Les processus auto-stabilisants sont définis comme des solutions d'équations différentielles stochastiques dont le terme de dérive contient à la fois le gradient d'un potentiel ainsi qu'un terme non-linéaire au sens de McKean qui attire le processus vers sa propre loi de distribution. On dispose de nombreux résultats lorsque l'environnement est convexe. L'objet de ce travail est de les étendre autant que possible au cas général notamment lorsque le paysage contient plusieurs puits. Des différences fondamentales sont constatées. Le premier chapitre prouve l'existence d'une solution forte. Le second s'intéresse aux lois de probabilités d'une telle solution. En particulier, l'existence et la non-unicité des mesures stationnaires sont mises en évidence sous des hypothèses faibles. Les chapitres trois et quatre sont affectés au comportement de ces mesures lorsque le coefficient de diffusion tend vers 0. Le chapitre cinq met en relation le processus auto-stabilisant avec des systèmes particulaires via une "propagation du chaos". Il est ainsi possible de transposer certains résultats du système de particules sur le processus non-markovien et réciproquement. Le chapitre six est dédié au dénombrement exact des mesures stationnaires. Le chapitre sept est employé pour l'étude du comportement en temps long. D'une part, un résultat de convergence dans un cas simple est fourni. D'autre part, un principe de grandes déviations est mis en évidence par l'utilisation des résultats de Freidlin et Wentzell.

On considère une marche aléatoire réelle dont les accroissements sont construits à partir d’une chaîne de Markov définie sur un espace abstrait. Sous des hypothèses de centrage de la marche et de décroissance rapide de la dépendance de la chaîne de Markov par rapport à son passé (de type trou spectral), on se propose d’étudier le premier instant pour lequel une telle marche markovienne passe dans les négatifs. Plus précisément, on établit que le comportement asymptotique de la probabilité de survie est inversement proportionnel à la racine carrée du temps. On étend également à nos modèles markoviens le résultat des marches aléatoires aux accroissements indépendants suivant : la loi asymptotique de la marche aléatoire renormalisée et conditionnée à rester positive est la loi de Rayleigh. Dans un deuxième temps, on restreint notre modèle aux cas où la chaîne de Markov définissant les accroissements de la marche aléatoire est à valeurs dans un espace d’états fini. Sous cette hypothèse et lorsque que la marche est dite non-lattice, on complète nos résultats par des théorèmes locaux pour la marche aléatoire conjointement avec le fait qu’elle soit restée positive. Enfin on applique ces développements aux processus de branchement soumis à un environnement aléatoire, lui-même défini à partir d’une chaîne de Markov à valeurs dans un espace d’états fini. On établit le comportement asymptotique de la probabilité de survie du processus dans le cas critique et les trois cas sous-critiques (fort, intermédiaire et faible) / We consider a real random walk whose increments are constructed by a Markov chain definedon an abstract space. We suppose that the random walk is centred and that the dependence of the Markov walk in its past decreases exponentially fast (due to the spectral gap property). We study the first time when the random walk exits the positive half-line and prove that the asymptotic behaviour of the survey probability is inversely proportional to the square root of the time. We extend also to our Markovian model the following result of random walks with independent increments: the asymptotic law of the random walk renormalized and conditioned to stay positive is the Rayleigh law. Subsequently, we restrict our model to the cases when the Markov chain defining the increments of the random walk takes its values on a finite state space. Under this assumption and the condition that the walk is non-lattice, we complete our results giving local theorems for the random walk conditioned to stay positive. Finally, we apply these developments to branching processes under a random environment defined by a Markov chain taking its values on a finite state space. We give the asymptotic behaviour of the survey probability of the process in the critical case and the three subcritical cases (strongly, intermediate and weakly).

