Pour étudier les systèmes électromagnétiques, mécaniques ou thermiques, on a de plus en plus recours à la modélisation numérique. Pour la résolution des différents modèles mathématiques, la méthode des éléments finis est généralement utilisée. Dans le cas de couplages multi-physiques, les particularités de chacune des grandeurs étudiées impliquent l'utilisation d'un maillage commun le plus souvent important en termes de nombre d'éléments. L'objectif de ce travail est de proposer et de mettre en oeuvre une méthode de projection de grandeurs discrètes permettant l'utilisation de maillages dédiés pour chacun des domaines de la physique. Dans le premier chapitre, les modèles mathématiques décrivant les phénomènes de l'électromagnétisme, de la thermique et de la mécanique, ainsi que les espaces de discrétisation des différentes inconnues sont exposés. Dans la seconde partie, la méthode de projection est introduite à l'aide d'une interprétation géométrique de la méthode des éléments finis, puis est développée, tout d'abord dans le cas général, puis pour chacun des domaines de la physique étudiés. Des exemples académiques sont également traités dans cette partie afin de valider la démarche utilisée. Enfin, dans le troisième chapitre, la méthode de projection est employée pour modéliser des dispositifs électromagnétiques dans le cas de couplages magnétothermique et magnétomécanique. / To study electromagnetic, mechanical or thermal systems, numerical modelling is more and more used. Generally, to numerically solve the mathematical models, the finite element method is used. ln the case of multi-physical coupling, the properties of each of the studied quantities imply the use of a common meshing which is mostly important in terms of number of elements. The aim of this work is to propound and use a projection method for discrete quantities allowing using dedicated meshes for each phenomenon. ln the first chapter, the mathematical models describing the electromagnetic, thermal and mechanical phenomena, as well as the discretization spaces of each unknown are exposed. ln the second chapter, the projection method is presented through a geometrical interpretation of the finite element method, and then is developed in a general way and for every physical phenomenon. Academicals examples are also modelled to validate the method. Finally, in the third chapter, the projection method is used for the modelling of electromagnetic systems in the case of magnetothermal and magnetomechanical couplings.

Dans cette thèse nous nous sommes intéressés à la détection, la localisation et l'estimation de défauts (capteurs, actionneurs et défauts internes) dans les systèmes modélisés sous forme d'état linéaire et bilinéaire. La méthode que nous proposons, (appelée MPD pour Méthode par Projection des Données), nécessite de connaître la structure du modèle comportemental mais ne nécessite pas de connaître les valeurs des paramètres de ce modèle. Les résidus sont générés par des techniques de projection matricielle en utilisant uniquement les données d'entrées et de sorties mesurées. Cette méthode peut être directement implantée sur des applications de même type sans que les paramètres de chaque système soient identifiés. Cette méthode pourrait donc être très utile pour tester des systèmes en fin de chaîne de fabrication ou pour être implantée sur un parc (groupe) de machines identiques. Elle pourrait être aussi utile pour des systèmes à paramètres difficilement identifiables. Les défauts internes (supposés abrupts et invariants, c'est-à-dire correspondant à un biais constant sur les paramètres) entraînent des dynamiques différentes qui correspondent à des modes de fonctionnement défaillant. Le problème de diagnostic se ramène alors à un problème d'estimation des instants de commutation et de reconnaissance du mode actif à chaque instant. / In this thesis we are interested in detecting, isolating and estimating faults (sensors, actuators and internal faults) in systems modeled as linear and bilinear systems. The method we propose (called MPD Data Projection Method), requires knowledge of the behavioral model structure but does not need to know the parameter values of this model. Residuals are generated by matrix projection techniques using only the input-output measured data. This method can be directly implemented on applications of the same type without the parameter identifications of each system. This method could be very useful for testing systems at the end of the production line or to be located on a park (group) of identical machines. It could also be useful for systems with parameters difficult to identify. Internal faults (assumed abrupt and invariants, that is to say corresponding to a constant bias parameters) lead to different dynamics corresponding to modes of faulty operation. The diagnostic problem then reduces to a problem of estimation of the switching times and recognition of the active mode at each time instant.

