Mes travaux concernent deux systèmes d’équations utilisés dans la modélisation mathématique de semi-conducteurs et de plasmas : le système d’Euler-Poisson et le système d’Euler-Maxwell. Le premier système est constitué des équations d’Euler pour la conservation de la masse et de la quantité de mouvement couplées à l’équation de Poisson pour le potentiel électrostatique. Le second système décrit le phénomène d’électro-magnétisme. C’est un système couplé, qui est constitué des équations d’Euler pour la conservation de la masse et de la quantité de mouvement et les équations de Maxwell, aussi appelées équations de Maxwell-Lorentz. Les équations de Maxwell sont dues aux lois fondamentales de la physique. Elles constituent les postulats de base de l’électromagnétisme, avec l’expression de la force électromagnétique de Lorentz. En utilisant une technique de développement asymptotique, nous étudions les limites en zéro du système d’Euler-Poisson dans les modèles unipolaire et bipolaire. Il est bien connu que la limite formelle du système d’Euler-Poisson est gouvernée par les équations de dérive-diffusion lorsque le temps de relaxation tend vers zéro. Par des estimations d’énergie aux systèmes hyperboliques symétriques, nous justifions rigoureusement cette limite lorsque les conditions initiales sont bien préparées. Le phénomène des conditions initiales mal préparées est interprété par l’apparition de couches initiales. Dans ce cas, nous faisons une analyse mathématique de ces couches initiales en ajoutant des termes de correction dans le développement asymptotique. En utilisant les techniques itératives des systèmes hyperboliques symétrisables et la technique de développement asymptotique, nous étudions la limite de relaxation en zéro du système d’Euler-Maxwell, avec des conditions initiales bien préparées ainsi que l’étude des couches initiales, dans le modèle évolutif bipolaire et unipolaire. / My work is concerned with two different systems of equations used in the mathematical modeling of semiconductors and plasmas : the Euler-Poisson system and the Euler-Maxwell system. The first is given by the Euler equations for the conservation of the mass and momentum, with a Poisson equation for the electrostatic potential. The second system describes the phenomenon of electromagnetism. It is given by the Euler equations for the conservation of the mass and momentum, with a Maxwell equations for the electric field and magnetic field which are coupled to the electron density through the Maxwell equations and act on electrons via the Lorentz force. Using an asymptotic expansion method, we study the zero relaxation limit of unipolar Euler-Poisson system and of two-fluid multidimensional Euler-Poisson equations, we prove the existence and uniqueness of profiles to the asymptotic expansion and some error estimate. By employing the classical energy estimate for symmetrizable hyperbolic equations, we justify rigorously the convergence of Euler-Poisson system with well-prepared initial data. For ill-prepared initial data, the phenomenon of initial layers occurs. In this case, we also add the correction terms in the asymptotic expansion. Using an iterative method of symmetrizable hyperbolic systems and asymptotic expansion method, we study the zero-relaxation limit of unipolar and bipolar Euler-Maxwell system. For well-prepared initial data, we construct an approximate solution by an asymptotic expansion up to any order. For ill-prepared initial data, we also construct initial layer corrections in the asymptotic expansion.

