Cette thèse présente une famille de schémas explicites pour la résolution d'un problème couplé d'interaction entre un fluide visqueux incompressible et une structure élastique (avec possiblement un comportement visco-élastique et/ou non linéaire). La principale propriété de ces schémas est une condition de Robin consistante à l'interface, qui représente une caractéristique fondamentale du problème continu dans le cas où la structure est mince. Si le couplage s'effectue avec une structure épaisse, une condition de Robin généralisée peut être formulée pour le problème semi-discret en espace, à l'aide d'une condensation de la matrice de masse de la structure. Une deuxième caractéristique majeure de ces schémas est la capacité d'obtenir une condition de Robin qui intègre à la fois des extrapolations de la vitesse et des efforts du solide (donnant lieu à un schéma de couplage explicite), mais également un traitement implicite de l'inertie de la structure, qui rend le schéma stable quelle que soit l'intensité de l'effet de masse ajoutée. Un résultat général de stabilité et de convergence est présenté pour tous les ordres d'extrapolations dans un cadre linéaire représentatif. On montre, en particulier, que les propriétés de stabilité se conservent lorsque le couplage s'effectue avec une structure mince ou épaisse. En revanche, la précision optimale obtenue dans le cas d'une structure mince n'est pas retrouvée avec une structure épaisse. L'erreur introduite par le schéma de couplage comporte en effet une non-uniformité en espace, qui provient de la non-uniformité des reconstructions discrètes des opérateurs viscoélastiques. L'approximation induite par la condensation de la matrice de masse solide n'est pas responsable de cette non-uniformité. À partir de ce schéma,on propose également des méthodes itératives pour la résolution du schéma fortement couplé.La convergence de cette méthode est démontrée dans un cadre linéaire et ne montre pas de sensibilité à l'effet de masse ajoutée. Finalement, les résultats théoriques obtenus sont illustrés par des exemples numériques variés, dans les cas linéaire et non linéaire. / This thesis introduces a class of explicit coupling schemes for the numerical solution of fluid-structure interaction problems involving a viscous incompressible fluid and a general elastic structure (thin-walled or thick-walled, viscoelastic and non-linear).The first fundamental ingredient of these methods is the notion of interface Robin consist encyon the interface. This is an intrinsic (parameter free) feature of the continuous problem, in the case of the coupling with thin-walled solids. For thick-walled structures, we show that an intrinsic interface Robin consistency can also be recovered at the space semi-discrete level, using a lumped-mass approximation in the structure.The second key ingredient of the methods proposed consists in deriving an explicit Robin interface condition for the fluid, which combines extrapolations of the solid velocity and stresses with an implicit treatment of the solid inertia. The former enables explicit coupling,while the latter guarantees added-mass free stability. Stability and error estimates are provided for all the variants (depending on the extrapolations), using energy arguments within a representative linear setting. We show, in particular, that the stability properties do not depend on the thin- or thick-walled nature of the structure. The optimal first-order accuracy obtained in the case of the coupling with thin-walled structuresis, however, not preserved when the structure is thick-walled, due to the spatial non uniformityof the splitting error. The genesis of this problem is the non-uniformity of the discrete viscoelastic operators, related to the thick-walled character of the structure,and not to the mass-lumping approximation. Based on these splitting schemes, new, parameter-free, Robin-Neumann iterative procedures for the partitioned solution of strong coupling are also proposed and analyzed. A comprehensive numerical study, involving linear and non linear models, confims the theoretical findings reported in this thesis.

