Cette thèse est consacrée aux études théoriques et numériques des problèmes sui- vants qui sont liés à l'adaptation de maillage anisotrope : Les métriques et estimateurs d'erreur, les modifications locales de maillages hexaédriques et quadrilatéraux. Nous procédons à la mise en oeuvre de nouveaux algorithmes, schémas numériques et méthodes dans ces deux parties ; notamment en codant dans le logiciel Freefem++ de nouvelles méthodes de reconstruction d'estimateurs d'erreur et de construction de métriques. Nous étudions trois des méthodes de reconstruction de la matrice hessienne, estimateur d'erreur d'interpolation de Lagrange à l'ordre deux qui sont : La reconstruction de la matrice hessienne par moindres carrés, la méthode basée sur la formule de Green, l'approximation locale de la fonction par un polynôme du second degré. Nous proposons une nouvelle approche basée sur l'interpolation polynomiale locale par maille et un schéma aux différences finies. Nous établissons des propriétés de sta- bilité et de convergence ainsi que des résultats numériques en dimension deux. Nous étudions aussi la reconstruction des dérivées troisièmes par moindres carrés. Nous pro- posons également de nouvelles estimations d'erreur d'interpolation de Lagrange grâce à un développement de Taylor à l'ordre trois sans calcul direct de dérivées troisièmes. Il est aussi proposé un algorithme de construction de métriques à partir d'une estima- tion d'erreur pouvant être représentée localement par une courbe fermée, applicable à l'erreur d'interpolation polynomiale d'ordre supérieur. Enfin, nous proposons de nouvelles façons de raffiner ou dé-raffiner localement les maillages hexaédriques. Nous faisons une étude des techniques existantes en proposant de nouvelles caractérisations des transformations locales de maillages quadrilatéraux et hexaédriques.

L'objet de cette thèse est la mise en place d'une boucle automatique pour le calcul de flux d'air conditionné dans des géométries complexes. Ce problème est régie par les équations de Navier-Stokes incompressible corrigées par un terme de Boussinesq et couplées avec une équation de température à flux convectif. <br />Nous avons utilisé une méthode d'adaptation de maillage anisotrope basée sur les longueurs d'arêtes avec respect d'une métrique discrète. Une méthode de remaillage local, avec une version anisotrope de l'insertion d'un point par une méthode de Delaunay, a été implémentée pour adapter les maillages.

L'interaction fluide structure est présente dans beaucoup de problèmes industriels, dans les domaines d'ingénierie mécanique, civile ou biomécanique. Même si les performances informatiques s'améliorent considérablement et que les méthodes en mécanique numérique gagnent en maturité, certaines difficultés ne permettent pas encore de réaliser des simulations numériques précises. Actuellement deux méthodes numériques gagnent en popularité pour la simulation numérique d'interactions fluide structure: la méthode de partitionnement et la méthode monolithique. Des résultats de la littérature montrent que la première est efficace et précise mais qu'elle peut rencontrer des problèmes d'instabilité si les ratios de densité sont élevés ou que les géométries sont complexes. Les méthodes d'immersion sont de plus en plus utilisées par la communauté scientifique. Différentes approches ont été développées, dont la Méthode d'Immersion de Volume. Cette méthode permet de faciliter la mise en place des calculs. Ainsi il n'est pas nécessaire de construire des maillages concordant avec la géométrie des objets, et le couplage entre les fluides et les solides se fait naturellement. C'est sur cette analyse qu'a été développé le logiciel Thost. Il permet de simuler des procédés industriels tels que le chauffage de pièces métalliques dans les fours industriels ou la trempe sans caractériser expérimentalement des coefficients de transfert. Le but d'un tel logiciel est de permettre une meilleure compréhension des procédés et ainsi de les optimiser. Cependant les coûts de calcul restant élevés, le but de la thèse est de les diminuer en s'appuyant sur des méthodes numériques innovantes tels que l'adaptation dynamique de maillage anisotrope, des méthodes éléments finis stabilisées ou l'immersion directe des objets à partir de la Conception Assistée par Ordinateur. / Fluid-Structure Interaction (FSI) describes a wide variety of industrial problems arising in mechanical engineering, civil engineering and biomechanics. In spite of the available computer performance