L'objectif de cette thèse est la simulation numérique de la propagation d'une décharge électrique dans un champ électrique à haute tension. Un modèle minimal est utilisé pour la description de la physique. Le modèle consiste en un modèle d'équations de convection-diffusion-réaction de particules électrique couplé à l'équation de Poisson pour le potentiel électrique. Nous simulons la propagation d'une décharge en 3D, qui présente des ramifications causées par des perturbations locales dans le champ électrique. Nous avons mis en oeuvre une méthode basée sur l'adaptation dynamique de maillages pour la simulation numérique. Les propriétés de la méthode sont testées d'abord sur un simple problème analogue en 2D. Cette approche a été suffisante pour le développement de la méthode, même si en 2D le problème est d'un type différent (décharge plane), et cela a permis une transition simple au vrai problème 3D. / The aim of this thesis is a numerical simulation of a streamer propagation (electric discharge in a high voltage electric field). The minimal model is used for the streamer description. The model consists of a system of convection-diffusion-reaction equations for electric particles coupled with Poisson’s equation for an electric potential. We simulate a general streamer motion in 3D which is presented by streamer branching. It is caused by local disturbances in the electric field. We have developed a method based on a dynamically adaptation of grids for the simulation. The properties of the method are tested on simpler problems in 2D (less time consuming). This approach is sufficient for the development of the method even if it is different type of problem (planar discharge) and it allows a simple transition to 3D. / Tato dizertační práce se zabývá numerickou simulací propagace streameru (elektrický výbojve vysokonapět'ovém elektrickém poli). Pro popis streameru je použit minimální model, který se skládá ze soustavy transportních rovnic pro elektricky nabité částice spárovaných s Poissonovou rovnicí pro elektrický potenciál. V práci simulujeme obecný pohyb streameru ve 3D. Tento obecný pohyb je prezentován rozvětvením streameru, kterého se dosáhne pomocí lokálních poruch v elektrickem poli. Pro numerickou simulaci streameru jsme vyvinuli meto du založenou na dynamické adaptaci síte, jejíž vlastnosti byly otestováný na jednodušších problé-mech ve 2D (menší časová náročnost). I když jde o jiný typ problému (rovinný výboj), pro vývoj metody je dostatečný a umožňuje snadný přechod do 3D.

L'adaptation de maillage pour l'approximation des fonctions par éléments finis permet d'adapter localement la résolution en la raffinant dans les lieux de variations rapides de la fonction. Cette méthode intervient dans de nombreux domaines du calcul scientifique. L'utilisation de triangles anisotropes permet d'améliorer l'efficacité du maillage en introduisant des triangles longs et fins épousant notamment les directions des courbes de discontinuité. Etant donnée une norme d'intérêt et une fonction f à approcher, nous formulons le problème de l'adaptation optimale de maillage, comme la minimisation de l'erreur d'approximation par éléments finis de degré k donné parmi toutes les triangulations (potentiellement anisotropes) de cardinalité donnée N du domaine de définition de f. Nous étudions ce problème sous l'angle des quatre questions ci dessous: I. Comment l'erreur d'approximation se comporte-t-elle dans le régime asymptotique où le nombre N de triangles tend vers l'infini, lorsque f est une fonction suffisamment régulière? II. Quelles classes de fonctions gouvernent la vitesse de décroissance de l'erreur d'approximation lorsque N augmente, et sont en ce sens naturellement liées au problème d'adaptation optimale de maillage? III. Ce problème d'optimisation, qui porte sur les triangulations de cardinalité donnée N, peut-il être remplacé par un problème équivalent portant sur un objet continu? IV. Est-il possible de construire une suite quasi-optimale de triangulations en utilisant une procédure hiérarchique de raffinement?

