Thèse de doctorat : Mathématiques : Paris 12 : 2005. / Titre provenant de l'écran-titre. Bibliogr. : 99 réf. Index.

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux méthodes permettant de décomposer une image en deux parties: l'une contenant les structures (ou objets) de l'image et l'autre les textures. Le point de départ de ces travaux est le modèle proposé par Yves Meyer en 1999 puis les travaux de Jean-François Aujol pour les aspects algorithmiques.<br />Après une étude théorique de ces approches, nous proposons une extension au cas des images bruitées nous permettant d'obtenir alors une décomposition en trois composantes: structures + textures + bruit.<br />Par ailleurs, nous proposons une méthode spécifique en vue d'évaluer les résultats obtenus à partir des différents alggorithmes. <br />Enfin, nous présentons quelques applications des ces méthodes de décomposition d'image, notamment un algorithme de détection de réseaux routiers en imagerie aérienne ou satellitaire. Cet algorithme combine décomposition d'image, détection d'alignements par la théorie de la Gestalt et modèle déformable.

L'objectif de l'analyse multifractale (introduite dans le cadre de la turbulence pleinement developpee) est de déterminer la dimension des ensembles de points où une fonction a une régularité hölderienne fixée. Cette information ne peut être calculée directement sur les signaux réels et une formule appelée formalisme multifractal a été introduite pour calculer ces dimensions à partir de quantités obtenues directement par traitement du signal. Elle n'est pas vraie en toute généralité et nous étudions dans cette thèse différentes situations dans lesquelles le formalisme multifractal n'est pas valide.<br />Des résultats de type " Baire " démontrent que le formalisme multifractal est vrai quasi-sûrement pour de petites valeurs de l'exposant de Hölder et faux pour les autres valeurs. Nous montrons que cela est dû à la présence de singularités oscillantes.<br />D'autre part le formalisme multifractal ne s'applique qu'aux fonctions continues. Nous montrons qu'il est possible de généraliser la formule, en passant d'un critère de régularité ponctuelle hölderienne à un critère plus faible, à des fonctions qui peuvent ne plus être continues.<br />Enfin nous étudions un cas particulier de phénomène oscillant en dimension 2 qui n'est pas caractérisé par les critères de régularité ponctuelle précédents. Nous proposons une méthode d'analyse de ce comportement à base d'un algorithme de traitement de l'image.

Cette thèse est consacrée à l'étude de la dynamique des gaz à faible nombre de Mach. Le modèle étudié provient des équations de Navier-Stokes complètes lorsque le nombre de Mach tend vers zéro. On cherche à montrer que le problème de Cauchy correspondant est bien posé. Les cas visqueux et non visqueux sont tous deux considérés. Les coefficients physiques peuvent dépendre de la densité (ou de la température) inconnue. En particulier, nous prenons en compte les effets de conductivité thermique et on autorise de grandes variations d'entropie. Rappelons qu'en absence de diffusion thermique, la limite à faible nombre de Mach implique la condition d'incompressibilité. Dans le cadre étudié ici, en introduisant un nouveau champ de vitesses à divergence nulle, le système devient un couplage non linéaire entre une équation quasi-parabolique pour la densité et un système de type Navier-Stokes (ou Euler) pour la vitesse et la pression. Pour le cas avec viscosité, on établit le résultat classique, à savoir qu'il existe une solution forte existant localement (resp. globalement) en temps pour des données initiales grandes (resp. petites). On considère ici le problème de Cauchy avec données initiales dans des espaces de Besov critiques. Lorsque les coefficients physiques du système vérifient une relation spéciale, le système se simplifie considérablement, et on peut alors établir qu'il existe des solutions faibles globales en temps à énergie finie. Par un argument d'unicité fort-faible, on en déduit que les solutions fortes à énergie finie existent pour tous les temps positifs en dimension deux. Pour le cas sans viscosité, on montre d'abord le caractère bien posé dans des espaces de Besov limites, qui s'injectent dans l'espace des fonctions lipschitziennes. Des critères de prolongement et des estimations du temps de vie sont établis. Si l'on suppose la donnée initiale à énergie finie dans l'espace de Besov limite à exposant de Lebesgue infini, on a également un résultat d'existence locale. En dimension deux, le temps de vie tend vers l'infini quand la densité tend vers une constante positive. Des estimations de produits et de commutateurs, ainsi que des estimations a priori pour les équations paraboliques et pour le système de Stokes (ou d'Euler) à coefficients variables, se trouvent dans l'annexe. Ces estimations reposent sur la théorie de Littlewood-Paley et le calcul paradifférentiel