and the actual maturity of computational fluid dynamics and computational structural dynamics, several key issues still prevent accurate FSI simulations.Two main approaches for the simulation of FSI problems are still gaining attention lately: partitioned and monolithic approaches. Results in the literature show that the partitioned approach is accurate and efficient but some instabilities may occur depending on the ratio of the densities and the complexity of the geometry. Monolithic methods are still of interest due to their capability to treat the interaction of the fluid and the structure using a unified formulation. In fact it makes the build up of a FSI problem easier as the mesh do not have to fit the geometry of the solids and the transfers are treated naturally.The software Thost has been created based on these analyzes. Thost is a 3D aerothermal numerical software. It has been developped for the numerical simulation of industrial processes like the heating in industrial furnaces as well as quenching. Its target is to model numericaly the thermal history of the industrial pieces in their environment without using any transfer coefficient. However the computational costs are still high and therefore the software is not fully efficient from an industrial point of view to simulate, analize and improve complex processes. All the work in this PhD thesis has been done to reduce the computational costs and optimize the accuracy of the simulations in Thost based on innovatives numerical methods such as dynamic anisotropic mesh adaptation, stabilized finite elements methods and immersing the objects directly from their Computer Aided Design files.

Dans le cadre des procédés de chauffage et de trempe réalisés lors d’opération de mise en forme des matériaux, le rayonnement thermique joue un rôle prépondérant. Lors de l’élaboration de modèles numériques permettant la simulation de ces procédés, il est donc nécessaire de disposer d’outils performants pour simuler ce phénomène.La simulation numérique de tels procédés soulèvent de nombreuses problématiques, comme la représentation d’un environnement complexe impliquant plusieurs composants (pièces, bruleurs, buses d’injection, parois), la gestion des divers phénomènes physiques couplés (écoulement, transfert thermiques, ébullition, rayonnement). Dans cette perspective, les méthodes dites « d’immersion », permettant un traitement généraliste de ces divers problèmes, rencontrent depuis quelques années un intérêt grandissant dans la communauté scientifique.C’est dans ce contexte que s’inscrit le projet Thost, au sein duquel est réalisée cette thèse. L’objectif est donc de développer des outils pour la modélisation du rayonnement dans le contexte d’immersion de volume propre au logiciel Thost. Deux approches sont développées : l’une consistant en l’adaptation d’une méthode existante au contexte de l’immersion de volume, l’autre explorant l’élaboration d’une formulation pour un modèle particulier de rayonnement. Les outils développés sont ensuite mis à l’épreuve sur des simulations de cas industriels fournis par nos partenaires. / For heating and quenching operations occurring during material forming processes, thermal radiation is the the predominant physical phenomenon. Hence, when one tries to simulate such processes, it is important to have at disposal powerful tools for the numerical modelling of thermal radiation.The numerical simulation of these processes often rises numerous problems and questions, as the representation of a complex environment, involving several components ( ingots, burners, nozzles, walls), to deal with different coupled physical phenomena ( flow, heat transfer, boiling, thermal radiation). In this regard, some “immersed” numerical methods, allows a generalist treatment of these different problems, have gained popularity and drag interest of the scientific community in the recent years.The Thost project, aiming to produce a software for heat transfer during material forming processes, fits in the framework, and this PhD is part of this project. The goal is therefore to design tools for numerical modelling of thermal radiation within the immersed volume method of the Thost software. Two approaches are presented: one consisting in the adaptation of an existing method to the context of the immersed volume method, another concerning the development of a formulation for a specific model of radiation. These methods are then tested on industrial applications provided by our partners.

