Ce travail a été consacré à la simulation numérique des équations de la mécanique des fluides par des méthodes de volumes finis implicites. Tout d'abord, nous avons étudié et mis en place une version implicite du schéma de Roe pour les écoulements monophasiques et diphasiques compressibles. Grâce à la méthode de Newton utilisée pour résoudre les systèmes nonlinéaires, nos schémas sont conservatifs. Malheureusement, la résolution de ces systèmes est très coûteuse. Il est donc impératif d'utiliser des algorithmes de résolution performants. Pour des matrices de grande taille, on utilise souvent des méthodes itératives dont la convergence dépend de leur spectre. Nous avons donc étudié le spectre du système linéaire et proposé une stratégie de Scaling pour améliorer le conditionnement de la matrice. Combinée avec le préconditionneur classique ILU, notre stratégie de Scaling a réduit de façon significative le nombre d'itérations GMRES du système local et le temps de calcul. Nous avons également montré l'intérêt du schéma centré pour la simulation de certains écoulements à faible nombre de Mach. Nous avons ensuite étudié et implémenté la méthode de décomposition de domaine pour les écoulements compressibles. Nous avons proposé une nouvelle variable interface qui rend la méthode du complément de Schur plus facile à construire et nous permet de traiter les termes de diffusion. L'utilisation du solveur itératif GMRES plutôt que Richardson pour le système interface apporte aussi une amélioration des performances par rapport aux autres méthodes. Nous pouvons également découper notre domaine de calcul en un nombre quelconque de sous-domaines. En utilisant la stratégie de Scaling pour le système interface, nous avons amélioré le conditionnement de la matrice et réduit le nombre d'itérations GMRES de ce système. En comparaison avec le calcul distribué classique, nous avons montré que notre méthode est robuste et efficace.

Ce travail a été consacré à la simulation numérique des équations de la mécanique des fluides par des méthodes de volumes finis implicites. Tout d’abord, nous avons étudié et mis en place une version implicite du schéma de Roe pour les écoulements monophasiques et diphasiques compressibles. Grâce à la méthode de Newton utilisée pour résoudre les systèmes nonlinéaires, nos schémas sont conservatifs. Malheureusement, la résolution de ces systèmes est très coûteuse. Il est donc impératif d’utiliser des algorithmes de résolution performants. Pour des matrices de grande taille, on utilise souvent des méthodes itératives dont la convergence dépend de leur spectre. Nous avons donc étudié le spectre du système linéaire et proposé une stratégie de Scaling pour améliorer le conditionnement de la matrice. Combinée avec le préconditionneur classique ILU, notre stratégie de Scaling a réduit de façon significative le nombre d’itérations GMRES du système local et le temps de calcul. Nous avons également montré l’intérêt du schéma centré pour la simulation de certains écoulements à faible nombre de Mach. Nous avons ensuite étudié et implémenté la méthode de décomposition de domaine pour les écoulements compressibles. Nous avons proposé une nouvelle variable interface qui rend la méthode du complément de Schur plus facile à construire et nous permet de traiter les termes de diffusion. L’utilisation du solveur itératif GMRES plutôt que Richardson pour le système interface apporte aussi une amélioration des performances par rapport aux autres méthodes. Nous pouvons également découper notre domaine de calcul en un nombre quelconque de sous-domaines. En utilisant la stratégie de Scaling pour le système interface, nous avons amélioré le conditionnement de la matrice et réduit le nombre d’itérations GMRES de ce système. En comparaison avec le calcul distribué classique, nous avons montré que notre méthode est robuste et efficace. / This thesis deals with numerical simulations of compressible fluid flows by implicit finite volume methods. Firstly, we studied and implemented an implicit version of the Roe scheme for compressible single-phase and two-phase flows. Thanks to Newton method for solving nonlinear systems, our schemes are conservative. Unfortunately, the resolution of nonlinear systems is very expensive. It is therefore essential to use an efficient algorithm to solve these systems. For large size matrices, we often use iterative methods whose convergence depends on the spectrum. We have studied the spectrum of the linear system and proposed a strategy, called Scaling, to improve the condition number of the matrix. Combined with the classical ILU preconditioner, our strategy has reduced significantly the GMRES iterations for local systems and the computation time. We also show some satisfactory results for low Mach-number flows using the implicit centered scheme. We then studied and implemented a domain decomposition method for compressible fluid flows. We have proposed a new interface variable which makes the Schur complement method easy to build and allows us to treat diffusion terms. Using GMRES iterative solver rather than Richardson for the interface system also provides a better performance compared to other methods. We can also decompose the computational domain into any number of subdomains. Moreover, the Scaling strategy for the interface system has improved the condition number of the matrix and reduced the number of GMRES iterations. In comparison with the classical distributed computing, we have shown that our method is more robust and efficient.