Cette thèse est consacrée à l'étude des opérateurs strictement hyperboliques à coefficients peu réguliers, aussi bien qu'à l'étude du système d'Euler incompressible à densité variable. Dans la première partie, on montre des estimations a priori pour des opérateurs strictement hyperboliques dont les coefficients d'ordre le plus grand satisfont une condition de continuité log-Zygmund par rapport au temps et une condition de continuité log-Lipschitz par rapport à la variable d'espace. Ces estimations comportent une perte de dérivées qui croît en temps. Toutefois, elles sont suffisantes pour avoir encore le caractère bien posé du problème de Cauchy associé dans l'espace H^inf (pour des coefficients du deuxième ordre ayant assez de régularité).Dans un premier temps, on considère un opérateur complet en dimension d'espace égale à 1, dont les coefficients du premier ordre étaient supposés hölderiens et celui d'ordre 0 seulement borné. Après, on traite le cas général en dimension d'espace quelconque, en se restreignant à un opérateur de deuxième ordre homogène: le passage à la dimension plus grande exige une approche vraiment différente. Dans la deuxième partie de la thèse, on considère le système d'Euler incompressible à densité variable. On montre son caractère bien posé dans des espaces de Besov limites, qui s'injectent dans la classe des fonctions globalement lipschitziennes, et on établit aussi des bornes inférieures pour le temps de vie de la solution ne dépendant que des données initiales. Cela fait, on prouve la persistance des structures géométriques, comme la régularité stratifiée et conormale, pour les solutions de ce système. À la différence du cas classique de densité constante, même en dimension 2 le tourbillon n'est pas transporté par le champ de vitesses. Donc, a priori on peut s'attendre à obtenir seulement des résultats locaux en temps. Pour la même raison, il faut aussi laisser tomber la structure des poches de tourbillon. La théorie de Littlewood-Paley et le calcul paradifférentiel nous permettent d'aborder ces deux différents problèmes. En plus, on a besoin aussi d'une nouvelle version du calcul paradifférentiel, qui dépend d'un paramètre plus grand que ou égal à 1, pour traiter les opérateurs à coefficients peu réguliers. Le cadre fonctionnel adopté est celui des espaces de Besov, qui comprend en particulier les ensembles de Sobolev et de Hölder. Des classes intermédiaires de fonctions, de type logarithmique, entrent, elles aussi, en jeu / The present thesis is devoted both to the study of strictly hyperbolic operators with low regularity coefficients and of the density-dependent incompressible Euler system. On the one hand, we show a priori estimates for a second order strictly hyperbolic operator whose highest order coefficients satisfy a log-Zygmund continuity condition in time and a log-Lipschitz continuity condition with respect to space. Such an estimate involves a time increasing loss of derivatives. Nevertheless, this is enough to recover well-posedness for the associated Cauchy problem in the space $H^infty$ (for suitably smooth second order coefficients).In a first time, we consider acomplete operator in space dimension $1$, whose first order coefficients were assumed Hölder continuous and that of order $0$only bounded. Then, we deal with the general case of any space dimension, focusing on a homogeneous second order operator: the step to higher dimension requires a really different approach. On the other hand, we consider the density-dependent incompressible Euler system. We show its well-posedness in endpoint Besov spaces embedded in the class of globally Lipschitz functions, producing also lower bounds for the lifespan of the solution in terms of initial data only. This having been done, we prove persistence of geometric structures, such as striated and conormal regularity, for solutions to this system. In contrast with the classical case of constant density, even in dimension $2$ the vorticity is not transported by the velocity field. Hence, a priori one can expect to get only local in time results. For the same reason, we also have to dismiss the vortex patch structure. Littlewood-Paley theory and paradifferential calculus allow us to handle these two different problems .A new version of paradifferential calculus, depending on a parameter $ggeq1$, is also needed in dealing with hyperbolic operators with nonregular coefficients. The general framework is that of Besov spaces, which includes in particular Sobolev and Hölder sets. Intermediate classes of functions, of logaritmic type, come into play as well

Les travaux résumés dans ce mémoire s'articulent, essentiellement, autour des deux thématiques suivantes: la modélisation et la simulation numériques de systèmes couplés (Chapitres 1-3) et les méthodes d'éléments finis stabilisées pour des problèmes transitoires (Chapitre 4). Ces travaux sont essentiellement motivés par l'étude de la stabilité aéroélastique de structures du génie civil et la simulation numérique de l'écoulement du sang et de l'électrophysiologie cardiaque. Dans le cadre de l'interaction fluide-structure, nous couplons les équations de Navier-Stokes en domaine mobile avec l'équation de l'élastodynamique non-linéaire. Nous étudions la stabilité des états d'équilibre du système à partir de l'analyse des solutions harmoniques d'un problème linéaire spécifique. Dans le contexte de la simulation temporelle, nous proposons une méthode de Newton exacte pour la résolution des schémas de couplage implicite. Puis nous nous intéressons à la question suivante: comment éviter le couplage fort sans compromettre la stabilité? Cette question est abordée de deux points de vue différents: via le couplage semi-implicite avec projection et par un traitement faible approprié des conditions d'interface au niveau discret. Nous abordons aussi la simulation numérique des ECG en utilisant un modèle mathématique 3D complet, entièrement basée sur des EDP/EDO. Les principaux ingrédients de ce modèle sont: dynamique phénoménologique au niveau cellulaire, équation bidomaine (dans le cœur) et équation de Laplace généralisée (dans le torse). D'autres aspects essentiels à la modélisation sont élucidés, ce qui nous permet de simuler des ECGs complets réalistes. Quelques schémas de discrétisation en temps pour l'équation bidomaine et le système couplé cœur-torse sont analysés. Enfin, nous généralisons la méthode de pénalisation intérieure conforme au problème d'Oseen et aux équations de Navier-Stokes transitoires. Des estimations d'erreur a priori (uniformes par rapport à la viscosité) sont fournies pour des approximations vitesse/pression du même ordre. Une analyse d'erreur abstraite pour des méthodes de stabilisation symétriques est présentée pour l'équation de Stokes et l'équation de réaction-advection-diffusion transitoires. Dans le cas de Stokes, nous montrons que l'instabilité des petits pas de temps peut être éliminée par un choix judicieux de l'approximation de la vitesse initiale. Pour l'équation de réaction-advection-diffusion, nous contournons le problème de la réduction de la structure creuse de la matrice (due à l'opérateur de stabilisation) par un traitement explicite de la stabilisation.