Les procédés de trempe sont largement répandus dans l'industrie en particulier dans le domaine de l'automobile, du nucléaire et de l'aérospatiale car ils ont un impact direct sur la microstructure, les propriétés mécaniques et les contraintes résiduelles de pièces critiques. La trempe est un processus fortement non-linéaire à cause des couplages forts entre la mécanique des fluides, les transferts thermiques aux différentes interfaces, les transformations de phase du solide et l'ébullition du milieu de trempe. Malgré les progrès effectués par la simulation numérique, ce procédé reste extrêmement difficile à modéliser.Dans ce travail, nous proposons le développement d'outils numériques permettant la simulation réaliste de ce procédé à l'échelle industrielle. La mécanique des fluides est simulée en utilisant une méthode d'Elements Finis stabilisés permettant de considérer des écoulements à haut nombre de Reynolds. Les transferts thermiques sont calculés directement sans l'utilisation de coefficients de transferts empiriques, en utilisant le couplage fort entre le fluide et le solide. Nous avons développé un modèle de changement de phase pour l'eau permettant de considérer les différents régimes d'ébullition. Une formulation unifiée des équations de Navier-Stokes, considérant une phase compressible et une phase incompressible a été développée afin de prendre en compte plus précisément la dynamique de la vapeur et de l'eau. Une procédure dynamique d'adaptation anisotrope de maillage, permettant une description plus fine des interfaces et une prise en compte plus précise des caractéristiques des écoulements est utilisée.Des exemples numériques exigeants ainsi qu'une validation expérimentale permettent d'évaluer la précision et la robustesse des outils proposés.Les outils développés permettent ainsi l'optimisation du mode opératoire du procédé, des ressources consommées et servent ainsi d'outils prospectifs pour la conception de produits. / Quenching processes of metals are widely adopted procedures in the industry, in particular automotive, nuclear and aerospace industries, since they have direct impacts on changing mechanical properties, controlling microstructure and releasing residual stresses of critical parts. Quenching is a highly nonlinear process because of the strong coupling between the fluid mechanics, heat transfer at the interface solid-fluid, phase transformation in the metal and boiling. In spite of the maturity and the popularity of numerical formulations, several involved mechanisms are still not well resolved.Therefore we propose a Direct Numerical Simulation of quenching processes at the industrial scale dealing with these phenomena. The fluid mechanics is simulated using a Finite Element Method adapted for high convective flows allowing the use of high stirring velocity in the quenching bath. Heat transfers are computed directly without the use of heat transfer coefficients but using the strong coupling between the fluid and the solid. We use a phase change model for the water that models all boiling regimes. A unified formulation of the Navier-Stokes equations, taking into account a compressible gas and an incompressible liquid is developed to model more accurately the vapor-water dynamics. A dynamic mesh adaptation procedure is used, increasing the resolution in the description of the interfaces and capturing more accurately the features of the flows.We assess the behavior and the accuracy of the proposed formulation in the simulation of time-dependent challenging numerical examples and experimental results.These recent developments enable the optimization of the process in terms of operating conditions, resources consumed and products conception.