Ce travail est consacré à la modélisation d'écoulements de deux fluides immiscibles et son application en microfluidique. Pour cela, nous mettons en oeuvre des méthodes Level Set actuelles permettant un suivi précis de l'interface, dont le mouvement est induit par des champs de vitesse vérifiant les équations de Stokes ou de Navier-Stokes munies d'un terme de tension de surface.<br />Dans une première partie, nous abordons la problématique du suivi d'interface et présentons en détail les composantes de la méthode Level Set. En particulier, nous détaillons les approches ENO et WENO pour discrétiser les équations de Hamilton-Jacobi ainsi que les diverses méthodes existantes de redistanciation.<br />Dans la deuxième partie, nous traitons de l'analyse et de la résolution numérique des écoulements bifluides incompressibles pilotés par la tension de surface. Après avoir décrit les modèles mathématiques ainsi que leurs discrétisations et solveurs, nous apportons une contribution nouvelle en dérivant théoriquement une condition de stabilité valable pour les nombres de Reynolds faibles à modérés, caractéristiques des configurations microfluidiques. De plus, on introduit une méthode de décomposition de l'écoulement qui permet de diminuer les temps de simulation.<br />Enfin, la troisième partie est consacrée à l'application des outils évoqués précédemment pour simuler la dynamique de gouttes dans des microcanaux. Nous présentons les résultats numériques obtenus avec d'une part, un code bidimensionnel cartésien et d'autre part, avec un code tridimensionnel axisymétrique que nous avons entièrement développés. Une bonne adéquation est obtenue relativement aux expériences microfluidiques du laboratoire LOF (Rhodia - CNRS). En particulier, avec nos simulations, nous mettons à jour différentes dynamiques de mélange au sein des gouttes.

Cette thèse contribue à la vérification et à la validation du modèle bifluide de Baer-Nunziato, pour modéliser les phénomènes de transitoires hydrauliques dans les réseaux de tuyauteries industrielles. Il s’agit d’abord de modéliser les écoulements de transitoires hydrauliques avec le modèle bifluide en représentation eulérienne, puis d’étendre ce modèle en formalisme ALE (Arbitrary Lagrangian Eulerian) pour prendre en compte l’interaction fluide-structure (IFS). Pour modéliser les écoulements, des lois de fermetures du modèle bifluide concernant les termes interfaciaux, les termes sources et les lois thermodynamiques (EOS) ont d’abord été étudiées. Ensuite, le système complet a été simulé avec une méthode à pas fractionnaires qui admet deux étapes, l’une pour la résolution de la partie convective, l’autre pour les termes sources. L’ensemble de schémas a été vérifié et étendu aux EOS ‘Stiffened Gas généralisées’ afin de représenter le changement de phase eau-vapeur. Après avoir retrouvé certains phénomènes typiques associés aux transitoires hydrauliques, le modèle bifluide a été validé avec l’expérience de Simpson, l’expérience Canon, et comparé avec deux modèles homogènes sur ces deux expériences. Enfin, une version ALE du modèle bifluide a été mise en œuvre et vérifiée sur un cas de propagation d’ondes de pression dans une conduite flexible. La variation de la célérité des ondes dans le fluide liée au couplage fluide/structure a été bien retrouvée. La validation a été effectuée sur un cas expérimental d'explosion dans une tuyauterie en eau. Les simulations sont en bon accord avec les données expérimentales. / This thesis contributes to the verification and the validation of the Baer-Nunziato (BN) model, to modelize water hammer phenomena in industrial piping systems. It consists of two parts, the first is to modelize water hammer flows with the BN model in Eulerian representation and the second is to extend this model to the ALE (Arbitrary Lagrangian Eulerian) formalism so as to take into account fluid-structure interaction (FSI). To modelize water hammer flows, closure laws of the BN model concerning the interfacial/source terms and the equations of state (EOS) were first studied. Then the whole system was simulated with a fractional step method including two steps, one for the resolution of the convective part, the other for the source terms. All schemes have been extended to ‘generalized Stiffened Gas’ EOS in order to represent phase-change. After regaining some typical phenomena associated with water hammer flows, the BN model was validated with the Simpson experiment, a classical water hammer test case, and the Canon experience, a rapid decompression of fluid in a high pressure duct. Moreover, the model was compared with two homogeneous models on both experiments. Finally, an ALE version of the BN model was implemented, and verified on a case of wave propagation in a ‘single’ phase flow and a two-phase flow in a flexible pipe. The variation of wave propagation speed due to the coupling between the fluid and the structure has been well retrieved. The validation was performed on an experiment which examines the response of a pipe filled with water, subjected to a violent pressure peak (140 bar). The simulations are in good agreement with the experimental data.