Les systèmes hybrides sont des systèmes dynamiques, caractérisés par un comportementdual, une interaction entre une partie discrète et une partie continue de fonctionnement.Dans le centre de notre travail se trouve une classe particulière de systèmeshybrides, plus spécifiquement les systèmes stochastiques à commutation que nous modélisonsà l'aide des Chaînes de Markov en temps continu et des équations différentielles.Le comportement aléatoire de ce type de système nécessite une commande spécialequi s'adapte aux événements arbitraires qui peuvent changer complètement l'évolutiondu système. Nous avons choisi une politique de contrôle basée sur les événements quiest déclenchée seulement quand il est nécessaire (sur un événement incontrôlable - parexemple un seuil qui est atteint), et jusqu'à ce que certaines conditions de fonctionnementsont remplies (le système revient dans l'état normal).Notre approche vise le développement d'un modèle probabiliste qui permet de calculerun critère de performance (en occurrence l'énergie du système) pour la politiquede contrôle choisie. Nous proposons d'abord une méthode de simulation à événementsdiscrets pour le système stochastique à commutation commandé, qui nous donne la possibilitéde réaliser une optimisation directe de la commande appliquée sur le système etaussi de valider les modèles analytiques que nous avons construit pour l'application ducontrôle.Un modèle analytique pour déterminer l'énergie consommée par le système a étéconçu en utilisant les probabilités de sortie de la région de contrôle, respectivement lestemps de séjour dans la chaîne de Markov avant et après avoir atteint les limites decontrôle. La dernière partie du travail présente la comparaison des résultats obtenusentre la méthode analytique et la simulation.

Les systèmes hybrides sont des systèmes dynamiques, caractérisés par un comportementdual, une interaction entre une partie discrète et une partie continue de fonctionnement.Dans le centre de notre travail se trouve une classe particulière de systèmeshybrides, plus spécifiquement les systèmes stochastiques à commutation que nous modélisonsà l’aide des Chaînes de Markov en temps continu et des équations différentielles.Le comportement aléatoire de ce type de système nécessite une commande spécialequi s’adapte aux événements arbitraires qui peuvent changer complètement l’évolutiondu système. Nous avons choisi une politique de contrôle basée sur les événements quiest déclenchée seulement quand il est nécessaire (sur un événement incontrôlable - parexemple un seuil qui est atteint), et jusqu’à ce que certaines conditions de fonctionnementsont remplies (le système revient dans l’état normal).Notre approche vise le développement d’un modèle probabiliste qui permet de calculerun critère de performance (en occurrence l’énergie du système) pour la politiquede contrôle choisie. Nous proposons d’abord une méthode de simulation à événementsdiscrets pour le système stochastique à commutation commandé, qui nous donne la possibilitéde réaliser une optimisation directe de la commande appliquée sur le système etaussi de valider les modèles analytiques que nous avons construit pour l’application ducontrôle.Un modèle analytique pour déterminer l’énergie consommée par le système a étéconçu en utilisant les probabilités de sortie de la région de contrôle, respectivement lestemps de séjour dans la chaîne de Markov avant et après avoir atteint les limites decontrôle. La dernière partie du travail présente la comparaison des résultats obtenusentre la méthode analytique et la simulation. / Hybrid systems are dynamical systems, characterized by a dual behaviour, a continuousinteraction between a discrete and a continuous functioning part. The center ofour work is represented by a particular class of hybrid systems, more specific by thestochastic switching systems which we model using continuous time Markov chains anddifferential equations.The random behaviour of such systems requires a special command which adapts tothe arbitrary events that can completely change the evolution of the system. We chose anevent-based control policy which is triggered only when it’s necessary (on an unforeseenevent - for example when a threshold that is reached), and until certain functioningconditions are met (the system returns in the normal state).Our approach aims to develop a probabilistic model that calculates a performancecriterion (in this case the energy of the system) for the proposed control policy. We startby proposing a discrete event simulation for the controlled stochastic switching system,which gives us the opportunity of applying a direct optimisation of the control command.It also allows us to compare the results with the ones obtained by the analytical modelswe have built when the event-based control is applied.An analytical model for computing the energy consumed by the system to apply thecontrol is designed by using the exit probabilities of the control region, respectively, thesojourn times of the Markov chain before and after reaching the control limits. The lastpart of this work presents the results we have obtained when comparing the analyticaland the simulation method.