Cette thèse est consacrée à l’étude théorique ainsi qu’au traitement numérique de fluides incompressibles à surface libre. La première partie concerne un système d’équations appelé le système de Green–Naghdi. Comme le système de Saint-Venant, il s’agit d’une approximation d’eaux peu-profondes du problème de Zakharov. La différence est que le système de Green–Naghdi est d’un degré plus élevé en ordre d’approximation. C’est pourquoi il contient tous les termes du système de Saint-Venant plus de termes d’ordre trois non-linéairement dispersives. Autrement dit, le système de Green–Naghdi peut être vu comme une perturbation dispersive du système de Saint-Venant. Ce dernier système étant hyperbolique, il entre dans le cadre classique développé pour des systèmes hyperboliques. En particulier, il est entropique (au sense de Lax) et symétrique. On peut donc lui appliquer les résultats d’existence et d’unicité bien connus pour des systèmes hyperboliques. Dans la première partie de ce travail, on généralise la notion de symétrie à une classe plus générale de systèmes contenant le système de Green–Naghdi. Ceci nous permet de symétriser les équations de Green–Naghdi et d’utiliser la symétrie obtenue pour déduire un résultat d’existence globale après avoir ajouté un terme dissipative d’ordre 2 au système. Ceci est fait en adaptant l’approche utilisée dans la littérature pour des systèmes hyperboliques. La deuxième partie de ce travail concerne le traitement numérique des équations de Navier–Stokes à surface libre avec un terme de tension de surface. Ici, la surface libre est modélisée en utilisant la formulation des lignes de niveaux. C’est pourquoi la condition cinématique (condition de l’évolution de surface libre) s’écrit sous la forme d’une équation d’advection satisfaite par la fonction de ligne de niveaux. Cette équation est résolue sur une domaine de calcul contenant strictement le domaine de fluide, sur de petits sous-intervalles du temps. Chaque itération de l’algorithme global correspond donc à l’advection du domaine du fluide sur le sous-intervalle du temps associé et ensuite de résoudre le système de Navier–Stokes discrétisé en temps sur le domaine du fluide. Cette discrétisation en temps est faite par la méthode des caractéristiques. L’outil clé qui nous permet de résoudre ce système uniquement sur le domaine du fluide est l’adaptation de maillage anisotrope. Plus précisément, à chaque itération le maillage est adapté au domaine du fluide tel que l’erreur d’approximation et l’erreur géométrique soient raisonnablement petites au voisinage du domaine du fluide. La résolution du problème discrétisé en temps sur le domaine du fluide est faite par l’algorithme d’Uzawa utilisé dans la cadre de la méthode des éléments finis. Par ailleurs, la condition de glissement de Navier est traité ici en ajoutant un terme de pénalisation à la formulation variationnelle associée. / This thesis is about theoretical study and numerical treatment of some problems raised in incompressible free-surface fluid dynamics. The first part concerns a model called the Green–Naghdi (GN) equations. Similarly to the non linear shallow water system (called also Saint-Venant system), the Green–Naghdi equations is a shallow water approximation of water waves problem. Indeed, GN equation is one order higher in approximation compared to Saint-Venant system. For this reason, it contains all the terms of Saint-Venant system in addition to some non linear third order dispersive terms. In other words, the GN equations is a dispersive perturbation of the Saint-Venant system. The latter system is hyperbolic and fits the general framework developed in the literature for hyperbolic systems. Particularly, it is entropic (in the sense of Lax) and symmertizable. Therefore, we can apply the well-posedness results known for symmetric hyperbolic system. During the first part of this work, we generalize the notion of symmetry to a more general type of equations including the GN system. This lets us to symmetrize the GN equation. Then, we use the suggested symmetric structure to obtain a global existence result for the system with a second order dissipative term by adapting the approach classically used for hyperbolic systems. The second part of this thesis concerns the numerical treatment of the free surface incompressible Navier–Stokes equation with surface tension. We use the level set formulation to represent the fluid free-surface. Thanks to this formulation, the kinematic boundary condition is treated by solving an advection equation satisfied by the level set function. This equation is solved on a computational domain containing the fluid domain over small time subintervals. Each iteration of the algorithm corresponds to the adevction of the fluid domain on a small time subinterval and to solve the time-discretized Navier–Stokes equations only on the fluid domain. The time discretization of the Navier–Stokes equation is done by the characteristic method. Then, the key tool which lets us solve this equation on the fluid domain is the anisotropic mesh adaptation. Indeed, at each iteration the mesh is adapted to the fluid domain such that we get convenient approximation and geometric errors in the vicinity of the fluid domain. This resolution is done using the Uzawa algorithm for a convenient finite element method. The slip boundary conditions are considered by adding a penalization term to the variational formulation associated to the problem.