Cette thèse est dédiée à l'étude de problèmes de couplage en espace entre différents modèles d'écoulements compressibles. Nous considérons des formulations monodimensionnelles où l'interface de couplage est mince, fixe et séparant deux régions de l'espace correspondant aux deux modèles à coupler. L'objectif de notre travail consiste à définir une condition de couplage à l'interface et à résoudre numériquement le problème de couplage muni de cette condition. Après un état de l'art non exhaustif sur le couplage de systèmes hyperboliques de lois de conservation, nous proposons une nouvelle formulation de condition de couplage basée sur l'ajout d'un terme source mesure agissant exactement sur l'interface de couplage. Nous supposons, dans un premier temps, que le poids associé à ce terme source est connu et constant. Deux solveurs de Riemann sont développés dont une approche par relaxation préservant les solutions équilibres du problème de couplage. Cette méthode par relaxation est reprise par la suite dans le cadre d'un problème d'optimisation sous contraintes pour déterminer un poids dynamique en temps selon différentes motivations de transmission à l'interface. Dans une seconde partie, nous développons un solveur de Riemann approché pour un modèle bifluide à deux pressions dans le cas d'un écoulement diphasique isentropique par phase. Le modèle en question a pour particularité de comprendre des termes non conservatifs que l'on réécrit alors sous la forme de termes sources mesures. L'approche par relaxation établie dans la partie précédente est alors étendue au cas du modèle bifluide, moyennant une estimation a priori des contributions non conservatives. Cette méthode nous permet, dans un dernier chapitre, de résoudre numériquement le problème de couplage interfacial entre un modèle bifluide à deux pressions et un modèle de drift-flux grâce à l'approche dite du modèle père.

L'objet de cette thèse est l'étude de quelques aspects de <br />la notion d'hyperbolicité, plus particulièrement de la <br />relation qui existe entre celle-ci et la nature bien posée <br />d'un problème de Cauchy obtenu à partir d'un système<br />d'équations aux dérivées partielles issu de la mécanique <br />des fluides ou la réalisation de la simulation numérique <br />d'un tel problème.<br /><br />Dans un premier temps, nous rappelons en quoi la notion de<br />linéarisation d'un système d'équations aux dérivées <br />partielles semble naturelle à l'étude de ce système et <br />comment, de l'étude de ces problèmes linéarisés, plus <br />précisément de leur nature bien posée c'est-à-dire de leur <br />stabilité, découle la notion d'hyperbolicité.<br /><br />Nous étudions ensuite le cas particulier d'un modèle à <br />quatre équations pour un écoulement bifluide comportant des <br />termes de diffusion pour les équations de quantité de <br />mouvement. Nous montrons alors que, bien que, pour ce <br />système, l'ajout des termes de diffusion n'entraîne pas <br />l'hyperbolicité du modèle obtenu, les problèmes de Cauchy <br />construits à partir de la linéarisation de ce système, <br />autour d'un état constant, sont désormais bien posés.<br /><br />Enfin, nous considérons le cas d'un modèle à cinq équations <br />pour un écoulement bifluide. Ce modèle ne nécessite pas de <br />loi de fermeture algébrique (équations d'état ou lois <br />tabulées) mais comporte une équation aux dérivées <br />partielles portant sur la pression. Le système ainsi <br />obtenu n'est pas hyperbolique mais les valeurs propres de <br />l'opérateur d'advection sont toutes réelles. La simulation<br />numérique d'un écoulement régi par ce modèle, pour le cas <br />test du robinet de Ransom, ne fait néanmoins pas apparaître <br />les instabilités numériques que la nature mal posée du<br />linéarisé nous faisait craindre et qui sont présentes dans <br />les simulations réalisées à partir du modèle isentropique <br />classique à quatre équations.

