Dirichlet. Nous étudions d'abord le prolongement analytique d'une certaine classe de séries de Dirichlet à deux variables : g(s_1,s_2,a,r)=∑ (d≥1) r(d)a(d)^{-s_1}d^{-s_2}, où a(d) est une fonction multiplicative strictement positive et r(d) est une fonction multiplicative. Nous démontrons, sous certaines hypothèses, un théorème général qui permet d'approcher cette série de Dirichlet par une série connue, modulo une autre série pour laquelle nous obtenons des majorations très précises. Nous utilisons ensuite cet outil pour obtenir des résultats quantitatifs sur la distribution des valeurs de fonctions arithmétiques. Sous certaines hypothèses sur les fonctions a(d) et r(d), nous déterminons la limite lorsque X tend vers l'infini de X^{-1}∑ (d≤X, a(d)≤z) r(d) (0