Aujourd'hui, avec l'amélioration des puissances de calcul informatique, la simulation numérique est devenue un outil essentiel pour la prédiction des phénomènes physiques et l'optimisation des procédés industriels. La modélisation de ces phénomènes pose des difficultés scientifiques car leur résolution implique des temps de calcul très longs malgré l'utilisation d'importantes ressources informatiques.Dans cette thèse, on s'intéresse à la résolution de problèmes complexes couplant écoulements et transferts thermiques. Les problèmes physiques étant fortement anisotropes, il est nécessaire d'avoir un maillage avec une résolution très élevée pour obtenir un bon niveau de précision. Cela implique de longs temps de calcul. Ainsi il faut trouver un compromis entre précision et efficacité. Le développement de méthodes d'adaptation en temps et en espace est motivé par la volonté de faire des applications réelles et de limiter les inconvénients inhérents aux méthodes de résolution non adaptatives en terme de précision et d'efficacité. La résolution de problèmes multi-échelles instationnaires sur un maillage uniforme avec un nombre de degrés de liberté limité est souvent incapable de capturer les petites échelles, nécessite des temps de calcul longs et peut aboutir à des résultats incorrects. Ces difficultés ont motivé le développement de méthodes de raffinement local avec une meilleure précision aux endroits adéquats. L'adaptation en temps et en espace peut donc être considérée comme une composante essentielle de ces méthodes.L'approche choisie dans cette thèse consiste en l'utilisation de méthodes éléments finis stabilisées et le développement d'outils d'adaptation espace-temps pour améliorer la précision et l'efficacité des simulations numériques.Le développement de la méthode adaptative est basé sur un estimateur d'erreur sur les arrêtes du maillage afin de localiser les régions du domaine de calcul présentant de forts gradients ainsi que les couches limites. Ensuite une métrique décrivant la taille de maille en chaque noeud dans les différentes directions est calculée. Afin d'améliorer l'efficacité des calculs la construction de cette métrique prend en compte un nombre fixe de noeuds et aboutit à une répartition et une orientation optimale des éléments du maillage. Cette approche est étendue à une formulation espace-temps où les maillages et les pas de temps optimaux sont prédits sur des intervalles de temps en vue de contrôler l'erreur d'interpolation sur la domaine de calcul. / Nowadays, with the increase in computational power, numerical modeling has become an intrinsic tool for predicting physical phenomena and developing engineering designs. The modeling of these phenomena poses scientific complexities the resolution of which requires considerable computational resources and long lasting calculations.In this thesis, we are interested in the resolution of complex long time and large scale heat transfer and fluid flow problems. When the physical phenomena exhibit sharp anisotropic features, a good level of accuracy requires a high mesh resolution, hence hindering the efficiency of the simulation. Therefore a compromise between accuracy and efficiency shall be adopted. The development of space and time adaptive adaptation techniques was motivated by the desire to devise realistic configurations and to limit the shortcomings of the traditional non-adaptive resolutions in terms of lack of solution's accuracy and computational efficiency. Indeed, the resolution of unsteady problems with multi-scale features on a prescribed uniform mesh with a limited number of degrees of freedom often fails to capture the fine scale physical features, have excessive computational cost and might produce incorrect results. These difficulties brought forth investigations towards generating meshes with local refinements where higher resolution was needed. Space and time adaptations can thus be regarded as essential ingredients in this recipe.The approach followed in this work consists in applying stabilized finite element methods and the development of space and time adaptive tools to enhance the accuracy and efficiency of the numerical simulations.The derivation process starts with an edge-based error estimation for locating the regions, in the computational domain, presenting sharp gradients, inner and boundary layers. This is followed by the construction of nodal metric tensors that prescribe, at each node in the spatial mesh, mesh sizes and the directions along which these sizes are to be imposed. In order to improve the efficiency of computations, this construction takes into account a fixed number of nodes and generates an optimal distribution and orientation of the mesh elements. The approach is extended to a space-time adaptation framework, whereby optimal meshes and time-step sizes for slabs of time are constructed in the view of controlling the global interpolation error over the computation domain.