Les travaux de cette thèse contribuent à la vérification et à la validation d'un modèle diphasique instationnaire, le mo- dèle bifluide de Baer-Nunziato, pour modéliser les phénomènes de transitoires hydrauliques tels que les coups de bélier et les marteaux d'eau, qui peuvent apparaître dans les réseaux de tuyauteries industrielles. Il s'agit d'abord de modéliser les écoulements de transitoires hydrauliques avec le modèle bifluide en représentation eulérienne, puis d'étendre ce modèle en formalisme ALE (Arbitrary Lagrangian Eulerian) pour prendre en compte l'interaction fluide-structure (IFS). Pour mo- déliser les écoulements, des lois de fermetures du modèle bifluide concernant les termes interfaciaux, les termes sources et les lois thermodynamiques ont d'abord été étudiées. Ensuite, le système complet a été simulé avec une méthode à pas fractionnaires qui admet deux étapes, l'une pour la résolution de la partie convective, l'autre pour la prise en compte des termes sources. Pour la partie convective, le schéma de Rusanov a d'abord été vérifié. Des problèmes de stabilité ayant été observés, un nouveau schéma plus stable à pas fractionnaires a été proposé et vérifié. En ce qui concerne les termes sources, quatre schémas de relaxation non-instantanés qui représentent respectivement le retour à l'équilibre de pression, les transferts de quantité de mouvement, de chaleur et de masse, sont appliqués successivement. Ces schémas ont été étendus aux lois thermodynamiques 'Stiffened Gas généralisées' afin de représenter le changement de phase eau-vapeur. Après avoir retrouvé certains phénomènes typiques associés aux écoulements de transitoires hydrauliques le modèle bi- fluide a été confronté aux résultats de l'expérience de Simpson, qui est un cas classique de coup de bélier et à ceux de l'expérience Canon, dédiée à la décompression rapide d'un fluide à haute pression dans une tuyauterie. Par ailleurs, le modèle bifluide a été comparé avec deux modèles homogènes sur ces deux expériences. Enfin, une version ALE du mo- dèle bifluide a été mise en œuvre et vérifiée sur un cas de propagation d'ondes de pression dans une conduite flexible, en écoulement 'quasi-monophasique', ou diphasique. La variation de la célérité des ondes de pression dans le fluide liée au couplage entre le fluide et la structure a été bien retrouvée. La validation a été effectuée sur une expérience qui étudie la réponse d'une tuyauterie remplie d'eau soumise à un pic de pression violent (140 bar). Les simulations sont en bon accord avec les données expérimentales.