Cette thèse est consacrée à l'étude de la dynamique des gaz à faible nombre de Mach. Le modèle étudié provient des équations de Navier-Stokes complètes lorsque le nombre de Mach tend vers zéro. On cherche à montrer que le problème de Cauchy correspondant est bien posé. Les cas visqueux et non visqueux sont tous deux considérés. Les coefficients physiques peuvent dépendre de la densité (ou de la température) inconnue. En particulier, nous prenons en compte les effets de conductivité thermique et on autorise de grandes variations d'entropie. Rappelons qu'en absence de diffusion thermique, la limite à faible nombre de Mach implique la condition d'incompressibilité. Dans le cadre étudié ici, en introduisant un nouveau champ de vitesses à divergence nulle, le système devient un couplage non linéaire entre une équation quasi-parabolique pour la densité et un système de type Navier-Stokes (ou Euler) pour la vitesse et la pression. Pour le cas avec viscosité, on établit le résultat classique, à savoir qu'il existe une solution forte existant localement (resp. globalement) en temps pour des données initiales grandes (resp. petites). On considère ici le problème de Cauchy avec données initiales dans des espaces de Besov critiques. Lorsque les coefficients physiques du système vérifient une relation spéciale, le système se simplifie considérablement, et on peut alors établir qu'il existe des solutions faibles globales en temps à énergie finie. Par un argument d'unicité fort-faible, on en déduit que les solutions fortes à énergie finie existent pour tous les temps positifs en dimension deux. Pour le cas sans viscosité, on montre d'abord le caractère bien posé dans des espaces de Besov limites, qui s'injectent dans l'espace des fonctions lipschitziennes. Des critères de prolongement et des estimations du temps de vie sont établis. Si l'on suppose la donnée initiale à énergie finie dans l'espace de Besov limite à exposant de Lebesgue infini, on a également un résultat d'existence locale. En dimension deux, le temps de vie tend vers l'infini quand la densité tend vers une constante positive. Des estimations de produits et de commutateurs, ainsi que des estimations a priori pour les équations paraboliques et pour le système de Stokes (ou d'Euler) à coefficients variables, se trouvent dans l'annexe. Ces estimations reposent sur la théorie de Littlewood-Paley et le calcul paradifférentiel / This thesis is devoted to the study of the dynamics of the gases with small Mach number. The model comes from the complete Navier-Stokes equations when the Mach number goes to zero, and we aim at showing that it is well-posed. The viscous and inviscid cases are both considered. The physical coefficients may depend on the unknown density (or on the unknown temperature).In particular, we consider the effects of the thermal conductivity and hence large variations of entropy are allowed. Recall that if there is no thermal diffusion, then the low Mach number limit just implies the incompressibility condition. In the framework considered here, by introducing a new solenoidal velocity field, the system becomes a nonlinear coupling between a quasi-parabolic equation for the density and an evolutionary Stokes (or Euler) system for the velocity and the pressure. For the case with viscosity, we establish classical results, namely the strong solutions exist locally (resp. globally) in time for big (resp. small) initial data. We consider the Cauchy problem in the critical Besov spaces with the lowest regularity. Under a special relationship between the two physical coefficients, the system recasts in a simpler form and one may prove that there exist weak solutions with finite energy. In dimension two, this implies that strong solutions with finite energy exist for all positive times. In the inviscid case, we first prove the well-posedness result in endpoint Besov spaces, which can be embedded into the set of Lipschitzian functions. Continuation criterions and estimates for the lifespan are both established.If we suppose the initial data to be in the borderline Besov spaces with infinite Lebesgue exponent and to be of finite energy, we also have a local existence result. In dimension two, the lifespan goes to infinity when the density tends to a positive constant. Estimates for products and commutators, together with a priori estimates for the parabolic equations and the Stokes (or Euler) system with variable coefficients, are postponed in the appendix. These estimates are based on the Littlewood-Paley theory and the paradifferential calculus

