Dans cette thèse, nous nous intéressons à la simulation numérique d'écoulements instationnaires de deux fluides visqueux non miscibles, séparés par une interface mobile. Plus particulièrement des écoulements sans choc constitués d'une phase gazeuse et d'une phase liquide sont considérés. Pour modéliser de tels écoulements, une approche dans laquelle le gaz est décrit par les équations de Navier-Stokes compressible et le liquide par les équations de Navier-Stokes incompressible est proposée. C'est le couplage de ces deux modèles qui constitue l'originalité et l'enjeu principal de de cette thèse. Pour traiter cette difficulté majeure, une méthode globale (i.e. la même dans chaque phase) et simple à mettre en oeuvre est élaborée. L'utilisation des équations de Navier-Stokes formulées de façon unifiée pour les inconnues primitives (pression, vitesse et température) constitue le point de départ pour la construction de notre méthode qui repose sur les composants suivants: une méthode d'éléments finis stabilisés pour la discrétisation spatiale des équations de Navier-Stokes; une approche Level Set pour représenter précisément l'interface dont l'équation de transport a été résolue par une méthode de type Galerkin Discontinu; et des grandeurs moyennes pour traiter les discontinuités à l'interface. Le bon comportement de notre approche est illustré sur différents tests mono et bi-dimensionnels. / In this work, we are interested in the numerical simulation of instationnary viscous flows of two immiscible fluids, separated by a mobile interface. In particular, flows without shock composed of a gas phase and a liquid phase are considered. In order to modelize such flows, an approach in which the gaz is described by compressible Navier-Stokes equations and the liquid by incompressible Navier-Stokes équations is proposed. The coupling between these two models is the originality and the stake of this thesis. To treat this important difficulty, a global (i.e. the same for each phase) and simple method is elaborated. In our procedure we propose, using the Navier-Stokes equations formulated in set of primitives unknowns (pressure, velocity and temperature), to elaborate a strategy that relies on the follow components: the stabilized finite element method to discretize spatially the Navier-Stokes equations; the Level Set method for tracking the interface precisely with a discontinuous Galerkin method to solve the associated transport equation; and some averaged quantities to treat the discontinuities at the interface. The good behaviour of this approach is performed on both one and two spatial dimensions.

En la presente tesis se han estudiado métodos de paso fraccionado para la resolución numérica de la ecuación de Navier-Stokes incompresible mediante el método de los elementos finitos; dicha ecuación rige el movimiento de un fluido incompresible viscoso. Partiendo del análisis del método de proyección clásico, se desarrolla un método para el problema de Stokes (lineal y estacionario) con iguales propiedades en cuanto a discretizacion espacial que aquel, explicando así sus propiedades de estabilización de la presión. Se da también una extensión del nuevo método a la ecuación de Navier-Stokes incompresible estacionaria (no lineal).En la segunda parte de la tesis, se desarrolla un método de paso fraccionado para el problema de evolución que supera un inconveniente del método de proyección relativo a la imposición de las condiciones de contorno.Para todos los métodos desarrollados, se demuestran teoremas de convergencia y estimaciones de error, se proponen implementaciones eficientes y se proporcionan numerosos resultados numéricos.

L'objet de cette thèse est la mise en place d'une boucle automatique pour le calcul de flux d'air conditionné dans des géométries complexes. Ce problème est régie par les équations de Navier-Stokes incompressible corrigées par un terme de Boussinesq et couplées avec une équation de température à flux convectif. <br />Nous avons utilisé une méthode d'adaptation de maillage anisotrope basée sur les longueurs d'arêtes avec respect d'une métrique discrète. Une méthode de remaillage local, avec une version anisotrope de l'insertion d'un point par une méthode de Delaunay, a été implémentée pour adapter les maillages.

Ce travail est consacré à la modélisation d'écoulements de deux fluides immiscibles et son application en microfluidique. Pour cela, nous mettons en oeuvre des méthodes Level Set actuelles permettant un suivi précis de l'interface, dont le mouvement est induit par des champs de vitesse vérifiant les équations de Stokes ou de Navier-Stokes munies d'un terme de tension de surface.<br />Dans une première partie, nous abordons la problématique du suivi d'interface et présentons en détail les composantes de la méthode Level Set. En particulier, nous détaillons les approches ENO et WENO pour discrétiser les équations de Hamilton-Jacobi ainsi que les diverses méthodes existantes de redistanciation.<br />Dans la deuxième partie, nous traitons de l'analyse et de la résolution numérique des écoulements bifluides incompressibles pilotés par la tension de surface. Après avoir décrit les modèles mathématiques ainsi que leurs discrétisations et solveurs, nous apportons une contribution nouvelle en dérivant théoriquement une condition de stabilité valable pour les nombres de Reynolds faibles à modérés, caractéristiques des configurations microfluidiques. De plus, on introduit une méthode de décomposition de l'écoulement qui permet de diminuer les temps de simulation.<br />Enfin, la troisième partie est consacrée à l'application des outils évoqués précédemment pour simuler la dynamique de gouttes dans des microcanaux. Nous présentons les résultats numériques obtenus avec d'une part, un code bidimensionnel cartésien et d'autre part, avec un code tridimensionnel axisymétrique que nous avons entièrement développés. Une bonne adéquation est obtenue relativement aux expériences microfluidiques du laboratoire LOF (Rhodia - CNRS). En particulier, avec nos simulations, nous mettons à jour différentes dynamiques de mélange au sein des gouttes.