Cette thèse concerne le diagnostic des systèmes à commutations (classe particulière de systèmes dynamiques hybrides) à modes non linéaires. Certains modes correspondent au fonctionnement normal, sans défaut ; d’autres modes représentent le comportement du système en présence de défauts capteurs, actionneurs ou composants internes. Une représentation générale multi-mode/multimodèle est proposée. Chaque mode non linéaire est modélisé sous la forme multimodèle de type Takagi-Sugeno. Cette modélisation permet de représenter un système non linéaire par une agrégation de modèles locaux linéaires. Une fonction de pondération est utilisée pour déterminer la contribution de chaque modèle local linéaire. Une conception robuste de résidus, basée sur des techniques de projection matricielle est proposée. Cette méthode utilise uniquement les données d’entrées/sorties et la connaissance des fonctions de pondération. En premier lieu, la méthode de projection des données permet de détecter et de localiser les défauts affectant les capteurs dans un mode non linéaire. En deuxième lieu, elle permet de détecter les défauts actionneurs ou les défauts internes en détectant les commutations et en reconnaissant, à chaque instant, le mode actif. Des conditions de discernabilité entre les modes sont établies et un indice de discernabilité calculé en-ligne est utilisé pour réduire la complexité de la méthode d’identification du mode courant. Des exemples académiques sont traités tout au long de la thèse afin d'illustrer en simulation, les différentes méthodes proposées. / This thesis deals with the diagnosis of switching systems (a special class of hybrid dynamical systems) with nonlinear modes. Some modes correspond to the normal operation, i.e. the fault-free case. The other modes may represent the system behavior in the presence of sensors, actuators or internal component faults. A general representation called multimode/multimodels is proposed. It models each nonlinear mode by a set of linear models. A weighting function is used to determine the contribution of each local model. A design method of robust residuals based on projection techniques is proposed. It uses only inputs/outputs data and the weighting functions. The knowledge of local parameters is not needed to compute the residuals. The fault detection and isolation with the data projection method includes firstly, the sensor faults in a nonlinear mode and secondly, the actuator faults or internal faults by detecting the mode switching and by recognizing, at each time-instant, the active mode.Discernability conditions between modes are established and a discernability index computed online is introduced in order to reduce the complexity of the current mode identification method. Academic examples are taken all along the thesis in order to illustrate the effectiveness of the different proposed methods and tools.

L'objectif de cette thèse est le développement d'outils numériques pour la résolution des équations de Navier-Stokes dans l'approximation à faible nombre de Mach. On s'intéresse l'écoulement avec des contrastes de masse volumique d'origine thermique, plus particulièrement, aux anneaux de vorticité anisothermes générés par l'injection de fluide dans un milieu au repos. Ce sujet présente un intérêt important, tant du point de vue fondamental que du point de vue des applications industrielles. Tout processus industriel utilisant les systèmes d'injection est concerné, tels que les moteurs automobiles et aronautiques. Ce travail est guidé par la motivation de construire un schéma pouvant traiter les écoulements à forts contrastes de densité ayant lieu, par exemple, dans la combustion. On considère les équations conservatives formulées en trois dimensions dans un repère de coordonnées cylindriques. Quatre schémas d'intégration en temps, basés sur la méthode de projection incrémentale étendue au régime à faible nombre de Mach, sont implémentés. Des essais numériques sont menés pour analyser leurs stabilité et taux de convergence temporels. Des simulations pour une large gamme de rapports de masse volumique variant de 1/10 10 sont ralisées avec succès. Les effets de contraste de densité sur la dynamique et la structure de l'écoulement sont analysés. Les résultats ont montré que le jet chaud est caractérisé par un vortex de tête dans lequel se concentre le fluide le plus léger (chaud). Par ailleurs, le tourbillon généré par le jet froid constitue une région à temprature et masse volumique intermédiaires. On montre que les caractéristiques de l'écoulement (circulation, longueur de pénétration, coordonnées du tourbillon, etc.) sont fortement dépendantes du rapport de densité.

L'approximation isobare du système d'équations de bilan de masse, de quantité de mouvement, d'énergie et des espèces chimiques est une approximation appropriée pour représenter les écoulements réactifs à faible nombre de Mach. Dans cette approximation, qui néglige les phénomènes acoustiques, le mélange est hydrodynamiquement incompressible et les effets thermodynamiques conduisent à une compression uniforme du système. Nous présentons une nouvelle méthode numérique pour cette approximation. Une méthode de projection incrémentale, qui utilise la forme originale du bilan de masse, assure la discrétisation temporelle des équations de Navier-Stokes. La discrétisation spatiale est réalisée avec une méthode de volumes finis sur un maillage décalé de type MAC. Un schéma de décentrement d'ordre élevé est utilisé pour les flux convectifs. Nous associons à cette discrétisation, une méthode de raffinement local multi-niveaux, basée sur l'approche de Correction de Flux à l'Interface. Une première application concerne un écoulement forcé avec masse volumique variable donnée, imitant un problème de combustion. La deuxième application est le problème de convection naturelle, tout d'abord pour de faibles variations de température puis au-delà de la limite de validité de l'approximation de Boussinesq. Enfin, la troisième application est une flamme de diffusion laminaire. Pour chacun de ces cas-test, nous montrons la robustesse de la méthode numérique proposée, notamment vis à vis des variations de masse volumique. Et nous analysons le gain en précision obtenu par la méthode de raffinement local multi-niveaux.