La problématique de la thèse entre dans le cadre des systèmes préventifs d'aide à la conduite par l'étude du comportement dynamique d'un véhicule automobile et l'application des observateurs en vue de la détection en amont de situations critiques de la conduite. Dans ce travail de thèse, nous avons proposé une unité d'avertissement pour fournir une information ou une alarme au conducteur, suffisamment en avance, afin d'éviter des accidents de type sortie de voie, en tenant compte de plusieurs critères : Vitesse longitudinale excessive, dynamique latérale excessive, positionnement latéral du véhicule et le temps à sortie de voie. Pour donner une solution au problème des accidents par sortie de voie liés à un problème de dynamique du véhicule, un nouveau modèle de vitesse critique en courbe a été développé. Ce modèle prend en compte l'évolution de la dynamique du véhicule ainsi que les paramètres mécaniques. Les algorithmes de détection ont été testés sur plusieurs scénarios et les alertes obtenues correspondent bien aux ressentis des conducteurs et aux endroits exacts.

Dans cette thèse, nous nous inté́ressons à l'é́tude précise de valeurs propres exponentiellement petites du Laplacien de Witten. Plus particulièrement, nous considérons la ré́alisation autoadjointe du Laplacien de Witten agissant sur les fonctions, sur une variété à bord, avec conditions au bord de type Neumann. Cette étude prolonge et complète des travaux de B. Helffer, M. Klein et F. Nier dans le cas sans bord, et de B. Helffer et F. Nier dans le cas d'une varié́té́ à bord, avec conditions au bord de type Dirichlet. La prise en compte de conditions au bord de type Neumann demande de traiter l'analyse au bord avec un niveau de géné́ralité plus large que dans les travaux antérieurs. En particulier la construction de solutions WKB doit être abordée dans le cadre géné́ral des p-formes.

Les processus auto-stabilisants sont définis comme des solutions d'équations différentielles stochastiques dont le terme de dérive contient à la fois le gradient d'un potentiel ainsi qu'un terme non-linéaire au sens de McKean qui attire le processus vers sa propre loi de distribution. On dispose de nombreux résultats lorsque l'environnement est convexe. L'objet de ce travail est de les étendre autant que possible au cas général notamment lorsque le paysage contient plusieurs puits. Des différences fondamentales sont constatées.Le premier chapitre prouve l'existence d'une solution forte. Le second s'intéresse aux lois de probabilités d'une telle solution. En particulier, l'existence et la non-unicité des mesures stationnaires sont mises en évidence sous des hypothèses faibles. Les chapitres trois et quatre sont affectés au comportement de ces mesures lorsque le coefficient de diffusion tend vers 0.Le chapitre cinq met en relation le processus auto-stabilisant avec des systèmes particulaires via une « propagation du chaos ». Il est ainsi possible de transposer certains résultats du système de particules sur le processus non-markovien et réciproquement. Le chapitre six est dédié au dénombrement exact des mesures stationnaires.Le chapitre sept est employé pour l'étude du comportement en temps long. D'une part, un résultat de convergence dans un cas simple est fourni. D'autre part, un principe de grandes déviations est mis en évidence par l'utilisation des résultats de Freidlin et Wentzell / Self-stabilizing processes are defined as the solutions of stochastic differential equations which drift term contains the gradient of a potential and a term nonlinear in the sense of McKean which attracts the process to its own law distribution. There are many results if the landscape is convex. The purpose of this work is to extend these in the general case especially when the landscape contains contains several wells. Essential differences are found.The first chapter proves the strong existence of a solution. The second one deals with the probability measure of the solution. Particularly, the existence and the non-uniqueness of the stationary measures are highlighted under weak assumptions. Chapter three and four are assigned to the asymptotic analysis in the small noise limit of these measures.Chapter five connects the self-stabilizing process and some particle systems via a « propagation of chaos ». It is thus possible to translate some results from the particle systems to the non-markovian process and reciprocally.Chapter seven is used to study the long time behavior. In one hand, a convergence's result is provided in a simple case. In the other hand, a large deviations principle is highlighted by using the results of Freidlin and Wentzell