Ce travail de thèse est consacré à l'étude numérique de la forme instationnaire des équations de Navier--Stokes incompressibles en dimension trois d'espace. Ces équations sont étudiées dans leur formulation classique mais aussi dans leur formulation hydrostatique. Le schéma en temps est résolu à l'aide d'une méthode de projection, la méthode de projection incrémentale standard qui sert de référence à l'étude numérique des nouvelles méthodes proposées: la méthode de projection hydrostatique et la méthode de projection dynamique étendue. Ces méthodes sont combinées à la méthode de pénalisation de volume qui permet de tenir compte de la présence d'obstacles de forme quelconque dans le domaine de simulation en utilisant un maillage cartésien. Une nouvelle expression des équations de Navier--Stokes hydrostatiques issue de l'application de la méthode de pénalisation de volume est obtenue et étudiée. La discrétisation en espace s'effectue en utilisant la méthode des volumes finis sur une maillage décalé de type MAC. Un nouveau code de calcul baptisé VivAn'O a été conçu et validé durant ce travail. Il a permis l'étude numérique des différentes méthodes proposées et a également permis de réaliser des simulations dans la zone portuaire de Pointe-à-Pitre à partir de données bathymétriques réelles. / The present work is about the numerical study of the three dimensional form of the unstationnary Navier--Stokesequations. These equations are studied under their classical form but also under their hydrostatic one. Thetime--dependent problem is solved using a projection method called the standard incremental projection method which isused as the reference to the numerical study of the new projection methods we proposed : the hydrostatic projectionmethod and the extended dynamical projection method. These methods are combined with a volume penalization methodto take into account obstacles of any shape in the simulation domain using cartesian meshes. A new formulation of the hydrostatic Navier--Stokes equations is obtained from the use of the penalization method and studied. The space isdiscretized using the finite volume method on a staggered MAC mesh.A new computational fluid dynamic code nammed VivAn'O have been developped during this work. It had permitted thenumerical study of the proposed methods. It was also used to carry out simulations in the harbour area of Pointe--à--Pitre usine real bathvmetric data.

Ce travail est consacré à la résolution e?cace de problèmes d’optimisation de forme ou de contrôle d’écoulements. Le couplage entre la pénalisation, permettant d’imposer des conditions aux bords sur maillage cartésien, et la méthode Level-Set, autorisant une représentation d’obstacles non-paramétrique et un suivi d’interface précis, est implémenté. En première partie, un problème inverse modèle, puis une optimisation géométrique en régime de Stokes, sont traités itérativement. Une attention particulière est portée à la solution des EDP près des zones pénalisées, et une montée en ordre est réalisée. Divers préconditionnements du gradient de forme sont aussi discutés a?n d’améliorer la convergence. La seconde partie est dédiée à la simulation directe d’écoulements au voisinage d’un actionneur dans le cadre d’un contrôle par jets pulsés exercé sur le corps d’Ahmed. L’étude locale montre l'in?uence de paramètres comme la fréquence de pulsation ou l’allure des pro?ls de vitesse en sortie sur la qualité de l’action. En guise de synthèse, une optimisation de la forme de l’actionneur du chapitre deux est pratiquée sous contraintes topologiques et dans un cadre simpli?é, à l’aide du couplage Level-Set/pénalisation préalablement introduit. L’objectif du problème inverse posé est de modi?er la géométrie intérieure du MEMS pour obtenir un pro?l de vitesses désiré en sortie de jet. / This work deals with e?cient numerical solving of problems linked with shape optimization or ?ow control. The combination between penalization, that allows to impose boundary conditions while avoiding the use of body-?tted grids, and Level-Set methods, which enable a natural non-parametric representation of the geometries to be optimized, is implemented. In the ?rst part, a model inverse problem, and an application pertaining to optimal design in Stokes ?ows, are treated with an iterative algorithm. Special care is devoted to the solution of the PDE’s in the vicinity of the penalized regions. The discretization accuracy is increased. Various gradient preconditionings aiming at improving the convergence are also discussed. The second part is dedicated to direct numerical simulation of ?ows in the neighborhood of an actuator, in the context of active control by pulsed jets used on the Ahmed body. The local study emphasizes the in?uence of various parameters on the action quality, in particular the pulsation frequency, or the aspect of exit velocity pro?les. As a synthesis, shape optimization is performed on the actuator of chapter two, thanks to the previously introduced coupling between Level-Set and penalization. The framework is simpli?ed and topological constraints are imposed. The inverse problem we set intends to modify the MEMS inner geometry to retrieve a given jet pro?le on the exit section.

