En utilisant le calcul de Malliavin et la théorie des formes de Dirichlet à travers la propriété de densité de l'énergie image, nous menons une étude de la régularité des mesures invariantes. Les cas discret et continu sont traités. Nous en déduisons des vitesses de convergence à l'équilibre, grace à un renforcement "quantitatif" de la propriété de densité de l'énergie image, qui permet d'établir des convergences en variation totale de mesures. De nombreuses conséquences sont déduites de cette propriété, comme le caractère Rajchman des variables non dégénérées au sens de l'opérateur carré du champ, ceci va dans le sens de la conjecture de Bouleau-Hirsch.

Nous étudions le comportement en temps long de certains processus stochastiques dont la dynamique dépend non seulement de la position, mais aussi du temps, et dont le terme de diffusion et le potentiel satisfont des conditions d'invariance d'échelle. Nous mettons en lumière un phénomène de transition de phase générale, entièrement déterminé par les différents indices d'auto-similarité en jeu. La principale idée mise en exergue est de considérer une transformation d'échelle adéquate, tirant pleinement parti des nombreuses invariances de notre problème.Dans une première partie, nous étudions une famille de processus de diffusion unidimensionnels, dirigés par un mouvement brownien, dont la dérive est polynomiale en temps et en espace. Ces diffusions généralisent les marches aléatoires, en lien avec le modèle d'urne de Friedman, étudiées par Menshikov et Volkov (2008). Nous donnons, de manière exhaustive, les lois du type logarithme itéré, les limites d'échelle ainsi que les temps de survie de ces processus. La seconde partie est, quant à elle, consacrée à l'étude d'une famille de processus de diffusion en environnement aléatoire, dirigés par un mouvement brownien unidimensionnel, dont le potentiel est brownien en espace et polynomial en temps. Ces diffusions sont une extensiondu modèle amplement étudié de Brox (86) et, en un sens randomisé, du modèle précédent. La différence notable avec le modèle déterministe est que nous obtenons, dans le cas critique, une mesure aléatoire quasi-invariante et quasi-stationnaire pour le semi-groupe, déduite de l'étude d'un système dynamique aléatoire sous-jacent.

Le propos de cette thèse est l'étude de la dynamique du réseau de vortex dans un supraconducteur. La technique expérimentale utilisée, la mesure de bruit, offre une analyse fine de la nature des interactions du réseau de vortex en mouvement avec ses centres d'ancrage. Un dispositif de mesures de bruits de faible puissance a spécialement été conçu pour la réalisation des expériences.<br />En premier lieu, le bruit du système est observé dans des lames de Niobium dans différentes conditions : différentes tailles d'échantillon ont été ajustées de manière contrôlée, et des défauts de surface ont été introduits par irradiation ionique basse énergie, puis caractérisés par imagerie à force atomique. Il apparaît que le bruit basse fréquence, de même que le courant critique sont principalement dus à l'ancrage de surface. De plus, la portée des fluctuations se trouve être corrélée à la distribution spatiale de la rugosité.<br />Le régime bruyant en supraconductivité de surface, sans vortex dans le volume, montre clairement que de pures fluctuations de courant de surface conduisent au même bruit qu'en présence de vortex dans le volume. Ce résultat est confirmé par des mesures complémentaires de fluctuations de tension dans plusieurs directions, réalisée dans des échantillons massifs d'un alliage Pb-In.<br />La statistique du processus bruyant a été étudiée dans des micro-ponts sur couche mince de Niobium: les résultats indiquent que l'état de la surface, ainsi que celui des bords du système influent sur le régime bruyant du dépiégeage, au cours duquel des effets non-gaussiens et non-stationnaires, typiques d'un vol de Lévy, apparaissent.