Le nuage de points 3D est la donnée obtenue par la majorité des méthodes de numérisation surfacique actuelles. Nous nous intéressons ainsi dans cette thèse à l'utilisation de nuages de points comme unique représentation explicite de surface. Cette thèse présente deux contributions en traitements basés points. La première contribution proposée est une nouvelle méthode de rendu de nuages de points bruts et massifs par opérateurs pyramidaux en espace image. Cette nouvelle méthode s'applique aussi bien à des nuages de points d'objets scannés, que de scènes complexes. La succession d'opérateurs en espace image permet alors de reconstruire en temps réel une surface et d'en estimer des normales, ce qui permet par la suite d'en obtenir un rendu par ombrage. De plus, l'utilisation d'opérateurs pyramidaux en espace image permet d'atteindre des fréquences d'affichage plus élevées d'un ordre de grandeur que l'état de l'art .La deuxième contribution présentée est une nouvelle méthode de simulation numérique en mécanique des fluides en volumes immergés par reconstruction implicite étendue. La méthode proposée se base sur une nouvelle définition de surface implicite par moindres carrés glissants étendue à partir d'un nuage de points. Cette surface est alors utilisée pour définir les conditions aux limites d'un solveur Navier-Stokes par éléments finis en volumes immergés, qui est utilisé pour simuler un écoulement fluide autour de l'objet représenté par le nuage de points. Le solveur est interfacé à un mailleur adaptatif anisotrope qui permet de capturer simultanément la géométrie du nuage de points et l'écoulement à chaque pas de temps de la simulation. / Most surface 3D scanning techniques produce 3D point clouds. This thesis tackles the problem of using points as only explicit surface representation. It presents two contributions in point-based processing. The first contribution is a new raw and massive point cloud screen-space rendering algorithm. This new method can be applied to a wide variety of data from small objects to complex scenes. A sequence of screen-space pyramidal operators is used to reconstruct in real-time a surface and estimate its normals, which are later used to perform deferred shading. In addition, the use of pyramidal operators allows to achieve framerate one order of magnitude higher than state of the art methods. The second proposed contribution is a new immersed boundary computational fluid dynamics method by extended implicit surface reconstruction. The proposed method is based on a new implicit surface definition from a point cloud by extended moving least squares. This surface is then used to define the boundary conditions of a finite-elements immersed boundary transient Navier-Stokes solver, which is used to compute flows around the object sampled by the point cloud. The solver is interfaced with an anisotropic and adaptive meshing algorithm which refines the computational grid around both the geometry defined by point cloud and the flow at each timestep of the simulation.