Cette thèse est consacrée à l'étude des opérateurs strictement hyperboliques à coefficients peu réguliers, aussi bien qu'à l'étude du système d'Euler incompressible à densité variable. Dans la première partie, on montre des estimations a priori pour des opérateurs strictement hyperboliques dont les coefficients d'ordre le plus grand satisfont une condition de continuité log-Zygmund par rapport au temps et une condition de continuité log-Lipschitz par rapport à la variable d'espace. Ces estimations comportent une perte de dérivées qui croît en temps. Toutefois, elles sont suffisantes pour avoir encore le caractère bien posé du problème de Cauchy associé dans l'espace H^inf (pour des coefficients du deuxième ordre ayant assez de régularité).Dans un premier temps, on considère un opérateur complet en dimension d'espace égale à 1, dont les coefficients du premier ordre étaient supposés hölderiens et celui d'ordre 0 seulement borné. Après, on traite le cas général en dimension d'espace quelconque, en se restreignant à un opérateur de deuxième ordre homogène: le passage à la dimension plus grande exige une approche vraiment différente. Dans la deuxième partie de la thèse, on considère le système d'Euler incompressible à densité variable. On montre son caractère bien posé dans des espaces de Besov limites, qui s'injectent dans la classe des fonctions globalement lipschitziennes, et on établit aussi des bornes inférieures pour le temps de vie de la solution ne dépendant que des données initiales. Cela fait, on prouve la persistance des structures géométriques, comme la régularité stratifiée et conormale, pour les solutions de ce système. À la différence du cas classique de densité constante, même en dimension 2 le tourbillon n'est pas transporté par le champ de vitesses. Donc, a priori on peut s'attendre à obtenir seulement des résultats locaux en temps. Pour la même raison, il faut aussi laisser tomber la structure des poches de tourbillon. La théorie de Littlewood-Paley et le calcul paradifférentiel nous permettent d'aborder ces deux différents problèmes. En plus, on a besoin aussi d'une nouvelle version du calcul paradifférentiel, qui dépend d'un paramètre plus grand que ou égal à 1, pour traiter les opérateurs à coefficients peu réguliers. Le cadre fonctionnel adopté est celui des espaces de Besov, qui comprend en particulier les ensembles de Sobolev et de Hölder. Des classes intermédiaires de fonctions, de type logarithmique, entrent, elles aussi, en jeu / The present thesis is devoted both to the study of strictly hyperbolic operators with low regularity coefficients and of the density-dependent incompressible Euler system. On the one hand, we show a priori estimates for a second order strictly hyperbolic operator whose highest order coefficients satisfy a log-Zygmund continuity condition in time and a log-Lipschitz continuity condition with respect to space. Such an estimate involves a time increasing loss of derivatives. Nevertheless, this is enough to recover well-posedness for the associated Cauchy problem in the space $H^infty$ (for suitably smooth second order coefficients).In a first time, we consider acomplete operator in space dimension $1$, whose first order coefficients were assumed Hölder continuous and that of order $0$only bounded. Then, we deal with the general case of any space dimension, focusing on a homogeneous second order operator: the step to higher dimension requires a really different approach. On the other hand, we consider the density-dependent incompressible Euler system. We show its well-posedness in endpoint Besov spaces embedded in the class of globally Lipschitz functions, producing also lower bounds for the lifespan of the solution in terms of initial data only. This having been done, we prove persistence of geometric structures, such as striated and conormal regularity, for solutions to this system. In contrast with the classical case of constant density, even in dimension $2$ the vorticity is not transported by the velocity field. Hence, a priori one can expect to get only local in time results. For the same reason, we also have to dismiss the vortex patch structure. Littlewood-Paley theory and paradifferential calculus allow us to handle these two different problems .A new version of paradifferential calculus, depending on a parameter $ggeq1$, is also needed in dealing with hyperbolic operators with nonregular coefficients. The general framework is that of Besov spaces, which includes in particular Sobolev and Hölder sets. Intermediate classes of functions, of logaritmic type, come into play as well

Cette thèse est un travail en mathématiques appliquées. Elle aborde quelques problèmes en analyse d'images et utilise des outils mathématiques spécifiques.<br /><br />L'objectif des deux premières parties de cette thèse <br /> est de proposer un modèle pour décomposer une image f en trois composantes : f=u+v+w.<br />La première composante, u, contient l'information géométrique. On peut la considérer comme une esquisse de l'image originale f.<br />La seconde composante, v, contient l'information texture.<br />La troisième composante, w, contient le bruit présent dans l'image originale.<br />Notre approche repose sur l'utilisation d'espaces mathématiques <br />adaptés à chaque composante: l'espace BV des fonctions à variations bornées pour u, un espace G proche du dual de BV pour les textures, et un espace de Besov d'exposant négatif E pour le bruit.<br />Nous effectuons l'étude mathématique complète des différents modèles que nous proposons.<br />Nous illustrons notre approche par de nombreux exemples, et donnons deux applications concrètes : une première en restauration d'images RSO, et une seconde en compression d'images.<br /><br /><br />Dans la troisième et dernière partie de cette thèse, nous nous intéressons <br />spécifiquement à la composante texturée.<br />Nous proposons un algorithme de classification supervisée pour les images texturées. L'approche utilisée est basée sur l'utilisation de la méthode des contours actifs et d'un terme d'attache aux donnés spécifiques au textures. Ce dernier est construit à partir d'une transformée en paquets d'ondelettes. Nous obtenons ainsi une fonctionnelle, dont le minimum correspond à la classification cherchée. Nous résolvons numériquement ce problème à l'aide d'un système couplé d'EDP que nous plongeons dans un schéma dynamique. Nous illustrons notre démarche par de nombreux exemples numériques. Nous effectuons également l'étude théorique de la fonctionnelle de classification.