Dans cette thèse, nous considérons des problèmes instationnaires en interaction fluide-structure. Nous nous plaçons en outre dans un cadre bidimensionnel. Dans un premier temps, nous nous attachons à étudier l'existence et l'unicité de solutions pour un problème d'élasticité en grands déplacements et petites perturbations. Nous introduisons ensuite ce modèle de structure dans un système de couplage avec un fluide visqueux: nous montrons l'existence de solutions pour ce problème. Par ailleurs, nous considérons des problèmes d'interaction fluide-structure en vue d'applications numériques. Ce travail est motivé par les écoulements sanguins dans un ventricule cardiaque artificiel. Nous effectuons deux approches distinctes: l'une à l'aide d'une méthode ALE simplifiée, et l'autre en utilisant la méthode de la frontière immergée. Concernant ce dernier point, nous abordons un problème de contrôle optimal par feedback.

Dans ce travail, nous nous intéressons au transport des aérosols dans les voies aériennes supérieures du poumon humain. Ce phénomène est modélisé dans notre étude par un couplage d'équations aux dérivées partielles issues de la mécanique des fluides et de la théorie cinétique. Ainsi, le fluide est décrit par des fonctions macroscopiques (vitesse, pression), par l'intermédiaire des équations de Navier-Stokes incompressibles tandis que la phase dispersée est décrite par sa densité dans l'espace des phases, grâce à une équation de transport (Vlasov ou Vlasov-Fokker-Planck). Le couplage effectué est fort, en ce sens qu'il associe à l'aérosol une force de rétroaction correspondant au retour de l'accélération de traînée fournie par le fluide: l'interaction fluide/spray se fait dans les deux sens. Enfin, les équations sont en toute généralité considérées en domaine spatial mobile, ceci afin de tenir compte de l'éventuel mouvement des bronches. Dans un premier chapitre, après quelques rappels concernant l'arbre pulmonaire et les aérosols, nous décrivons le système d'équations de Vlasov/Navier-Stokes pour lequel nous avons développé un schéma d'approximation numérique. Ce dernier aspect est abordé dans le deuxième chapitre. La méthode utilisée consiste en un couplage explicite d'une méthode ALE/éléments finis pour le fluide et d'une méthode particulaire pour la phase dispersée. L'algorithme développé nécessitant une procédure de localisation des particules dans le maillage, celle-ci a également été mise en place. Différentes exploitations du code ont ensuite été réalisées. Une première série de simulations numériques a été effectuée afin d'évaluer l'influence de la rétroaction du spray sur le fluide. On prouve ainsi que, pour des données en cohérence avec les nébuliseurs commerciaux, l'aérosol peut accélérer un fluide au repos et de ce fait influencer son propre mouvement. Une autre exploitation du code a été effectuée en collaboration avec une équipe de l'INSERM, à Tours, à l'aide de données expérimentales in vitro. Enfin, une dernière étude a été réalisée sur un conduit cylindrique présentant une constriction en son centre. Nous avons évalué l'influence du mouvement de sa paroi sur la capture de particules sur cette géométrie. Les deux derniers chapitres de cette thèse traitent de l'analyse mathématique de deux couplages fluides/cinétiques. Le premier de ces couplages est celui de Vlasov/Navier-Stokes, précédemment introduit. On prouve l'existence de solutions faibles globales périodiques du système par une méthode basée sur un schéma d'approximation voisin de celui utilisé lors de l'implémentation numérique. Le deuxième couplage est celui de Vlasov-Fokker-Planck/Navier-Stokes pour lequel nous avons obtenu l'existence de solutions fortes pour des données initiales régulières et proches d'un point d'équilibre. Nous avons ensuite étudié le comportement en temps long de solutions du système et précisé la régularité que celui-ci leur impose.