La méthode IIM (Immersed Interface Method) permet d'étendre certaines méthodes numériques à des problèmes présentant des discontinuités. Elle est utilisée ici pour étudier un fluide incompressible régi par les équations de Navier-Stokes, dans lequel est immergée une membrane exerçant une force singulière. Nous utilisons une méthode de projection dans une grille de différences finies de type MAC. Une dérivation très complète des conditions de saut dans le cas où la viscosité est continue est présentée en annexe. Deux exemples numériques sont présentés : l'un sans membrane, et l'un où la membrane est immobile. Le cas général d'une membrane mobile est aussi étudié en profondeur. / The Immersed Interface Method allows us to extend the scope of some numerical methods to discontinuous problems. Here we use it in the case of an incompressible fluid governed by the Navier-Stokes equations, in which a membrane is immersed, inducing a singular force. We use a projection method and staggered (MAC-type) finite difference approximations. A very complete derivation for the jump conditions is presented in the Appendix, for the case where the viscosity is continuous. Two numerical examples are shown : one without a membrane, and the other where the membrane is motionless. The general case of a moving membrane is also thoroughly studied.

Le schéma Marker-And-Cell (MAC) est un schéma de discrétisation des équations aux dérivées partielles sur maillages cartésiens, très connu en mécanique des fluides. Nous nous intéressons ici à son analyse mathématique dans le cadre des écoulements incompressibles sur des maillages cartésiens non-uniformes en dimension 2 ou 3. Dans un premier temps nous discrétisons les équations de Navier-Stokes pour un écoulement incompressible stationnaire; nous établissons des estimations a priori sur les suites de vitesses et pressions approchées qui permettent d’une part d'établir l’existence d’une solution au schéma, et d’obtenir la compacité de ces suites lorsque le pas d’espace tend vers 0. Nous montrons alors la convergence de ces suites (à une sous-suite près) vers une solution faible du problème continu, ce qui nécessite une analyse fine du terme de convection non linéaire. Nous nous intéressons ensuite aux équations de Navier-Stokes en régime instationnaire avec une discrétisation en temps implicite. Nous démontrons que le schéma préserve les propriétés de stabilité du problème continu et obtenons ainsi l’existence d’une solution au schéma. Puis, grâce à des techniques de compacité et en passant à la limite dans le schéma, nous démontrons qu’une suite de vitesses approchées converge. Si l’on se restreint au problème de Stokes, et en supposant de plus que la condition initiale de la vitesse est dans H 1 , nous obtenons une estimation sur la pression qui permet de montrer la convergence forte des pressions approchées. Enfin nous étendons l’analyse aux écoulements incompressibles à masse volumique variable. On montre la convergence du schéma. / The Marker-And-Cell (MAC) scheme is a discretization scheme for partial derivative equations on Cartesian meshes, which is very well known in fluid mechanics. Here we are concerned with its mathematical analysis in the case of incompressible flows on two or three dimensional non-uniform Cartesian grids. We first discretize the steady-state incompressible Navier-Stokes equations. We show somea priori estimates that allow to show the existence of a solution to the scheme and some compactness and consistency results. By a passage to the limit on the scheme, we show that the approximate solutions obtained with the MAC scheme converge (up to a subsequence) to a weak solution of the Navier-Stokes equations, thanks to a careful analysis of the nonlinear convection term. Then, we analyze the convergence of the unsteady-case Navier-Stokes equations. The algorithm is implicit in time. We first show that the scheme preserves the stability properties of the continuous problem, which yields, the existence of a solution. Then, invoking compactness arguments and passing to the limit in the scheme, we prove that any sequence of solutions (obtained with a sequence of discretizations the space and time step of which tend to zero) converges up to the extraction of a subsequence to a weak solution of the continuous problem. If we restrict ourselves to the Stokes equations and assume that the initial velocity belongs to H 1, then we obtain estimates on the pressure and prove the convergence of the sequences of approximate pressures. Finally, we extend the analysis of the scheme to incompressible variable density flows. we show the convergence of the scheme.