Cette thèse porte sur l’analyse mathématique de l’interaction d’un fluide non-visqueux avec des structures immergées. Plus précisément, elle est structurée autour de deux axes principaux. L’un d’eux est l’analyse asymptotique du mouvement d’une particule infinitésimale en milieu liquide. L’autre concerne l’interaction entre des vagues et une structure immergée. La première partie de la thèse repose sur l’analyse mathématique d’un système d’équations différentielles ordinaires non-linéaires d’ordre 2 modélisant le mouvement d’un solide infiniment petit dans un fluide incompressible en 2D. Les inconnues du modèle décrivent la position du solide, c’est-à-dire la position du centre de masse et son angle de rotation. Les équations proviennent de la deuxième loi de Newton avec un prototype de force de type Kutta-Joukowski. Plus précisément, nous étudions la dynamique de ce système lorsque l’inertie du solide tend vers 0. Les principaux outils utilisés sont des développements asymptotiques multiéchelles en temps. Pour la dynamique de la position du centre de masse, l’étude met en évidence des analogies avec le mouvement d’une particule chargée dans un champ électromagnétique et la théorie du centre-guide. En l’occurrence, le mouvement du centreguide est donné par une équation de point-vortex. La dynamique de l’angle est quant à elle donnée par une équation de pendule non-linéaire lentement modulée. Des régimes très différents se distinguent selon les données initiales. Pour de petites vitesses angulaires initiales la méthode de Poincaré-Lindstedt fait apparaitre une modulation des oscillations rapides, alors que pour de grandes vitesses angulaires initiales, un movement giratoire bien plus irrégulier est observé. C’est une conséquence particulière et assez spectaculaire de l’enchevêtrement des trajectoires homocliniques. La deuxième partie de la thèse porte sur le problème des vagues dans le cas où le domaine occupé par le fluide est à surface libre et avec un fond plat sur lequel un objet solide se translate horizontalement sous l’effet des forces de pression du fluide. Nous avons étudié deux systèmes asymptotiques qui décrivent le cas d’un fluide parfait incompressible en faible profondeur. Ceux-ci correspondent respectivement aux équations de Saint-Venant et de Boussinesq. Grâce à leur caractère bien-posé en temps long, les modèles traités permettent de prendre en compte certains effets de la mécanique du solide, comme les forces de friction, ainsi que les effets non-hydrostatiques. Notre analyse théorique a été complétée par des études numériques. Nous avons développé un schéma de différences finies d’ordre élevé et nous l’avons adapté à ce problème couplé afin de mettre en évidence les effets d’un solide (dont le mouvement est limité à des translations sur le fond) sur les vagues qui passent au dessus de lui. A la suite de ces travaux, nous avons souligné l’influence des forces de friction sur ce genre de systèmes couplés ainsi que sur le déferlement des vagues. Quant à l’amortissement dû aux effets hydrodynamiques, une vague ressemblance avec le phénomène de l’eau morte est mise en évidence. / This PhD thesis concerns the mathematical analysis of the interaction of an inviscid fluid with immersed structures. More precisely it revolves around two main problems: one of them is the asymptotic analysis of an infinitesimal immersed particle, the other one being the interaction of water waves with a submerged solid object. Concerning the first problem, we studied a system of second order non-linear ODEs, serving as a toy model for the motion of a rigid body immersed in a two-dimensional perfect fluid. The unknowns of the model describe the position of the object, that is the position of its center of mass and the angle of rotation; the equations arise from Newton’s second law with the consideration of a Kutta-Joukowski type lift force. It concerns the detailed analysis of the dynamic of this system when the solid inertia tends to 0. For the evolution of the position of the solid’s center of mass, the study highlights similarities with the motion of a charged particle in an electromagnetic field and the wellknown “guiding center approximation”; it turns out that the motion of the corresponding guiding center is given by a point-vortex equation. As for the angular equation, its evolution is given by a slowly-in-time modulated non-linear pendulum equation. Based on the initial values of the system one can distinguish qualitatively different regimes: for small angular velocities, by the Poincaré-Lindstedt method one observes a modulation in the fast time-scale oscillatory terms, for larger angular velocities however erratic rotational motion is observed, a consequence of Melnikov’s observations on the presence of a homoclinic tangle. About the other problem, the Cauchy problem for the water waves equations is considered in a fluid domain which has a free surface on the upper vertical limit and a flat bottom on which a solid object moves horizontally, its motion determined by the pressure forces exerted by the fluid. Two shallow water asymptotic regimes are detailed, well-posedness results are obtained for both the Saint-Venant and the Boussinesq system coupled with Newton’s equation characterizing the solid motion. Using the particular structure of the coupling terms one is able to go beyond the standard scale for the existence time of solutions to the Boussinesq system with a moving bottom. An extended numerical study has also been carried out for the latter system. A high order finite difference scheme is developed, extending the convergence ratio of previous, staggered grid based models. The discretized solid mechanics are adapted to represent important features of the original model, such as the dissipation due to the friction term. We observed qualitative differences for the transformation of a passing wave over a moving solid object as compared to an immobile one. The movement of the solid not only influences wave attenuation but it affects the shoaling process as well as the wave breaking. The importance of the coefficient of friction is also highlighted, influencing qualitative and quantitative properties of the coupled system. Furthermore, we showed the hydrodynamic damping effects of the waves on the solid motion, reminiscent of the so-called dead water phenomenon.