Dans cette thèse, on s'intéresse à deux problèmes provenant de l'étude mathématique des fluides incompressibles visqueux : la propagation de la régularité tangentielle et le mouvement d'une surface libre.La première question concerne plus particulièrement l'étude qualitative de l'évolution de quantités thermodynamiques telles que la température dans l'équation de Boussinesq sans diffusion et la densité dans le système de Navier-Stokes non homogène. Typiquement, on suppose que ces deux quantités sont, à l'instant initial, discontinues le long d'une interface à régularité h"oldérienne. Comme conséquence de résultats de propagation de régularité tangentielle pour le champ de vitesses, on établit que la régularité des interfaces persiste pour tout temps aussi bien en dimension deux d'espace, qu'en dimension supérieure (avec condition de petitesse). Notre approche suit celle du travail de J.-Y. Chemin dans les années 90 pour le problème des poches de tourbillon dans les fluides incompressiblesparfaits.Dans le cas présent, outre cette hypothèse de régularité tangentielle, nous n'avons besoin que d'une régularité critique sur le champ de vitesses.La démonstration repose sur le calcul para-différentiel et les espaces de multiplicateurs.Dans la dernière partie de la thèse, on considère le problème à frontière libre pour le système de Navier-Stokes incompressible à deux phases. Ce système permet de décrire l'évolution d'un mélange de deux fluides non miscibles tels que l'huile et l'eau par exemple. Différents cas de figure sont étudiés : le cas d'un réservoir borné, d'une goutte ou d'une rivière à profondeur finie.On établit l'existence et l'unicité à temps petit pour ce problème. Notre démonstration repose fortement sur des propriétés de régularité maximale parabolique de type $L_p$-$L_q / This thesis is dedicated to two different problems in the mathematical study of the viscous incompressible fluids: the persistence of tangential regularity and the motion of a free surface.The first problem concerns the study of the qualitative properties of some thermodynamical quantities in incompressible fluid models, such as the temperature for Boussinesq system with no diffusion and the density for the non-homogeneous Navier-Stokes system. Typically, we assume those two quantities to be initially piecewise constant along an interface with H"older regularity.As a consequence of stability of certain directional smoothness of the velocity field, we establish that the regularity of the interfaces persist globally with respect to time both in the two dimensional and higher dimensional cases (under some smallness condition). Our strategy is borrowed from the pioneering works by J.-Y.Chemin in 1990s on the vortex patch problem for ideal fluids.Let us emphasize that, apart from the directional regularity, we only impose rough (critical) regularity on the velocity field. The proof requires tools from para-differential calculus and multiplier space theory.In the last part of this thesis, we are concerned with the free boundary value problem for two-phase density-dependent Navier-Stokes system.This model is used to describe the motion of two immiscible liquids, like the oil and the water. Such mixture may occur in different situations, such as in a fixed bounded container, in a moving bounded droplet or in a river with finite depth. We establish the short time well-posedness for this problem. Our result strongly relies on the $L_p$-$L_q$ maximal regularity theoryfor parabolic equations

Les phénomènes de transport en milieux poreux sont étudiés depuis près de deux siècles, cependant les travaux concernant les milieux fortement poreux sont encore relativement peu nombreux. Les modèles couramment utilisés pour les poreux classiques (lits de grains par exemple) sont peu applicables pour les milieux fortement poreux (les mousses par exemple), un certain nombre d’études ont été entreprises pour combler ce manque. Néanmoins, les résultats expérimentaux et numériques caractérisant les pertes de charge dans les mousses sont fortement dispersés. Du fait des progrès de l’imagerie 3D, une tendance émergente est la détermination des paramètres des lois d’écoulement à partir de simulations directes sur des géométries reconstruites. Nous présentons ici l’utilisation d’une nouvelle approche cinétique pour résoudre localement les équations de Navier-Stokes et déterminer les propriétés d’écoulement (perméabilité, dispersion, ...). / A novel kinetic scheme satisfying an entropy condition is developed, tested and implemented for the simulation of practical problems. The construction of this new entropic scheme is presented. A classical hyperbolic system is approximated by a discrete velocity vector kinetic scheme (with the simplified BGK collisional operator), but applied to an inviscid compressible gas dynamics system with a small Mach number parameter, according to the approach of Carfora and Natalini (2008). The numerical viscosity is controlled, and tends to the physical viscosity of the Navier-Stokes system. The proposed numerical scheme is analyzed and formulated as an explicit finite volume flux vector splitting (FVS) scheme that is very easy to implement. It is close in spirit to Lattice Boltzmann schemes, but it has the advantage to satisfy a discrete entropy inequality under a CFL condition and a subcharacteristic stability condition involving a cell Reynolds number. The new scheme is proved to be second-order accurate in space. We show the efficiency of the method in terms of accuracy and robustness on a variety of classical benchmark tests. Some physical problems have been studied in order to show the usefulness of both schemes. The LB code was successfully used to determine the longitudinal dispersion of metallic foams, with the use of a novel indicator. The entropic code was used to determine the permeability tensor of various porous media, from the Fontainebleau sandstone (low porosity) to a redwood tree sample (high porosity). These results are pretty accurate. Finally, the entropic framework is applied to the advection-diffusion equation as a passive scalar.