Ces dernières années, les techniques d'imagerie ont fait l'objet de beaucoup d'améliorations. Elles permettent de fournir des images numériques 2D ou 3D précises de zones parfois invisibles à l’œil nu. Ces techniques s'appliquent dans de nombreux domaines comme l'industrie cinématographique, la photographie ou l'imagerie médicale... Dans cette thèse, l'imagerie sera utilisée pour effectuer des simulations numériques en la couplant avec un solveur éléments finis. Nous présenterons, en premier lieu, la morphologie mathématique et la méthode d'immersion d'image. Elles permettront l'extraction d'informations permettant la transformation d'une image dans un maillage exploitable. Puis, une méthode itérative d'adaptation de maillage basée sur un estimateur d'erreur sera utilisée afin de construire un maillage optimal. Ainsi, un maillage sera construit uniquement avec les données d'une image. Nous proposerons également une nouvelle méthodologie pour construire une fonction régulière a l'aide d'une méthode de réinitialisation de la distance signée. Deux avantages sont à noter : l'utilisation de la fonction régularisée permet une bonne adaptation de maillage. De plus, elle est directement utilisable par le solveur éléments finis. Les simulations numériques sont donc réalisées en couplant éléments finis stabilisés, adaptation de maillage anisotrope et réinitialisation. L'objectif de cette thèse est donc de simplifier le calcul numérique à partir d'image, d'améliorer la précision numérique, la construction d'un maillage automatique et de réaliser des calculs numériques parallèles efficaces. Les applications envisagées peuvent être dans le domaine médical, de la physique des matériaux ou du design industriel. / Imaging techniques have well improved in the last decades. They may accurately provide numerical descriptions from 2D or 3D images, opening perspectives towards inner information, not seen otherwise, with applications in different fields, like medicine studies, material science or urban environments. In this work, a technique to build a numerical description under the mesh format has been implemented and used in numerical simulations when coupled to finite element solvers. Firstly, mathematical morphology techniques have been introduced to handle image information, providing the specific features of interest for the simulation. The immersed image method was then proposed to interpolate the image information on a mesh. Then, an iterative anisotropic mesh adaptation operator was developed to construct the optimal mesh, based on the estimated error concerning the image interpolation. The mesh is thus directly constructed from the image information. We have also proposed a new methodology to build a regularized phase function, corresponding to the objects we wish to distinguish from the image, using a redistancing method. Two main advantages of having such function are: the gradient of the regularized function performs better for mesh adaptation; the regularized function may be directly used for the finite element solver. Stabilized finite element flow and advection solvers were coupled to the constructed anisotropic mesh and the redistancing function, allowing its application to multiphase flow numerical simulations. All these developments have been extended in a massively parallel context. An important objective of this work is the simplification of the image based computations, through a modified way to segment the image and by coupling all to an automatic way to construct the mesh used in the finite element simulations.

La reconstruction de surface, à partir de données échantillonnées, est un thème de recherche important et très actif depuis quelques années. L'enjeu est de pouvoir générer toute sorte de géométries et de topologies. Le but de ce travail est de trouver une surface régulière Gamma (typiquement de classe C2), passant au plus près de tous les points d'un échantillon V donné, c'est-à-dire telle que la distance euclidienne d(x, Gamma) soit minimale pour tout x dans V. Pour cela, on formule le problème à l'aide d'une équation aux dérivées partielles qui va caractériser l'évolution d'une surface Gamma(t). Cette EDP est composée d'un terme d'attraction, qui permet à Gamma(t) d'avancer jusqu'à V, et d'un terme de tension de surface, dont le rôle est de préserver la régularité de Gamma(t) au cours du temps. On montre d'abord que le problème est bien posé, c'est-à-dire que sa solution existe et qu'elle est unique. Cette EDP est ensuite résolue numériquement à l'aide de la méthode des lignes de niveau, et grâce à des schémas numériques spécifiques (avec approximation des dérivées d'ordre un et deux en espace en chaque noeud du maillage), sur des triangulations adaptées et anisotropes (pour améliorer la précision du résultat). D'un point de vue analyse, on montre que ces schémas sont consistants et stables en norme L2. Des exemples d'applications sont présentés pour illustrer l'efficacité de notre approche.