Ce travail de thèse est consacré à l'étude numérique de la forme instationnaire des équations de Navier--Stokes incompressibles en dimension trois d'espace. Ces équations sont étudiées dans leur formulation classique mais aussi dans leur formulation hydrostatique. Le schéma en temps est résolu à l'aide d'une méthode de projection, la méthode de projection incrémentale standard qui sert de référence à l'étude numérique des nouvelles méthodes proposées: la méthode de projection hydrostatique et la méthode de projection dynamique étendue. Ces méthodes sont combinées à la méthode de pénalisation de volume qui permet de tenir compte de la présence d'obstacles de forme quelconque dans le domaine de simulation en utilisant un maillage cartésien. Une nouvelle expression des équations de Navier--Stokes hydrostatiques issue de l'application de la méthode de pénalisation de volume est obtenue et étudiée. La discrétisation en espace s'effectue en utilisant la méthode des volumes finis sur une maillage décalé de type MAC. Un nouveau code de calcul baptisé VivAn'O a été conçu et validé durant ce travail. Il a permis l'étude numérique des différentes méthodes proposées et a également permis de réaliser des simulations dans la zone portuaire de Pointe-à-Pitre à partir de données bathymétriques réelles. / The present work is about the numerical study of the three dimensional form of the unstationnary Navier--Stokesequations. These equations are studied under their classical form but also under their hydrostatic one. Thetime--dependent problem is solved using a projection method called the standard incremental projection method which isused as the reference to the numerical study of the new projection methods we proposed : the hydrostatic projectionmethod and the extended dynamical projection method. These methods are combined with a volume penalization methodto take into account obstacles of any shape in the simulation domain using cartesian meshes. A new formulation of the hydrostatic Navier--Stokes equations is obtained from the use of the penalization method and studied. The space isdiscretized using the finite volume method on a staggered MAC mesh.A new computational fluid dynamic code nammed VivAn'O have been developped during this work. It had permitted thenumerical study of the proposed methods. It was also used to carry out simulations in the harbour area of Pointe--à--Pitre usine real bathvmetric data.

La méthode de projection et l'approche variationnelle de Sasaki sont deux techniques permettant d'obtenir un champ vectoriel à divergence nulle à partir d'un champ initial quelconque. Pour une vitesse d'un vent en haute altitude, un champ de vitesse sur une grille décalée est généré au-dessus d'une topographie donnée par une fonction analytique. L'approche cartésienne nommée Embedded Boundary Method est utilisée pour résoudre une équation de Poisson découlant de la projection sur un domaine irrégulier avec des conditions aux limites mixtes. La solution obtenue permet de corriger le champ initial afin d'obtenir un champ respectant la loi de conservation de la masse et prenant également en compte les effets dûs à la géométrie du terrain. Le champ de vitesse ainsi généré permettra de propager un feu de forêt sur la topographie à l'aide de la méthode iso-niveaux. L'algorithme est décrit pour le cas en deux et trois dimensions et des tests de convergence sont effectués. / The Projection method and Sasaki's variational technique are two methods allowing one to extract a divergence-free vector field from any vector field. From a high altitude wind speed, a velocity field is generated on a staggered grid over a topography given by an analytical function. The Cartesian grid Embedded Boundary method is used for solving a Poisson equation, obtained from the projection, on an irregular domain with mixed boundary conditions. The solution of this equation gives the correction for the initial velocity field to make it such that it satisfies the conservation of mass and takes into account the effects of the terrain. The incompressible velocity field will be used to spread a wildfire over the topography with the Level Set Method. The algorithm is described for the two and three dimensional cases and convergence tests are done.

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Ce travail de thèse est consacré à deux thèmes de recherche en Calcul Scientifique liés par l'approximation numérique de problèmes en mécanique des fluides. Le premier thème concerne l'approximation numérique des équations de Stokes, modélisant les écoulements de fluides incompressibles à vitesse faible. Ce thème est présent dans plusieurs travaux en Calcul Scientifique. La discrétisation en temps est réalisée à l'aide de la méthode de projection. La discrétisation en espace utilise la méthode des éléments finis mixtes hybrides qui permet d'imposer de façon exacte la contrainte d'incompressibilité. Cette approche est originale: la méthode des éléments mixtes hybrides est couplée avec une méthode d'éléments finis standards. L'ordre de convergence des deux méthodes est préservé. Le second thème concerne la mise au point de méthodes numériques de type volumes finis pour la résolution de l'équation Level Set. Ces équations interviennent de manière essentielle dans la résolution des problèmes de propagation d'interfaces. Dans cette partie, nous avons développé une nouvelle méthode d'ordre 2 de type MUSCL pour résoudre le système hyperbolique résultant de l'équation Level Set. Nous illustrons ces propriétés par des applications numériques. En particulier nous avons regardé le cas du problème des deux demi-plans pour lequel notre schéma donne une approximation pour le gradient de la fonction Level Set. Par ailleurs, l'ordre de précision attendu est obtenu avec les normes $L_1$ et $L_{\infty}$ pour des fonctions régulières. Pour finir, il est à noter que notre méthode peut être facilement étendue aux problèmes d'Hamilton-Jacobi du premier et du second ordre.

Ce travail est compose de deux parties. La première concerne l'étude des méthodes d'optimisation convexe à la résolution numérique des problèmes d'optimisation en analyse des données (problème de régression isotone et celui de régression concave). Selon différentes approches et via la théorie de la dualité, nous avons proposé trois méthodes pour résoudre ces problèmes. 1) méthode de l'inverse partiel. 2) méthode du gradient conjugue. 3) méthode de pivotage complémentaire de Lemke. Des résultats numériques sont présentés. Dans la seconde partie, nous proposons une étude synthétique de toutes les méthode de projection dont on dispose actuellement. Nous avons établi les relations qui les lient aux méthodes du type sous-gradients