Dans ce mémoire, on s'intéresse à la simulation des écoulements liquide-vapeur en transition de phase. Pour décrire ces écoulements, une approche bifluide moyennée à deux pressions indépendantes est retenue. Cette description du mélange liquide-vapeur s'appuie sur le modèle à sept équations de Baer et Nunziato. On étudie les aptitudes de cette modélisation à simuler les transitions de phase apparaissant en ingénierie nucléaire.<br /><br />Dans un premier temps, on élabore un cadre thermodynamique théorique pour décrire les écoulements liquide-vapeur. Dans ce cadre, on réalise la fermeture du modèle de Baer et Nunziato. De nouvelles modélisations sont proposées pour les termes d'interaction entre les phases. Ces nouvelles modélisations dotent le modèle bifluide à deux pressions d'une inégalité d'entropie. On étudie ensuite les propriétés mathématiques de ce modèle. Sa partie convective hyperbolique se présente sous une forme non-conservative. On étudie tout d'abord la définition de ses solutions faibles. Divers régimes d'écoulement sont alors mis à jour pour le mélange diphasique. Ces différents régimes d'écoulement présentent des analogies avec le comportement fluvial et torrentiel des écoulements en rivière. Les stabilités linéaire et non-linéaire de l'équilibre liquide-vapeur sont ensuite établies. Pour affiner notre description des interactions diphasiques, on étudie pour finir l'implémentation d'un modèle de turbulence, ainsi que l'implémentation d'une procédure de reconstruction pour la densité d'aire interfaciale.<br /><br />On s'intéresse ensuite à la simulation de ce modèle. Suivant une approche à pas fractionnaires, une méthode numérique est élaborée dans un formalisme Volumes Finis. Pour réaliser l'approximation de la partie convective, diverses adaptations non-conservatives de solveurs de Riemann standard sont tout d'abord proposées. A l'inverse du cadre non-conservatif classique, l'ensemble de ces schémas converge vers une unique solution. Un nouveau schéma de relaxation est ensuite proposé pour approcher la dynamique des transferts interfaciaux. L'ensemble de la méthode numérique se caractérise alors par la préservation des équilibres liquide-vapeur. Dans un premier temps, cette méthode numérique est employée à la comparaison des différentes modélisations bifluides à une et deux pressions. On l'applique ensuite à la simulation des écoulements liquide-vapeur dans les circuits hydrauliques des réacteurs à eau sous pression en configuration accidentelle.

Émissions polluantes, les motoristes souhaitent contrôler au mieux l’atomisation du carburant, injecté généralement sous forme de jets ou de nappes liquides. Les essais étant long et coûteux, leur remplacement par un outil numérique capable de simuler le processus d’atomisation permettrait non seulement une réduction des coûts importante mais faciliterait également la phase de conception. Toutefois, en raison du caractère multi-échelle du phénomène, il est difficile de le décrire dans son ensemble avec les approches habituellement utilisées en mécanique des fluides numérique.L’objectif de cette thèse est de concevoir une nouvelle approche qui permettra à terme de simuler l’atomisation pour une configuration industrielle complète. Celle-ci consiste à coupler deux types de modèles. Le premier, dit modèle bifluide, est un modèle à deux fluides compressibles basé sur les équations de Navier-Stokes diphasiques. Celui-ci permet de décrire les grandes échelles du phénomène d’atomisation correspondant à la formation de ligaments et d’amas liquides dans la zone proche de l’injecteur. Le second, dit modèle de spray, est basé sur une équation cinétique. Dans la zone située en aval de l’injecteur, ce dernier permet de décrire de manière statistique l’évolution du brouillard de gouttelettes issues de la fragmentation primaire du jet de carburant. Le point délicat, à la fois sur le plan de la modélisation et sur celui de l’algorithmique, réside dans le couplage des deux modèles. Celui ci a été réalisé grâce à l’introduction de deux modèles auxiliaires permettant de traiter le transfert de liquide entre le modèle bifluide et le modèle de spray par atomisation ou ré-impact.L’approche proposée a été appliquée à la simulation numérique de nappes liquides cisaillées. Les comparaisons entre les résultats numériques et des résultats expérimentaux montrent que le modèle bifluide permet de prévoir l’influence de la géométrie et des conditions d’injection sur l’atomisation primaire de la nappe liquide. Le modèle d’atomisation permet quant à lui, de reproduire le caractère instationnaire des mécanismes de production de gouttes lors du transfert de la phase liquide depuis le modèle bifluide vers celui de spray. Des cas de ré-impact valident également la robustesse et la généralité de la méthodologie de couplage. / In order to improve efficiency of aircraft combustion chambers and reduce polluting emissions,engine manufacturers try to achieve a better control on fuel