Cette thèse est consacrée aux études théoriques et numériques des problèmes sui- vants qui sont liés à l'adaptation de maillage anisotrope : Les métriques et estimateurs d'erreur, les modifications locales de maillages hexaédriques et quadrilatéraux. Nous procédons à la mise en oeuvre de nouveaux algorithmes, schémas numériques et méthodes dans ces deux parties ; notamment en codant dans le logiciel Freefem++ de nouvelles méthodes de reconstruction d'estimateurs d'erreur et de construction de métriques. Nous étudions trois des méthodes de reconstruction de la matrice hessienne, estimateur d'erreur d'interpolation de Lagrange à l'ordre deux qui sont : La reconstruction de la matrice hessienne par moindres carrés, la méthode basée sur la formule de Green, l'approximation locale de la fonction par un polynôme du second degré. Nous proposons une nouvelle approche basée sur l'interpolation polynomiale locale par maille et un schéma aux différences finies. Nous établissons des propriétés de sta- bilité et de convergence ainsi que des résultats numériques en dimension deux. Nous étudions aussi la reconstruction des dérivées troisièmes par moindres carrés. Nous pro- posons également de nouvelles estimations d'erreur d'interpolation de Lagrange grâce à un développement de Taylor à l'ordre trois sans calcul direct de dérivées troisièmes. Il est aussi proposé un algorithme de construction de métriques à partir d'une estima- tion d'erreur pouvant être représentée localement par une courbe fermée, applicable à l'erreur d'interpolation polynomiale d'ordre supérieur. Enfin, nous proposons de nouvelles façons de raffiner ou dé-raffiner localement les maillages hexaédriques. Nous faisons une étude des techniques existantes en proposant de nouvelles caractérisations des transformations locales de maillages quadrilatéraux et hexaédriques.

Ce travail est consacré à la modélisation des macroségrégations et des distorsions se produisant lors de la solidification de pièces métalliques. Un modèle bidimensionnel d'éléments finis est développé pour l'analyse des écoulements de convection thermo-solutale à l'origine des macroségrégations. Dans ce modèle, l'ensemble des équations, moyennées spatialement, de conservation de l'énergie, de la quantité de mouvement, de la masse et des espèces chimiques est résolu en prenant pour modèle de microségrégation la règle des leviers. Plusieurs formulations permettent une résolution avec couplage faible ou fort des différentes résolutions ainsi qu'une approche en système ouvert ou fermé. Dans le but d'augmenter la précision des résultats, un algorithme de remaillage dynamique est également proposé, de façon à enrichir le maillage au voisinage du front de solidification. L'orientation et la norme du gradient de fraction liquide guident le remaillage dans la zone pâteuse, tandis que la distance à l'isotherme liquidus est utilisée dans le liquide. L'approche numérique est validée grâce à un benchmark de macroségrégation tiré de la littérature et portant sur des alliages Pb-Sn. Les influences de la discrétisation spatiale et temporelle et des schémas de couplage sont discutées, notamment par rapport à la capacité de prédiction des canaux ségrégés. En outre, l'efficacité de l'adaptation de maillage est illustrée dans un cas de solidification dirigée, donnant lieu à l'apparition de " freckles ", ainsi que pour la prédiction de bandes ségrégées de type A dans un gros lingot d'acier. La dernière partie du document présente une modélisation thermo-mécanique visant à calculer le développement, pendant le procédé, des contraintes et distorsions dans les zones solidifiées, ainsi que le retrait et les mouvements de thermo-convection affectant les régions liquides. Le comportement de l'alliage est alors considéré comme newtonien à l'état liquide, comme celui d'un milieu continu viscoplastique à l'état pâteux, et comme élasto-visco-plastique à l'état solide. Cette simulation thermo-mécanique est utilisée pour calculer la formation des lames d'air, la génération des déformations, des contraintes et la formation des retassures primaires.

Cette étude s'inscrit dans le domaine de la conception et du dimensionnement de structures industrielles. Elle consiste à proposer une méthodologie permettant de simuler l'endommagement ductile de structures métalliques, suivi de l'amorçage et de la propagation de fissures. La démarche s'organise en trois temps. La première étape consiste à pouvoir décrire correctement l'évolution de l'endommagement jusqu'à l'amorçage de la fissure, par un modèle continu. Or, l'utilisation de modèles de comportement ductiles endommageables classiques avec la méthode des éléments finis conduit à de nombreux problèmes, tels que la dépendance pathologique à la finesse et à l'orientation du maillage ou le verrouillage volumique. Une nouvelle formulation mixte non locale à quatre champs est proposée dans le cadre des petites perturbations afin de surmonter ces problèmes. L'étape suivante vise à améliorer la qualité du calcul. Pour cela, une procédure d'adaptivité de maillage reposant sur un indicateur d'erreur est mise en place afin de permettre d'atteindre le niveau de qualité désiré par l'utilisateur, tout en minimisant les coûts de calculs. Associée au lissage des champs aux anciens points de Gauss avant projection directe aux nouveaux points de Gauss et à l'ajout de viscosité dans le modèle, elle permet de reprendre les calculs sur le nouveau maillage plus adapté après quelques divisions du pas de temps. Enfin, une fois toute la phase d'endommagement décrite avec précision, la dernière partie est consacrée au développement d'une stratégie d'amorçage et de propagation de fissure utilisant l'adaptation de maillage. Pour cela, le chemin de fissure est représenté par un maillage auxiliaire dont le front est le plus régulier possible. Pour déterminer l'orientation de cette discrétisation, un critère reposant sur le gradient de l'endommagement lissé est formulé. Cette stratégie est mise en oeuvre sur un cas test académique en dimensions deux et trois. Par la suite, il serait intéressant de pouvoir appliquer cette méthodologie avec des modèles plus réalistes faisant intervenir le taux de triaxialité, et ce en grandes déformations.

