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Adaptation de maillage anisotrope : étude, construction d'estimateurs d'erreur et raffinement hexaédrique.

Kuate, Raphaël 03 December 2008 (has links) (PDF)
Cette thèse est consacrée aux études théoriques et numériques des problèmes sui- vants qui sont liés à l'adaptation de maillage anisotrope : Les métriques et estimateurs d'erreur, les modifications locales de maillages hexaédriques et quadrilatéraux. Nous procédons à la mise en oeuvre de nouveaux algorithmes, schémas numériques et méthodes dans ces deux parties ; notamment en codant dans le logiciel Freefem++ de nouvelles méthodes de reconstruction d'estimateurs d'erreur et de construction de métriques. Nous étudions trois des méthodes de reconstruction de la matrice hessienne, estimateur d'erreur d'interpolation de Lagrange à l'ordre deux qui sont : La reconstruction de la matrice hessienne par moindres carrés, la méthode basée sur la formule de Green, l'approximation locale de la fonction par un polynôme du second degré. Nous proposons une nouvelle approche basée sur l'interpolation polynomiale locale par maille et un schéma aux différences finies. Nous établissons des propriétés de sta- bilité et de convergence ainsi que des résultats numériques en dimension deux. Nous étudions aussi la reconstruction des dérivées troisièmes par moindres carrés. Nous pro- posons également de nouvelles estimations d'erreur d'interpolation de Lagrange grâce à un développement de Taylor à l'ordre trois sans calcul direct de dérivées troisièmes. Il est aussi proposé un algorithme de construction de métriques à partir d'une estima- tion d'erreur pouvant être représentée localement par une courbe fermée, applicable à l'erreur d'interpolation polynomiale d'ordre supérieur. Enfin, nous proposons de nouvelles façons de raffiner ou dé-raffiner localement les maillages hexaédriques. Nous faisons une étude des techniques existantes en proposant de nouvelles caractérisations des transformations locales de maillages quadrilatéraux et hexaédriques.
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Contribution à la résolution numérique des problèmes de Helmholtz

Grigoroscuta-Strugaru, Magdalena 18 December 2009 (has links) (PDF)
Dans ce travail, nous nous sommes intéressés au développement et à l'analyse numérique de méthodes numériques capables de résoudre efficacement les problèmes de Helmholtz à 2D, notamment en régime moyenne et haute fréquence. La méthode que nous proposons s'inscrit dans la lignée des méthodes de type Galerkin discontinues (DG). Dans chaque élément du maillage, la solution est approchée en utilisant une superposition d'ondes planes. La continuité de la solution aux interfaces est renforcée en utilisant des multiplicateurs de Lagrange. La méthodologie proposée est une procédure en deux étapes: nous résolvons d'abord des problèmes locaux bien posés et ensuite un système global issu de la condition de continuité imposée sur les interfaces. Les plus importantes propriétés de la méthode sont: (a) les problèmes locaux obtenus sont associés à des matrices Hermitiennes et définies positives et (b) le système global, à résoudre dans la deuxième étape, est associé à une matrice Hermitienne et semi-définie positive. Les résultats numériques obtenus montrent la supériorité de la méthode proposée par rapport aux méthodes de type élément fini standard, mais aussi par rapport à d'autres méthodes de type DG, comme par exemple celle développée par Farhat et al (2003).
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Simulation numérique multidimensionnelle d'écoulements estuariens

Pétrau, Agnès 07 December 2009 (has links) (PDF)
On s'intéresse dans cette thèse à la modélisation et à la simulation multidimensionnelle de l'hydrodynamique fluviale, notamment près des estuaires. Le modèle physique de référence est le modèle 3D, mais au vu de son important coût de calcul, il est intéressant de disposer de modèles plus simples en 1D, 2D ou 2.5D, que l'on peut utiliser dans des zones adéquates du fleuve, en fonction de sa bathymétrie. Ainsi, à partir du modèle 3D basé sur les équations instationnaires et incompressibles de Navier-Stokes, des modèles plus simples sont dérivés par projection par formulations faibles du problème 3D. On obtient ainsi un modèle en 1D, écrit sur la courbe médiane de la surface libre du fleuve, ainsi que deux modèles en 2D, le 2D-vertical écrit sur la surface longitudinale médiane du fleuve et le 2D-horizontal écrit sur la surface libre. Enfin on définit un modèle en quasi-3D, le modèle 2.5D, écrit dans la somme des espaces 2D-vertical et 2D-horizontal. Tous ces modèles prennent en compte la géométrie du fleuve et fournissent une vitesse tridimensionnelle ainsi que la pression, qui n'est pas supposée hydrostatique mais qui est une inconnue entière du problème. En outre, on définit et justifie un estimateur de modèles entre le modèle 3D et chacune de ses approximations en 1D, 2D et 2.5D. Cet estimateur calcule l'erreur entre le modèle 3D et son approximation, et donne ainsi une indication sur la qualité des résultats obtenus à partir des modèles 1D, 2D ou 2.5D, dans leurs zones respectives de calcul. Tous ces modèles hydrodynamiques sont implémentés dans des codes d'éléments finis, écrits en C++. Enfin, ils sont couplés numériquement à l'aide de l'estimateur de modèles.
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Méthodes de Galerkine discontinues et analyse d'erreur a posteriori pour les problèmes de diffusion hétérogène