atomization, which is usually injectedas a jet or liquid sheet. As experiments are expensive and time consuming, a numerical tool able to simulate atomization would be a powerful asset in engine conception design. However, simulation ofthe whole atomization process with commonly used approach in computational fluid dynamics is still prohibitive due to the multi-scale nature of the phenomenon.The objective of this thesis is to develop a new approach allowing the simulation of the spray formation for a industrial configuration in the near future. This involves coupling of two types of models.The first one, called two-fluid model, is based on the Navier-Stokes equations for two immiscible compressible fluids. This one is used to describe the large scales of the atomization mechanism corresponding to the formation of ligaments and liquids blobs in the near-injector area. The second one,called spray model, is based on a kinetic equation. Further downstream from the injector, this model describes statistically the evolution of the droplet cloud produced by the primary fragmentation of liquid jet. The main difficulty, in terms of both modeling and algorithmic, is the coupling of these twomodels.This has been achieved by introducing an atomization and an impact models which ensure liquid transfer between the two-fluid model and the spray model.This new approach was applied to the numerical simulation of sheared liquid sheets. Comparisons between numerical and experimental results show how the two-fluid model predicts the influence of injector geometry and injection conditions on the primary atomization of the liquid sheet. Concerning droplets production, the atomization model is able to reproduce the unsteady nature of this mechanism when transferring liquid phase from the two-fluid model to the spray model. Test cases for the impact model also validate the robustness and generality of the coupling approach.

Dans cette thèse, nous étudions le caractère bien posé, le contrôle et la stabilisation de quelques modèles d'écoulements fluides. Dans la première partie, on s'intéresse aux équations de Navier-Stokes compressibles 1D. Un résultat de contrôlabilité locale aux trajectoires par contrôle frontière est établi sous l'hypothèse géométrique de vidage du domaine par le flot de la trajectoire cible. La principale nouveauté de ce travail est que les trajectoires cibles peuvent être choisies non constantes. Dans la deuxième partie, nous travaillons sur un modèle de frontière immergée dans un fluide visqueux incompressible en 2D et 3D. Contrairement à la méthode des frontières immergées de Peskin où la force générée par la structure dépend de ses propriétés élastiques et géométriques, nous considérons que la force de la structure est une donnée du système. Nous montrons alors des résultats d'existence locale en temps et en tout temps à données petites de solutions fortes. Ce travail est un premier pas vers l'analyse mathématique de la méthode des frontières immergées de Peskin. Dans la dernière partie, nous étudions la stabilisation d'une interface entre deux couches de fluides visqueux non miscibles soumis à l'effet de tension de surface en 2D et 3D. Nous montrons qu'au moyen d'un contrôle de dimension finie agissant sur une partie de la frontière d'un seul des deux fluides, le système est exponentiellement stabilisable à tout taux de décroissance autour de la configuration plate avec fluides au repos. Ce travail est une première étape dans l'étude de la stabilisation des instabilités de Rayleigh-Taylor. / In this work we study the well-posedness, the control and the stabilization of some fluid flow models. First, we focus on the 1D compressible Navier-Stokes equations. Under a geometric assumption on the flow of the target velocity corresponding to the possibility of emptying the domain under the action of the flow, we prove the local exact boundary controllability to trajectory. The main novelty of this work is that the target trajectory can now depend on time and space. In the second part, we study a model of an immersed boundary in an incompressible viscous fluid in 2D and 3D. Contrary to Peskin's Immersed Boundary Method where the boundary force depends on the elastic properties of the structure and its geometry, we consider that the boundary force is a given data. Two results are established: a local in time existence of strong solutions and an existence of strong solutions for all time with small data. This work is a first step on the mathematical analysis of Peskin's Immersed Boundary Method. Finally, we are interested in the stabilization of the interface between two fluid layers coupled through surface tension effect in 2D and 3D. We prove that the system is exponentially stabilizable at any rate around a flat configuration with fluids at rest using a control of finite dimension acting locally at one fluid boundary. This work is a first step in the study of the stabilization of Rayleigh-Taylor instabilities.