L'objet de cette thèse est la mise en place d'une boucle automatique pour le calcul de flux d'air conditionné dans des géométries complexes. Ce problème est régie par les équations de Navier-Stokes incompressible corrigées par un terme de Boussinesq et couplées avec une équation de température à flux convectif. <br />Nous avons utilisé une méthode d'adaptation de maillage anisotrope basée sur les longueurs d'arêtes avec respect d'une métrique discrète. Une méthode de remaillage local, avec une version anisotrope de l'insertion d'un point par une méthode de Delaunay, a été implémentée pour adapter les maillages.

Cette thèse contribue à un ensemble de travaux consacrés à l'étude d'un schéma ENO centré-sommet (CENO) d'ordre élevé ainsi qu'à l'adaptation de maillage anisotrope pour des calculs de Mécaniques des Fluides précis à l'ordre 3. La première partie des travaux de cette thèse est consacré à une analyse approfondie de la précision du schéma CENO et à la création de termes correcteurs pour améliorer ses propriétés dispersives et dissipatives en une et deux dimensions. On propose un schéma CENO quadratique précis à l'ordre 3, puis cubique précis à l'ordre 4, pour les équations d'Euler des gaz compressibles, ainsi qu' une première version du schéma avec capture de choc monotone. La deuxième partie des travaux est consacrée à la mise au point d'une plateforme numérique d'adaptation de maillage anisotrope multi-échelle et basée fonctionnelle intégrant le schéma CENO. Nous proposons un nouvel estimateur d'ordre 3 du schéma quadratique basé sur une reconstruction de hessien équivalent et son application à des simulations d'acoustiques instationnaire et de Scramjet stationnaire utilisant nos limiteurs.

Cette thèse contribue à un ensemble de travaux consacrés à l’étude d’un schéma ENO centré-sommet (CENO) d’ordre élevé ainsi qu’à l’adaptation de maillage anisotrope pour des calculs de Mécaniques des Fluides précis à l’ordre 3. La première partie des travaux de cette thèse est consacré à une analyse approfondie de la précision du schéma CENO et à la création de termes correcteurs pour améliorer ses propriétés dispersives et dissipatives en une et deux dimensions. On propose un schéma CENO quadratique précis à l’ordre 3, puis cubique précis à l’ordre 4, pour les équations d’Euler des gaz compressibles, ainsi qu’ une première version du schéma avec capture de choc monotone. La deuxième partie des travaux est consacrée à la mise au point d’une plateforme numérique d’adaptation de maillage anisotrope multi-échelle et basée fonctionnelle intégrant le schéma CENO. Nous proposons un nouvel estimateur d’ordre 3 du schéma quadratique basé sur une reconstruction de hessien équivalent et son application à des simulations d’acoustiques instationnaire et de Scramjet stationnaire utilisant nos limiteurs. / This thesis presents to an assembly of work dedicated to the study of high order vertex-centred ENO scheme (CENO) and to anisotropic mesh adaptation for third-order accurate Fluid Mecanics problems. The thesis is structured in two parts. The first part is devoted to a thorough analysis of the CENO scheme accuracy and to the constuction of some corrector terms meant for improving the dissipative and dispersive properties for 1D and 2D numerical problems. We proposed a quadratique third-order accurate CENO scheme, then a cubic fourth-order accurate one, applied to Euler equations for compressible flows. A first monotone, shock capturing version of these scheme is also introduced in the first part. The second part of the thesis focuses on the implementation of a numerical platform for anisotropic multi-scale and goal-oriented mesh adaptivity involving the CENO scheme. A new third-order error estimator for the quadratic scheme is proposed, here based on a reconstuction of the Hessian. Numerical exemples for unsteady acoustic problems and a steady Scramjet problem computed with monotony preserving limiters are presented for validation of the theoretical results.