Cette thèse porte sur le comportement en temps long de solutions d’équations de type Vlasov, principalement le modèle Vlasov-HMF. On s’intéresse en particulier au phénomène d’amortissement Landau, prouvé mathématiquement dans divers cadres, pour plusieurs équations de type Vlasov, comme l’équation de Vlasov-Poisson ou le modèle Vlasov-HMF, et présentant certaines analogies avec le phénomène d’amortissement non visqueux pour l’équation d’Euler 2D. Les résultats qui y sont décrits sont les suivants. Le premier est un théorème d’amortissement Landau pour des solutions numériques du modèle Vlasov-HMF, obtenues par discrétisation en temps de ce dernier via des méthodes de splitting. Nous prouvons en outre la convergence des schémas numériques. Le second est un théorème d’amortissment Landau pour des solutions du modéle Vlasov-HMF linéarisé autour d’états stationnaires inhomogènes. Ce théorème est accompagné de nombreuses simulations numériques destinées à étudier numériquement le cas non-linéaire, et semblant mettre en lumière de nouveaux phénomènes. Enfin, le dernier résultat porte sur la discrétisation en temps de l’équation d’Euler 2D par un intégrateur de Crouch-Grossman symplectique. Nous prouvons la convergence du schéma. / This thesis concerns the long time behavior of certain Vlasov equations, mainly the Vlasov- HMF model. We are in particular interested in the celebrated phenomenon of Landau damp- ing, proved mathematically in various frameworks, foar several Vlasov equations, such as the Vlasov-Poisson equation or the Vlasov-HMF model, and exhibiting certain analogies with the inviscid damping phenomenon for the 2D Euler equation. The results described in the document are the following.The first one is a Landau damping theorem for numerical solutions of the Vlasov-HMF model, constructed by means of time-discretizations by splitting methods. We prove more- over the convergence of the schemes. The second result is a Landau damping theorem for solutions of the Vlasov-HMF model linearized around inhomogeneous stationary states. We provide moreover a quite large amount of numerical simulations, which are designed to study numerically the nonlinear case, and which seem to show new phenomenons. The last result is the convergence of a scheme that discretizes in time the 2D Euler equation by means of a symplectic Crouch-Grossmann integrator.

Lors de simulations numériques d’ordre élevé, la discrétisation sous-paramétrique du domaine de calcul peut générer des erreurs dominant l’erreur liée à la discrétisation des variables. De nombreux travaux proposent d’utiliser l’analyse isogéométrique afin de mieux représenter les géométries et de résoudre ce problème.Nous présenterons dans ce travail le couplage du schéma aux résidus distribués limité et stabilisé de Lax-Frieirichs avec l’analyse isogéométrique. En particulier, nous construirons une famille de fonctions de base permettant de représenter exactement les coniques et définies tant sur les éléments triangulaires que quadrangulaires : les fonctions de base de Bernstein rationnelles. Nous nous intéresserons ensuite à la génération de maillages précis pour l’analyse isogéométrique. Notre méthode consiste à créer un maillage courbe à partir d’un maillage linéaire par morceaux de la géométrie. Le maillage obtenu en sortie de notre procédure est non-structuré, conforme et assure la continuité de nos fonctions de base sur tout le domaine. Pour finir, nous décrirons les différentes méthodes d’adaptation de maillages développées : l’élévation d’ordre et le raffinement isotrope. Bien évidemment, la géométrie exacte du maillage courbe d’entrée est préservée au cours des processus d’adaptation. / During high order simulations, the approximation error may be dominated by the errors linked to the sub-parametric discretization used for the geometry representation. Many works propose to use an isogeometric analysis approach to better represent the geometry and hence solve this problem. In this work, we will present the coupling between the limited stabilized Lax-Friedrichs residual distributed scheme and the isogeometric analysis. Especially, we will build a family of basis functions defined on both triangular and quadrangular elements and allowing the exact representation of conics : the rational Bernstein basis functions. We will then focus in how to generate accurate meshes for isogeometric analysis. Our idea is to create a curved mesh from a classical piecewise-linear mesh of the geometry. We obtain a conforming unstructured mesh which ensures the continuity of the basis functions over the entire mesh. Last, we will detail the curved mesh adaptation methods developed : the order elevation and the isotropic mesh refinement. Of course, the adaptation processes preserve the exact geometry of the initial curved mesh.