La méthode IIM (Immersed Interface Method) permet d'étendre certaines méthodes numériques à des problèmes présentant des discontinuités. Elle est utilisée ici pour étudier un fluide incompressible régi par les équations de Navier-Stokes, dans lequel est immergée une membrane exerçant une force singulière. Nous utilisons une méthode de projection dans une grille de différences finies de type MAC. Une dérivation très complète des conditions de saut dans le cas où la viscosité est continue est présentée en annexe. Deux exemples numériques sont présentés : l'un sans membrane, et l'un où la membrane est immobile. Le cas général d'une membrane mobile est aussi étudié en profondeur. / The Immersed Interface Method allows us to extend the scope of some numerical methods to discontinuous problems. Here we use it in the case of an incompressible fluid governed by the Navier-Stokes equations, in which a membrane is immersed, inducing a singular force. We use a projection method and staggered (MAC-type) finite difference approximations. A very complete derivation for the jump conditions is presented in the Appendix, for the case where the viscosity is continuous. Two numerical examples are shown : one without a membrane, and the other where the membrane is motionless. The general case of a moving membrane is also thoroughly studied.

Cette thèse est consacrée à l’étude théorique ainsi qu’au traitement numérique de fluides incompressibles à surface libre. La première partie concerne un système d’équations appelé le système de Green–Naghdi. Comme le système de Saint-Venant, il s’agit d’une approximation d’eaux peu-profondes du problème de Zakharov. La différence est que le système de Green–Naghdi est d’un degré plus élevé en ordre d’approximation. C’est pourquoi il contient tous les termes du système de Saint-Venant plus de termes d’ordre trois non-linéairement dispersives. Autrement dit, le système de Green–Naghdi peut être vu comme une perturbation dispersive du système de Saint-Venant. Ce dernier système étant hyperbolique, il entre dans le cadre classique développé pour des systèmes hyperboliques. En particulier, il est entropique (au sense de Lax) et symétrique. On peut donc lui appliquer les résultats d’existence et d’unicité bien connus pour des systèmes hyperboliques. Dans la première partie de ce travail, on généralise la notion de symétrie à une classe plus générale de systèmes contenant le système de Green–Naghdi. Ceci nous permet de symétriser les équations de Green–Naghdi et d’utiliser la symétrie obtenue pour déduire un résultat d’existence globale après avoir ajouté un terme dissipative d’ordre 2 au système. Ceci est fait en adaptant l’approche utilisée dans la littérature pour des systèmes hyperboliques. La deuxième partie de ce travail concerne le traitement numérique des équations de Navier–Stokes à surface libre avec un terme de tension de surface. Ici, la surface libre est modélisée en utilisant la formulation des lignes de niveaux. C’est pourquoi la condition cinématique (condition de l’évolution de surface libre) s’écrit sous la forme d’une équation d’advection satisfaite par la fonction de ligne de niveaux. Cette équation est résolue sur une domaine de calcul contenant strictement le domaine de fluide, sur de petits sous-intervalles du temps. Chaque itération de l’algorithme global correspond donc à l’advection du domaine du fluide sur le sous-intervalle du temps associé et ensuite de résoudre le système de Navier–Stokes discrétisé en temps sur le domaine du fluide. Cette discrétisation en temps est faite par la méthode des caractéristiques. L’outil clé qui nous permet de résoudre ce système uniquement sur le domaine du fluide est l’adaptation de maillage anisotrope. Plus précisément, à chaque itération le maillage est adapté au domaine du fluide tel que l’erreur d’approximation et l’erreur géométrique soient raisonnablement petites au voisinage du domaine du fluide. La résolution du problème discrétisé en temps sur le domaine du fluide est faite par l’algorithme d’Uzawa utilisé dans la cadre de la méthode des éléments finis. Par ailleurs, la condition de glissement de Navier est traité ici en ajoutant un terme de pénalisation à la formulation variationnelle associée. / This thesis is about theoretical study and numerical treatment of some problems raised in incompressible free-surface fluid dynamics. The first part concerns a model called the Green–Naghdi (GN) equations. Similarly to the non linear shallow water system (called also Saint-Venant system), the Green–Naghdi equations is a shallow water approximation of water waves problem. Indeed, GN equation is one order higher in approximation compared to Saint-Venant system. For this reason, it contains all the terms of Saint-Venant system in addition to some non linear third order dispersive terms. In other words, the GN equations is a dispersive perturbation of the