Stephansen, Annette Fagerhaug 17 December 2007 (has links) (PDF)
Dans cette thèse, nous analysons une méthode de Galerkine discontinue (GD) et deux estimateurs d'erreur a posteriori pour l'équation d'advection-diffusion-réaction linéaire et stationnaire avec diffusion hétérogène. La méthode GD considérée, la méthode SWIP, utilise des moyennes pondérées dont les poids dépendent de la diffusion. L'analyse a priori montre que la convergence est optimale en le pas du maillage et robuste par rapport aux hétérogénéités de la diffusion, ce qui est confirmé par les tests numériques. Les deux estimateurs d'erreur a posteriori sont obtenus par une analyse par résidus et contrôlent la (semi-)norme d'énergie de l'erreur. L'analyse d'efficacité locale montre que presque tous les estimateurs sont indépendants des hétérogénéités. Le deuxième estimateur d'erreur est plus précis que le premier, mais son coût de calcul est légèrement plus élevé. Cet estimateur est basé sur la construction d'un flux H(div)-conforme dans l'espace de Raviart-Thomas-Nédéléc.
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Application de la méthode des éléments finis pour la modélisation de configurations de contrôle non destructif par courants de Foucault

Choua, Yahya 01 October 2009 (has links) (PDF)
Les travaux présentés dans cette thèse traitent de la modélisation par la méthode des éléments finis de configurations de contrôle non destructif par courants de Foucault. Un code de calcul programmé en langage C++, s'appuyant sur la discrétisation en trois dimensions des équations de Maxwell en régime harmonique a été développé. Deux formulations magnétodynamiques duales en potentiels combinés "a − psi" et "t −phi " ont été mises en oeuvre. Des éléments de Whitney étraédriques du premier ordre ont été utilisés. Les potentiels scalaires sont discrétisés aux noeuds des éléments et les potentiels vecteurs à leurs arêtes. Le travail présenté dans ce mémoire aborde un cas précis mais de grande importance parmi les applications du CND par CF. Il s'agit des défauts de faible ouverture (fissures), qui sont fréquemment rencontrés en CND. Leur détection permet de prévenir la destruction des pièces en fonctionnement et d'augmenter la fiabilité des produits industriels. Leur prise en compte par la MEF peut être délicate car leur maillage conduit à une forte densité d'éléments ou à des éléments déformés. C'est dans ce contexte qu'un modèle a été développé pour faciliter la modélisation de ce type de défauts. L'idée consiste à considérer la fissure comme une surface non conductrice imperméable au courant. Pour assurer le bon comportement des différentes grandeurs électromagnétiques, des conditions aux limites appropriées sont appliquées sur la surface de la fissure. Ces conditions sont prises en compte par la formulation électrique a− psi en dédoublant les degrés de liberté (potentiel scalaire électrique) attachés aux noeuds de la surface de la fissure de part et d'autre de celle-ci. Par la formulation magnétique t− phi en annulant la circulation du potentiel vecteur électrique t sur les arêtes appartenant à la surface de celle-ci. La résolution simultanée des deux formulations a−psi et t−phi par la MEF permet de vérifier au sens fort toutes les équations de Maxwell. Les résultats obtenus se complètent et les erreurs numériques dues aux discrétisations se traduisent sous forme d'une non-vérification des lois de comportement. Cela a permis, en utilisant cette propriété de complémentarité de deux formulations, de définir des indicateurs d'erreur afin de développer une procédure d'adaptation automatique de maillage. Plusieurs types d'estimateurs d'erreur ont été définis et étudiés sur différents cas test.
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Adaptation de maillage anisotrope 3D multi-échelles et ciblée à une fonctionnelle pour la mécanique des fluides.<br />Application à la prédiction haute-fidélité du bang sonique.