Cette thèse présente la construction d’un schéma aux Résidus Distribués p-adaptatif pour la discrétisation des équations d’Euler ainsi qu’un schéma aux Résidus Distribués hp-adaptatif pour les équations de Navier- Stokes pénalisées. On rappelle tout d’abord les équations d’Euler et de Navier-Stokes ainsi que leurs versions non dimensionnelles. Les définitions et propriétés de base des schémas aux Résidus Distribués sont ensuite présentées. On décrit alors la construction d’un schéma aux Résidus Distribués p-adaptatif pour les équations d’Euler. La construction du schéma p-adaptatif est basée sur la possibilité d’exprimer le résidu total d’un élément K de degré k (au sens où l’élément fini (K; P; Sigma ) est un élément fini de degré k) comme une somme pondérée des résidus totaux de ses sous-éléments de degré 1. La solution discrète ainsi obtenue est en général discontinue à l’interface entre un élément subdivisé et un élément non subdivisé. Ceci contredit l’hypothèse de continuité de la solution qui est utilisée pour démontrer le théorème de Lax-Wendroff discret pour les schémas aux Résidus Distribués. Cependant, on montre que cette hypothèse peut être assouplie. La conséquence pratique est que si l’on emploie des quadratures particulières dans l’implémentation numérique, on peut quand même démontrer le théorème de Lax-Wendroff discret, ce qui garantit la convergence du schéma numérique vers une solution faible des équations d’origine. Les formules qui permettent d’exprimer le résidu total comme une somme pondérée des résidus totaux des sous-éléments sont à la base de la méthode de p-adaptation présentée ici. Dans le cas quadratique, la formule est obtenue avec les classiques fonctions de base de Lagrange en dimension deux et avec des fonctions de base de Bézier en dimension trois. Ces deux formules sont ensuite généralisées à des degrés polynomiaux quelconques en dimension deux et trois avec des fonctions de base de Bézier. Dans la deuxième partie de la thèse, on présente l’application du schéma p-adaptatif aux équations pénalisées de Navier-Stokes avec adaptation de maillage anisotrope. . En pratique, on combine le schéma p-adaptatif avec la méthode IBM-LS-AUM (Immersed Boundary Method with Level Sets and Adapted Unstructured Meshes). La méthode IBM-LS-AUM permet d’imposer les conditions aux bords grâce à la méthode de pénalisation et l’adaptation anisotrope du maillage à la solution numérique et à la level-set augmente la précision de la solution et de la représentation de la surface. Une fois la méthode IBM-LS-AUM combinée avec le schéma p-adaptatif, il est alors possible d’utiliser des éléments d’ordre élevés en-dehors de la zone où la pénalisation est appliquée. La méthode est robuste comme le montrent les diverses expérimentations numériques à des vitesses faibles à élevées et à différents nombres de Reynolds. / This thesis presents the construction of a p-adaptive Residual Distribution scheme for the steady Euler equations and a hp-adaptive Residual Distribution scheme for the steady penalized Navier-Stokes equations in dimension two and three. The Euler and Navier-Stokes equations are recalled along with their non dimensional versions. The basis definitions and properties of the steady Residual Distribution schemes are presented. Then, the construction of a p-adaptive Residual Distribution scheme for the Euler equations is considered. The construction of the p-adaptive scheme is based upon the expression of the total residual of an element of a given degree k (in the Finite Element sense) into the total residuals of its linear sub-elements. The discrete solution obtained with the p-adaptive scheme is then a one degree polynomial in the divided elements and a k-th degree polynomial in the undivided ones. Therefore, the discrete solution is in general discontinuous at the interface between a divided element and an undivided one. This is in