Saint-Venant system. The latter system is hyperbolic and fits the general framework developed in the literature for hyperbolic systems. Particularly, it is entropic (in the sense of Lax) and symmertizable. Therefore, we can apply the well-posedness results known for symmetric hyperbolic system. During the first part of this work, we generalize the notion of symmetry to a more general type of equations including the GN system. This lets us to symmetrize the GN equation. Then, we use the suggested symmetric structure to obtain a global existence result for the system with a second order dissipative term by adapting the approach classically used for hyperbolic systems. The second part of this thesis concerns the numerical treatment of the free surface incompressible Navier–Stokes equation with surface tension. We use the level set formulation to represent the fluid free-surface. Thanks to this formulation, the kinematic boundary condition is treated by solving an advection equation satisfied by the level set function. This equation is solved on a computational domain containing the fluid domain over small time subintervals. Each iteration of the algorithm corresponds to the adevction of the fluid domain on a small time subinterval and to solve the time-discretized Navier–Stokes equations only on the fluid domain. The time discretization of the Navier–Stokes equation is done by the characteristic method. Then, the key tool which lets us solve this equation on the fluid domain is the anisotropic mesh adaptation. Indeed, at each iteration the mesh is adapted to the fluid domain such that we get convenient approximation and geometric errors in the vicinity of the fluid domain. This resolution is done using the Uzawa algorithm for a convenient finite element method. The slip boundary conditions are considered by adding a penalization term to the variational formulation associated to the problem.

Le but de cette thèse pluridisciplinaire est d’étudier le problème de l’interaction fluide-structure à partir du point de vue mathématique et physique. Des problèmes d’interaction d’un fluide visqueux avec une structure élastique décrivent, par exemple, des interactions entre le manteau terrestre et de la croûte terrestre, le sang et la paroi vasculaire dans un vaisseau sanguin, etc. En génie l’interaction fluide visqueux-structure apparaît lors de la formation de solution colloïdale quand un laser passe à travers le fluide influençant le substrat (ablation laser dans un liquide). Fusion sélective au laser (FSL) est utilisée pour étudier le comportement des contraintes résiduelles en dépendance des propriétés thermoélastiques et mécaniques du matériau et des formes variées des cordons rechargés. A partir du point de vue mathématique le système couplé “flux fluide visqueux – plaque mince élastique” en 3D lorsque l’épaisseur de la plaque, E, tend vers zéro, tandis que la densité et le module de Young du matériau élastique sont d’ordre 1 et E-3, respectivement, est considéré. Le solide est couché par le fluide qui occupe un domaine épais. La modélisation multi-échelle est effectuée pour la partie élastique. Le développement asymptotique complet est construit lorsque E tend vers zéro. L’existence, la régularité et l’unicité de la solution pour le problème initial sont étudiées au moyen de techniques variationnelles. La méthode de décomposition asymptotique partielle du domaine est appliquée pour le système couplé. L’erreur de la méthode est évaluée / The goal of this multi-disciplinary thesis is to study the fluid-structure interaction problem from mathematical and physical viewpoints. Viscous fluid-structure interaction problems describe, for example, interactions between the Earth mantle and the Earth crust, the blood and the vascular wall in a blood vessels, etc. In engineering viscous fluid-structure interaction appears during colloidal solution formation when a laser pierce through the fluid influencing the substrate (laser ablation in a liquid). Selective laser melting (SLM) is used to study the behavior of residual stresses depending on the thermoelastic and mechanical properties of the material and on various forms of reloaded beads. From mathematical point of view the coupled system “viscous fluid flow-thin elastic plate” in 3D when the thickness of the plate, E, tends to zero, while the density and the Young’s modulus of the plate material are of order 1 and E-3, respectively, is considered. The plate lies on the fluid which occupies a thick domain. The multi-scale modeling is performed for the elastic part. The complete asymptotic expansion is constructed when E tends to zero. The existence, the regularity and the uniqueness of the solution for the original problem are studied by means of variational techniques. The method of asymptotic partial domain decomposition is applied for the coupled system. The error of the method is evaluated