Loseille, Adrien 18 December 2008 (has links) (PDF)
En mécanique des fluides (CFD), l'adaptation de maillage anisotrope est reconnue pour sa capacité à réduire le ratio entre le nombre de degrés de liberté et la précision du calcul. Cependant, son application dans le cas d'écoulements compressibles avec des chocs pose les problématiques suivantes : (i) les schémas numériques d'ordre élevé de type shock capturing retombent à l'ordre un dans les chocs, (ii) les senseurs utilisés pour l'adaptation prescrivent dans les chocs des tailles qui tendent vers zéro. Il est donc nécessaire de prescrire une taille minimale. On perd alors tout l'intérêt d'une adaptation anisotrope. On apporte une réponse à ces problématiques en considérant une adaptation anisotrope multi-échelles du maillage basée sur le modèle de maillage continu. On alors montre que le processus adaptatif converge dans les chocs si le schéma numérique utilisé est non compressif. La prescription d'une taille minimale n'est plus nécessaire. On retrouve également un ordre deux de convergence dans tout le domaine, même en présence de chocs. Si on se donne des informations supplémentaires (fonctionnelle précise à observer, équation aux dérivées partielles, schéma numérique utilisé pour la résoudre) les méthodes génériques précédentes ne sont plus op- timales dans la distribution des degrés de liberté. On étudie cette problématique dans le cas particulier des équations d'Euler pour des fonctionnelles scalaires. Ce type d'étude est très bien adapté pour le calcul de grandeurs d'intérêt comme la portance ou la traînée en aérodynamique. On propose une estimation d'erreur a priori pour le contrôle de l'erreur d'approximation sur une fonctionnelle. Cette estimation est ensuite minimisée sur l'espace des maillages continus afin de décrire le maillage anisotrope optimal. Enfin, on applique l'adaptation multi-échelles à la prédiction haute-fidélité du bang sonique.
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Analyse d'erreur a priori et a posteriori pour des méthodes d'éléments finis mixtes non-conformes

El Alaoui Lakhnati, Linda 01 1900 (has links) (PDF)
Dans cette thèse nous nous intéressons à l'analyse d'erreur a priori et a posteriori de méthodes d'éléments finis mixtes et non-conformes. Nous considérons en particulier les équations de Darcy à perméabilité fortement variable et les équations de convection-diffusion-réaction en régime de convection dominante. Nous discrétisons les équations de Darcy par une méthode d'éléments finis mixtes non-conformes de type Petrov-Galerkin appelée schéma boîte. Les techniques d'estimations d'erreur a posteriori par résidu et hiérarchique conduisent à des estimateurs d'erreur a posteriori fiables et optimaux indépendamment des fluctuations de la perméabilité. Les résultats théoriques sont validés numériquement sur différents cas tests présentant de forts contrastes de perméabilité. Enfin, nous montrons comment les indicateurs d'erreur obtenus permettent de générer des maillages adaptatifs. Nous discrétisons les équations de convection-diffusion-réaction par des éléments finis nonconformes. Deux méthodes de stabilisation sont étudiées: la stabilisation par viscosité de sous-maille, conduisant à un schéma boîte et la méthode de pénalisation sur les faces. Nous montrons que les deux schémas ainsi obtenus ont les mêmes propriétés de convergence que les approximations par éléments finis conformes. Grâce aux techniques d'estimations d'erreur par résidu nous obtenons des estimateurs d'erreur a posteriori fiables et optimaux. Certains des indicateurs d'erreur sont robustes au sens de Verfürth, c'est à dire que le rapport des constantes intervenant dans les inégalités de fiabilité et d'optimalité explose en au plus l'inverse du nombre de Péclet. Les résultats théoriques sont validés numériquement et les indicateurs d'erreur a posteriori obtenus permettent de générer des maillages adaptatifs sur des problèmes présentant des couches intérieures.
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Estimateurs d'erreur et ramaillage adaptatif : application à la simulation 3D des procédés de mise en forme des matériaux