La théorie des bifurcations est utilisée pour étudier certains aspects des systèmes dynamiques qui intervient lorsqu'un petit changement d'un paramètre physique produit un changement majeur dans l'organisation du système. Ces phénomènes ont lieu dans les systèmes physiques, chimiques, biologiques, écologiques, économiques et sociaux. Cette idée unificatrice a été appliquée pour modéliser et explorer à la fois tant les systèmes sociaux que les systèmes physiques. Dans la première partie de cette thèse, nous appliquons les outils de la physique statistique et de la théorie des bifurcations pour modéliser le problème des décisions binaires dans les sciences sociales. Nous avons mis au point un schéma permettant de prédire l’apparition de sauts extrêmes dans ces systèmes en se basant sur la notion de précurseurs, utilisés comme signal d'alerte d'apparition de ces événements catastrophiques. Nous avons également résolu un modèle mathématique d’effondrement social fondé sur une équation de "régression logistique" utilisée pour décrire la croissance d’une population et la façon dont celle-ci peut être influencée par des ressources limitées. Ce modèle présente des bifurcations sous-critiques et nous avons étudié sa relation avec le phénomène social du « sunk-cost effect » (effet de coût irrécupérable). Ce dernier phénomène explique l’influence des investissements passés sur les décisions présentes, et la combinaison de ces deux phénomènes est utilisé comme modèle pour expliquer la désintégration de certaines sociétés anciennes (basés sur des témoignages archéologiques). Dans la deuxième partie de cette thèse, nous étudions les systèmes macroscopiques décrits par des équations différentielles stochastiques multidimensionnelles ou, de manière équivalente, par les équations multidimensionnelles de Fokker-Planck. Afin de calculer la fonction de distribution de probabilité (PDF), nous avons introduit un nouveau schéma alternatif de calcul basé sur les intégrales de chemin (« Path Integral ») lié aux processus stochastiques. Les calculs basés sur les intégrales de chemin sont effectués sur des systèmes uni et bidimensionnels et successivement comparés avec certains modèles dont on connaît la solution pour confirmer la validité de notre méthode. Nous avons également étendu ce schéma pour estimer le temps d’activation moyen (« Mean Exit Time »), ce qui a donné lieu à une nouvelle expression de calcul pour les systèmes à dimension arbitraire. A` noter que pour le cas des systèmes dynamiques à deux dimensions, les calculs de la fonction de distribution de probabilité ainsi que du temps de sortie moyen ont validé le schéma des intégrales du chemin. Ça vaut la peine de souligner que la perspective de poursuivre cette ligne de recherche repose sur le fait que cette méthode est valable pour les « non gradient systems » assujettis à des bruits d'intensité arbitraires. Cela ouvre la possibilité d'analyser des situations plus complexes où, à l'heure actuelle, il n'existe aucune méthode permettant de calculer les PDFs et/ou les METs. / Bifurcations in continuous dynamical systems, i.e., those described by ordinary differential equations, are found in a multitude of models such as those used to study phenomena related to physical, chemical, biological, ecological, economic and social systems. Using this concept as a unifying idea, in this thesis, we apply it to model and explore both Social as well as Physical systems. In the first part of this thesis we apply tools of statistical physics and bifurcation theory to model a problem of binary decision in Social Sciences. We find an scheme to predict the appearance of extreme jumps in these systems based on the notion of precursors which act as a kind of warning signal for the upcoming appearance of these catastrophic events. We also solve a mathematical model of social collapse based on a logistic re-growing equation used to model population grow and how limited resources change grow patterns. This model exhibits subcritical bifurcations and its relation to the social phenomenon of sunk-cost effect is studied. This last phenomenon explains how past investments affect current decisions and the combination of both phenomena is used as a model to explain the disintegration of some ancient societies, based on evidence from archeological records. In the second part of this thesis, we study macroscopic systems described by multidimensional stochastic differential equations or equivalently by their deterministic counterpart, the multidimensional FokkerPlanck equation. A new and alternative scheme of computation based on Path Integrals, related to stochastic processes is introduced in order to calculate the Probability Distribution Function. The computations based on this Path Integral scheme are performed on systems in one and two dimensions and contrasted to some soluble models completely validating this method. We also extended this scheme to the case of computation of Mean Exit Time, finding a new expression for each computation in systems in arbitrary dimensions. It is worth noting that in case of two-dimensional dynamical systems, the computations of both the probability distribution function as well as of the mean exit time validated the Path Integral scheme and the perspective for continuing this line of work are based on the fact that this method is valid for both arbitrary non gradient systems and noise intensities. This opens the possibility to explore new cases, for which no methods are known to obtain them.