Cette thèse porte sur la restauration des signaux bruités observés sur des plans d'expérience aléatoires. Trois méthodes sont proposées. Dans les deux premières, on se ramène (soit par préconditionnement des données initiales, soit par régression polynomiale locale), à un problème de régression sur grille régulière. Des majorations asymptotiques de l'erreur d'estimation sont données pour les deux méthodes, sur des classes de fonctions holderiennes pour la première et sur des boules d'espaces de Besov pour la deuxième. La vitesse de décroissance de l'erreur est dans les deux cas très proche de la vitesse optimale. Un troisième algorithme concerne les plans d'expérience déterministes et utilise les ondelettes adaptées à la grille. Elles sont construites par des schémas de subdivision non réguliers, dont on étudie la convergence et les propriétés. Des nombreuses simulations et une étude comparative illustrent le comportement des trois algorithmes quand ils sont appliqués à des échantillons de taille finie.

Thèse de doctorat : Mathématiques : Nice : 2004. / Thèse préparée à l'Inria Sophia Antipolis, projet Ariana. Bibliogr. p. 261-269.

Cette thèse donne une étude systématique des espaces de Sobolev, Besov et Triebel-Lizorkin sur le tore quantique. Ces espaces partagent beaucoup de propènes avec leurs analogues classiques. Nous prouvons le théorème de réduction pour tous ces espaces et une inégalité de Poincaré pour les espaces de Sobolev. Nous démontrons les inégalités de plongement pour eux, incluant le plongement d'espaces de Besov et d'espaces de Sobolev. Nous obtenons une caractérisation générale à la Littlewood-Paley pour les espaces de l3esov et Triebel-Lizorkin, qui implique des caractérisations concrètes par les semigroupes de Poisson et de chaleur ainsi par des différences. Certains d'entre elles sont nouvelles, même dans le cas commutatif; par exemple, celle d'espaces de Besov et Triebel-Lizorkin par le semigroupe de Poisson améliore le résultat classique. En conséquence de la caractérisation d'espaces de Besov par des différences, nous étendons les récents résultats de Bourgain-Brézis -Mironescu et Maz'ya-Shaposhnikova sur les limites de normes de Besov au cadre quantique. Nous étudions aussi l'interpolation de ces espaces, et en particulier, déterminons explicitement le K-fonctionnel du couple de l'espace Lp et l'espace de Sobolev, ce qui est l'analogue quantique du résultat classique de Johnen et Scherer. Enfin, nous montrons que les multiplicateurs de Fourier complètement bornés sur tous ces espaces coïncident avec ceux sur les espaces correspondants sur le tore usuel. Nous prouvons également que les multiplicateurs de Fourier sur les espaces de Besov sont complètement déterminés par ceux sur les sous-espaces Lp associés à leurs composantes dans la décomposition de Littlewood-Paley. / This thesis gives a systematic study of Sobolev, Besov and Triebel-Lizorkin spaces on a noncommutative d-torus. We prove, arnong other basic properties, the lifting theorem for all these spaces and a Poincaré type inequality for Sobolev spaces. We establish the embedding inequalities of all these spaces, including the l3esov and Sobolev embedding theorems. We obtain Littlewood-Paley type characterizations for Besov and 'friebel-Lizorki spaces in a general way, as well as the concrete ones internas of the Poisson, heat semigroups and differences. Some of them are new even in the commutative case, for instance, oui Poisson semigroup characterization of Besov and Triebel-Lizorkin spaces improves the classical ones. As a consequence of the characterization of the Besov spaces by differences, we extend to the quantum setting the recent results of Bourgain-Brézis -Mironescu and Maz'ya-Shaposhnikova on the limits of l3esov florins. We investigate the interpolation of all these spaces, in particular, deterrnine explicitly the K-functional of the couple of Lp space and Sobolev space, winch is the quantum analogue of a classical result due to Johnen and Scherer Finally, we show that the completely bounded Fourier multipliers on all these spaces coincide with those on the corresponding spaces on the usuel d-torus. We also give a quite simple description of (completely) bounded Fourier multipliers on the Besov spaces in ternis of their behavior on the Lp-components in the Littlevvood-Paley decomposition.