apparent contradiction with the continuity assumption used in general to demonstrate the discrete Lax-Wendroff theorem for Residual Distribution schemes. However, as we show in this work, this constrain can be relaxed. The consequence is that if special quadrature formulas are employed in the numerical implementation, the discrete Lax-Wendroff theorem can still be proved, which guaranties the convergence of the p-adaptive scheme to a weak solution of the governing equations. The formulas that express the total residual into the combination of the total residuals of the sub-elements are central to the method. In dimension two, the formula is obtained with the classical Lagrange basis in the quadratic case and with the Bézier basis in dimension three. These two formulas are then generalized to arbitrary polynomial degrees in dimension two and three with a Bézier basis. In the second part of the thesis the application of the p-adaptive scheme to the penalized Navier-Stokes equations with anisotropic mesh adaptation is presented. In practice, the p-adaptive scheme is used with the IBM-LS-AUM (Immersed Boundary Method with Level Sets and Adapted Unstructured Meshes) method. The IBM-LS-AUM allows to impose the boundary conditions with the penalization method and the mesh adaptation to the solution and to the level-set increases the accuracy of the representation of the surface and the solution around walls. When the IBM-LSAUM is combined with the p-adaptive scheme, it is possible to use high-order elements outside the zone where the penalization is applied. The method is robust as shown by the numerical applications at low to large Mach numbers and at different Reynolds in dimension two and three.

Dans cette thèse, notre but est de donner un cadre numérique général pour approcher les solutions des problèmes du transport optimal (TO). L’idée générale est d’introduire une régularisation entropique du problème initial. Le problème régularisé correspond à minimiser une entropie relative par rapport à une mesure de référence donnée. En effet, cela équivaut à trouver la projection d’un couplage par rapport à la divergence de Kullback-Leibler. Cela nous permet d’utiliser l’algorithme de Bregman/Dykstra et de résoudre plusieurs problèmes variationnels liés au TO. Nous nous intéressons particulièrement à la résolution des problèmes du transport optimal multi-marges (TOMM) qui apparaissent dans le cadre de la dynamique des fluides (équations d’Euler incompressible à la Brenier) et de la physique quantique (la théorie de fonctionnelle de la densité ). Dans ces cas, nous montrons que la régularisation entropique joue un rôle plus important que de la simple stabilisation numérique. De plus, nous donnons des résultats concernant l’existence des transports optimaux (par exemple des transports fractals) pour le problème TOMM. / In this thesis we aim at giving a general numerical framework to approximate solutions to optimal transport (OT) problems. The general idea is to introduce an entropic regularization of the initialproblems. The regularized problem corresponds to the minimization of a relative entropy with respect a given reference measure. Indeed, this is equivalent to find the projection of the joint coupling with respect the Kullback-Leibler divergence. This allows us to make use the Bregman/Dykstra’s algorithm and solve several variational problems related to OT. We are especially interested in solving multi-marginal optimal transport problems (MMOT) arising in Physics such as in Fluid Dynamics (e.g. incompressible Euler equations à la Brenier) and in Quantum Physics (e.g. Density Functional Theory). In these cases we show that the entropic regularization plays a more important role than a simple numerical stabilization. Moreover, we also give some important results concerning existence and characterization of optimal transport maps (e.g. fractal maps) for MMOT .