Cette thèse présente la construction d’un schéma aux Résidus Distribués p-adaptatif pour la discrétisation des équations d’Euler ainsi qu’un schéma aux Résidus Distribués hp-adaptatif pour les équations de Navier- Stokes pénalisées. On rappelle tout d’abord les équations d’Euler et de Navier-Stokes ainsi que leurs versions non dimensionnelles. Les définitions et propriétés de base des schémas aux Résidus Distribués sont ensuite présentées. On décrit alors la construction d’un schéma aux Résidus Distribués p-adaptatif pour les équations d’Euler. La construction du schéma p-adaptatif est basée sur la possibilité d’exprimer le résidu total d’un élément K de degré k (au sens où l’élément fini (K; P; Sigma ) est un élément fini de degré k) comme une somme pondérée des résidus totaux de ses sous-éléments de degré 1. La solution discrète ainsi obtenue est en général discontinue à l’interface entre un élément subdivisé et un élément non subdivisé. Ceci contredit l’hypothèse de continuité de la solution qui est utilisée pour démontrer le théorème de Lax-Wendroff discret pour les schémas aux Résidus Distribués. Cependant, on montre que cette hypothèse peut être assouplie. La conséquence pratique est que si l’on emploie des quadratures particulières dans l’implémentation numérique, on peut quand même démontrer le théorème de Lax-Wendroff discret, ce qui garantit la convergence du schéma numérique vers une solution faible des équations d’origine. Les formules qui permettent d’exprimer le résidu total comme une somme pondérée des résidus totaux des sous-éléments sont à la base de la méthode de p-adaptation présentée ici. Dans le cas quadratique, la formule est obtenue avec les classiques fonctions de base de Lagrange en dimension deux et avec des fonctions de base de Bézier en dimension trois. Ces deux formules sont ensuite généralisées à des degrés polynomiaux quelconques en dimension deux et trois avec des fonctions de base de Bézier. Dans la deuxième partie de la thèse, on présente l’application du schéma p-adaptatif aux équations pénalisées de Navier-Stokes avec adaptation de maillage anisotrope. . En pratique, on combine le schéma p-adaptatif avec la méthode IBM-LS-AUM (Immersed Boundary Method with Level Sets and Adapted Unstructured Meshes). La méthode IBM-LS-AUM permet d’imposer les conditions aux bords grâce à la méthode de pénalisation et l’adaptation anisotrope du maillage à la solution numérique et à la level-set augmente la précision de la solution et de la représentation de la surface. Une fois la méthode IBM-LS-AUM combinée avec le schéma p-adaptatif, il est alors possible d’utiliser des éléments d’ordre élevés en-dehors de la zone où la pénalisation est appliquée. La méthode est robuste comme le montrent les diverses expérimentations numériques à des vitesses faibles à élevées et à différents nombres de Reynolds. / This thesis presents the construction of a p-adaptive Residual Distribution scheme for the steady Euler equations and a hp-adaptive Residual Distribution scheme for the steady penalized Navier-Stokes equations in dimension two and three. The Euler and Navier-Stokes equations are recalled along with their non dimensional versions. The basis definitions and properties of the steady Residual Distribution schemes are presented. Then, the construction of a p-adaptive Residual Distribution scheme for the Euler equations is considered. The construction of the p-adaptive scheme is based upon the expression of the total residual of an element of a given degree k (in the Finite Element sense) into the total residuals of its linear sub-elements. The discrete solution obtained with the p-adaptive scheme is then a one degree polynomial in the divided elements and a k-th degree polynomial in the undivided ones. Therefore, the discrete solution is in general discontinuous at the interface between a divided element and an undivided one. This is in apparent contradiction with the continuity assumption used in general to demonstrate the discrete Lax-Wendroff theorem for Residual Distribution schemes. However, as we show in this work, this constrain can be relaxed. The consequence is that if special quadrature formulas are employed in the numerical implementation, the discrete Lax-Wendroff theorem can still be proved, which guaranties the convergence of the p-adaptive scheme to a weak solution of the governing equations. The formulas that express the total residual into the combination of the total residuals of the sub-elements are central to the method. In dimension two, the formula is obtained with the classical Lagrange basis in the quadratic case and with the Bézier basis in dimension three. These two formulas are then generalized to arbitrary polynomial degrees in dimension two and three with a Bézier basis. In the second part of the thesis the application of the p-adaptive scheme to the penalized Navier-Stokes equations with anisotropic mesh adaptation is presented. In practice, the p-adaptive scheme is used with the IBM-LS-AUM (Immersed Boundary Method with Level Sets and Adapted Unstructured Meshes) method. The IBM-LS-AUM allows to impose the boundary conditions with the penalization method and the mesh adaptation to the solution and to the level-set increases the accuracy of the representation of the surface and the solution around walls. When the IBM-LSAUM is combined with the p-adaptive scheme, it is possible to use high-order elements outside the zone where the penalization is applied. The method is robust as shown by the numerical applications at low to large Mach numbers and at different Reynolds in dimension two and three.