L'objet de cette thèse est le développement d'un cadre unifié pour étudier la régularité de certains éléments caractéristiques des dynamiques chaotiques (pression/entropie topologique, mesure de Gibbs, exposants de Lyapunov) par rapport à la dynamique elle même. Le principal problème technique est la perte de régularité venant de l'utilisation d'un opérateur de composition, l'opérateur de transfert, dont les propriétés spectrales sont intimement liées aux "éléments caractéristiques" ci-dessus. Pour surmonter ce problème, nous établissons un théorème de régularité par rapport aux paramètres pour des points fixes, dans un esprit proche du théorème des fonctions implicites de Nash Moser. Nous appliquons ensuite cette approche "point fixe" au problème de la réponse linéaire (régularité de la mesure invariante du système par rapport aux paramètres) pour une famille de dynamiques uniformément dilatantes. Dans un second temps, nous étudions la régularité du plus grand exposant de Lyapunov d'un produit aléatoire d'applications dilatantes, s'appuyant sur notre théorème de régularité et la théorie des contractions de cônes. Nous en déduisons la régularité par rapport aux paramètres de la mesure stationnaire, de la variance dans le théorème limite central, et d'autres quantités dynamiques d'intérêt. / The aim of this thesis is the development of a unified framework to study the regularity of certain characteristics elements of chaotic dynamics (Topological presure/entropy, Gibbs measure, Lyapunov exponents) with respect to the dynamic itself. The main technical issue is the regularity loss occuring from the use of a composition operator, the transfer operator, whose spectral properties are intimately connected to the aformentionned "characteristics elements". To overcome this issue, we developped a regularity theorem for fixed points (with respect to parameter), in the spirit of the implicit function theorem of Nash and Moser. We then apply this "fixed point" approach to the linear response problem (studying the regularity of the system invariant measure w.r.t parameters) for a family of uniformly expanding maps. In a second time, we study the regularity of the top characteristic exponent of a random prduct of expanding maps, building from our regularity theorem and cone contraction theory. We deduce from this regularity w.r.t parameters for the stationanry measure, the variance in the central limit theorem, and other quantities of dynamical interest.

Utilisés dans de nombreux domaines scientifiques, les Automates Cellulaires Probabilistes, usuellement abrégés en PCA, de l'anglais "Probabilistic Cellular Automata", constituent, au sein des dynamiques aléatoires à temps discret, une classe de systèmes infinis de particules, c'est à dire de processus stochastiques markoviens à valeurs dans un espace infini S^G où S désigne un ensemble fini et G est un graphe infini. On considère ici toujours le cas où G=Z^d. La particularité de ces dynamiques est l'évolution en parallèle, ou synchrone, de chacune des coordonnées ou composants élémentaires en interaction. Nous nous intéressons dans un premier temps à l'existence et à l'unicité des mesures stationnaires pour les dynamiques PCA non dégénérées i.e. dont le comportement local n'est jamais déterministe, ainsi qu'à la caractérisation de ces états d'équilibre en tant que mesures gibbsiennes. Nous fondant sur les résultats de Dai Pra, Kozlov, Künsch, Lebowitz, Vasilyev et al., nous précisons, pour la classe des dynamiques PCA réversibles, les relations existant entre les mesures stationnaires, les mesures réversibles et les mesures de Gibbs associées à un potentiel dont le lien avec la dynamique est explicité. Pour une famille paramétrée de dynamiques PCA réversibles, nous démontrons l'existence d'un phénomène de transition de phase et explicitons dans ce cas le comportement de différentes mesures de Gibbs sous l'action de ces dynamiques. En particulier, nous exhibons des mesures de Gibbs non-stationnaires. Dans un second temps, nous étudions l'ergodicité, i.e. la convergence vers l'équilibre des dynamiques PCA qui sont de plus attractives. Nous construisons à cet effet un couplage de ces dynamiques préservant l'ordre stochastique. En nous référant aux travaux de Martinelli et Olivieri pour les dynamiques de Glauber, nous établissons qu'en l'absence de transition de phase, dès que l'unique mesure de Gibbs vérifie une condition de faible mélange, il y a ergodicité et convergence à vitesse exponentielle vers cet unique état d'équilibre, améliorant en cela grandement les critères d'ergodicité pour les PCA existant dans la littérature. Enfin, nous illustrons ces résultats par la réalisation de simulations numériques de certaines des dynamiques réversibles précédemment étudiées, et présentons un algorithme parallèle convergeant vers les mesures de Gibbs extrémales du modèle d'Ising.