Boussetta, Ramzy 18 March 2005 (has links) (PDF)
La simulation numérique par la méthode des éléments finis de tout problème physique s'appuie sur le maillage associé à la géométrie du domaine de calcul. Dans le cadre des problèmes de la mise en forme des matériaux, le maillage qui suit les grandes déformations de la pièce dégénère rapidement. La simulation de tels problèmes nécessite donc la génération de manière automatique de nombreux maillages dont la qualité conditionne la précision des calculs. L'objectif de cette étude est le développement d'une procédure d'adaptation de maillage entièrement automatique permettant le contrôle de l'erreur de discrétisation spatiale et le pilotage de l'étape de remaillage au cours des calculs. Une première partie de ce travail est consacrée à l'étude et l'évaluation numérique des estimateurs d'erreur de type Zienkiewicz-Zhu. Initialement développés pour des problèmes 2D d'élasticité, ces estimateurs sont étendus aux problèmes 3D non linéaires avec des matériaux incompressibles. L'objectif de cette première étude est le développement d'un estimateur fiable et efficace pour le contrôle d'erreur dans le cadre des problèmes de la mise en forme des matériaux. Une fois l'erreur estimée, il est possible de contrôler la qualité de la solution en calculant la taille optimale de chaque élément du maillage. Ceci revient à construire un maillage optimal, soit au sens d'une précision imposée ou au sens de la taille maximale du problème étudié. Il s'agit ainsi, dans cette deuxième partie, de développer une stratégie d'adaptation de maillage, pilotée par l'estimation d'erreur, qui soit efficace et robuste pour la simulation numérique des problèmes industriels de la mise en forme.
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Prise en compte de la variabilité dans le calcul de structures avec contact

Bellec, Jérémie 20 June 2008 (has links) (PDF)
aL'objectif de ce travail est la représentation et la propagation de variabilités dues aux incertitudes dans lescalculs d'assemblages complexes. Nous avons donc commencé par distinguer les différents types de paramètresvariables à modéliser et par répertorier un certain nombre de moyens permettant d'obtenir des informationsstatistiques sur ceux-ci. Nous avons ensuite fait une étude bibliographique des différentes méthodes de calculpermettant de traiter ces incertitudes avec une attention particulière pour les méthodes probabilistes dites nonintrusives que nous avons testé sur un exemple simple. La disparité des résultats obtenus nous à amener à définir unestimateur d'erreur dans le cadre stochastique permettant de quantifier la qualité des modèles utilisés. A partir de cetestimateur, nous avons définit deux indicateurs heuristiques spécifiques permettant de distinguer la part de l'erreurdue à l'approximation stochastique de celle due à l'approximation géométrique. Ces outils ont ensuite permis dedéfinir une technique de calcul adaptative pour les problèmes stochastiques que nous avons appliqué sur un problèmecomplexe proposé par SNECMA.
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Analyse de méthodes mixtes d'éléments finis en mécanique

Capatina, Daniela 02 November 2011 (has links) (PDF)
Les travaux de recherche de cette habilitation se situent dans le domaine de l'Analyse Numérique des Equations aux Dérivées Partielles et portent sur la modélisation, la discrétisation, l'analyse a priori et a posteriori de schémas et la simulation numérique de différents problèmes issus de la mécanique. Un fil conducteur de ces travaux est l'utilisation et l'étude des méthodes d'éléments finis (conformes, non-conformes, mixtes, de Galerkin discontinus, stabilisés) et des formulations mixtes. Les domaines d'application abordés sont la mécanique des solides élastiques, l'ingénierie pétrolière et la mécanique des fluides, newtoniens et non-newtoniens. Ainsi, des problèmes d'élasticité linéaire, comme la discrétisation de deux modèles de plaque mince en flexion munie de conditions aux limites physiques, ont été considérés. Des écoulements anisothermes dans les milieux poreux, décrits par les équations de Darcy-Forchheimer avec un bilan d'énergie exhaustif dans les cas mono et multi-phasique, ainsi qu'un couplage thermo-mécanique puits - réservoir pétrolier ont aussi été étudiés, dans le cadre d'une collaboration industrielle avec Total. Enfin, plusieurs questions en mécanique des fluides ont été abordées, comme la discrétisation robuste des équations de Stokes par une méthode de Galerkin discontinue en lien avec les éléments finis non-conformes, le traitement des conditions aux limites non-standard pour les équations de Navier-Stokes, la modélisation hiérarchique multi-dimensionnelle des écoulements fluviaux à surface libre, la simulation réaliste des écoulements de liquides polymères et la stabilité des schémas numériques par rapport aux paramètres physiques, en particulier pour le modèle de Giesekus.

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