Nous étudions le comportement asymptotique des dérivées intrinsèques d'une courbe évoluant sous l'action d'un système dynamique aléatoire régulier. Etant donnée une courbe $c$ sur une variété riemannienne, nous désignons par "dérivées intrinsèques de la courbe $c$ en un point $m$", les dérivées à l'origine d'une paramétrisation normale de la courbe transportée sur l'espace tangent au point $m$, par l'application exponentielle. En utilisant le théorème ergodique multiplicatif d'Oseledets, nous obtenons une condition suffisante sur les deux premiers exposants de Lyapounov d'un système dynamique aléatoire régulier, réversible et ergodique, pour que les premières dérivées intrinsèques des images d'une courbe par ce système convergent. Si $\lambda_1$ et $\lambda_2$ sont les deux premiers exposants de Lyapounov du système, $\lambda_1$ étant supposé de multiplicité un, la condition "$\lambda_2-k\lambda_1<0$" assure la convergence des $k$ premières dérivées intrinsèques ; elle n'exclut donc pas les systèmes dynamiques aléatoires stables. La preuve proposée utilise un développement des dérivées intrinsèques à l'aide de diagrammes et donne un procédé récursif pour déterminer les limites des dérivées intrinsèques. Lorsque le premier exposant de Lyapounov est strictement positif, nous faisons le lien entre les limites des dérivées intrinsèques et les variétés instables associées à cet exposant. Nous vérifions ensuite "l'optimalité" de la condition $\lambda_2-2\lambda_1<0$ assurant la convergence de la courbure, en étudiant une classe particulière de systèmes dynamiques aléatoires : les flots browniens isotropes sur la sphère unité de $R^d$. Plus généralement, nous établissons que la norme au carré du vecteur courbure de l'image d'une courbe par un tel système dynamique aléatoire est une diffusion. L'étude du comportement asymptotique de cette diffusion en fonction de la valeur des deux premiers exposants de Lyapounov montre que, sauf si elle est presque sûrement constante, cette diffusion est récurrente positive si et seulement si $\lambda_2-2\lambda_1<0$.

L'utilisation de nouvelles technologies au sein des systèmes relatifs à la sécurité soulève des problèmes en termes de maîtrise des risques technologiques, et il est nécessaire de disposer d'outils d'évaluation probabiliste adaptés à la complexité accrue de ces systèmes. Les travaux présentés dans ce mémoire apportent des contributions à l'évaluation de la sûreté de fonctionnement des systèmes de sécurité, et en particulier des capteurs-transmetteurs à fonctionnalités numériques qui combinent l'acquisition de données avec des fonctions avancées de traitement et de transmission de l'information. L'objectif est d'étendre les méthodes de modélisation de la sûreté de fonctionnement, afin de mieux prendre en compte les diverses interactions et les comportements dynamiques mis en jeu par ces systèmes. Le premier modèle proposé permet de représenter les aspects fonctionnels et matériels d'un système de sécurité, les défauts et défaillances, ainsi que les diverses relations entre éléments. Cette modélisation sert de support à des analyses de fiabilité et à des analyses d'incertitudes liées aux paramètres et au modèle. Une seconde contribution considère les capteurs-transmetteurs comme éléments de systèmes de contrôle-commande et vise à modéliser les interactions entre ces capteurs-transmetteurs, celles avec d'autres éléments du système, ainsi qu'avec le processus contrôlé, dans une approche de fiabilité dynamique.