Au cours des 20 dernières années, la théorie du transport optimal s’est revelée être un outil efficace pour étudier le comportement asymptotique dans le cas des équations de diffusion, pour prouver des inégalités fonctionnelles et pour étendre des propriétés géométriques dans des espaces extrêmement généraux comme des espaces métriques mesurés, etc. La condition de courbure-dimension de la théorie Bakry-Emery apparaît comme la pierre angulaire de ces applications. Il suffit de penser au cas le plus simple et le plus important de la distance quadratique de Wasserstein W2 : la contraction du flux de chaleur en W2 caractérise les bornes inférieures uniformes pour la courbure de Ricci ; l’inégalité de Talagrand du transport, comparant W2 à l’entropie relative est impliquée et implique, par l’inégalité HWI, l’inégalité log-Sobolev ; les géodésiques de McCann dans l’espace de Wasserstein (P2(Rn),W2) permettent de prouver des propriétés fonctionnelles importantes comme la convexité, et des inégalités fonctionnelles standards telles que l’isopérymétrie, des propriétés de concentration de mesure, l’inégalité de Prékopa-Leindler et ainsi de suite. Néanmoins, le manque de régularité des plans minimisation nécessite des arguments d’analyse non lisse. Le problème de Schrödinger est un problème de minimisation de l’entropie avec des contraintes marginales et un processus de référence fixes. À partir de la théorie des grandes déviations, lorsque le processus de référence est le mouvement Brownien, sa valeur minimale A converge vers W2 lorsque la température est nulle. Les interpolations entropiques, solutions du problème de Schrödinger, sont caractérisées en termes de semigroupes de Markov, ce qui implique naturellement les calculs Γ2 et la condition de courbure-dimension. Datant des années 1930 et négligé pendant des décennies, le problème de Schrodinger connaît depuis ces dernières années une popularité croissante dans différents domaines, grâce à sa relation avec le transport optimal, à la regularité de ses solutions, et à d’autres propriétés performantes dans des calculs numériques. Le but de ce travail est double. D’abord, nous étudions certaines analogies entre le problème de Schrödinger et le transport optimal fournissant de nouvelles preuves de la formulation duale de Kantorovich et de celle, dynamique, de Benamou-Brenier pour le coût entropique A. Puis, en tant qu’application de ces connexions, nous dérivons certaines propriétés et inégalités fonctionnelles sous des conditions de courbure-dimension. En particulier, nous prouvons la concavité de l’entropie exponentielle le long des interpolations entropiques sous la condition de courbure-dimension CD(0, n) et la régularité du coût entropique le long du flot de la chaleur. Nous donnons également différentes preuves de l’inégalité variationnelle évolutionnaire pour A et de la contraction du flux de la chaleur en A, en retrouvant comme cas limite, les résultats classiques en W2, sous CD(κ,∞) et CD(0, n). Enfin, nous proposons une preuve simple de la propriété de concentration gaussienne via le problème de Schrödinger comme alternative aux arguments classiques tel que l’argument de Marton basé sur le transport optimal / In the past 20 years the optimal transport theory revealed to be an efficient tool to study the asymptotic behavior for diffusion equations, to prove functional inequalities, to extend geometrical properties in extremely general spaces like metric measure spaces, etc. The curvature-dimension of the Bakry-Émery theory appears as the cornerstone of those applications. Just think to the easier and most important case of the quadratic Wasserstein distance W2: contraction of the heat flow in W2 characterizes uniform lower bounds for the Ricci curvature; the transport Talagrand inequality, comparing W2 to the relative entropy is implied and implies via the HWI inequality the log-Sobolev inequality; McCann geodesics in the Wasserstein space (P2(Rn),W2) allow to prove important functional properties like convexity, and standard functional inequalities, such as isoperimetry, measure concentration properties, the Prékopa Leindler inequality and so on. However the lack of regularity of optimal maps, requires non-smooth analysis arguments. The Schrödinger problem is an entropy minimization problem with marginal constraints and a fixed reference process. From the Large deviation theory, when the reference process is driven by the Brownian motion, its minimal value A converges to W2 when the temperature goes to zero. The entropic interpolations, solutions of the Schrödinger problem, are characterized in terms of Markov semigroups, hence computation along them naturally involves Γ2 computations and the curvature-dimension condition. Dating back to the 1930s, and neglected for decades, the Schrödinger problem recently enjoys an increasing popularity in different fields, thanks to this relation to optimal transport, smoothness of solutions and other well performing properties in numerical computations. The aim of this work is twofold. First we study some analogy between the Schrödinger problem and optimal transport providing new proofs of the dual Kantorovich and the dynamic Benamou-Brenier formulations for the entropic cost A. Secondly, as an application of these connections we derive some functional properties and inequalities under curvature-dimensions conditions. In particular, we prove the concavity of the exponential entropy along entropic interpolations under the curvature-dimension condition CD(0, n) and regularity of the entropic cost along the heat flow. We also give different proofs the Evolutionary Variational Inequality for A and contraction of the heat flow in A, recovering as a limit case the classical results in W2, under CD(κ,∞) and also in the flat dimensional case. Finally we propose an easy proof of the Gaussian concentration property via the Schrödinger problem as an alternative to classical arguments as the Marton argument which is based on optimal transport

Le but principal de ce manuscrit est celui de présenter une nouvelle méthode d'interpolation entre des probabilités inspirée du problème de Schrödinger, problème de minimisation entropique ayant des liens très forts avec le transport optimal. À l'aide de solutions au problème de Schrödinger, nous obtenons un schéma d'approximation robuste jusqu'au deuxième ordre et différent de Brenier-McCann qui permet d'établir la formule de dérivation du deuxième ordre le long des géodésiques Wasserstein dans le cadre de espaces RCD* de dimension finie. Cette formule était inconnue même dans le cadre des espaces d'Alexandrov et nous en donnerons quelques applications. La démonstration utilise un ensemble remarquable de nouvelles propriétés pour les solutions au problème de Schrödinger dynamique :- une borne uniforme des densités le long des interpolations entropiques ;- la lipschitzianité uniforme des potentiels de Schrödinger ;- un contrôle L2 uniforme des accélérations. Ces outils sont indispensables pour explorer les informations géométriques encodées par les interpolations entropiques. Les techniques utilisées peuvent aussi être employées pour montrer que la solution visqueuse de l'équation d'Hamilton-Jacobi peut être récupérée à travers une méthode de « vanishing viscosity », comme dans le cas lisse.Dans tout le manuscrit, plusieurs remarques sur l'interprétation physique du problème de Schrödinger seront mises en lumière. Cela pourra aider le lecteur à mieux comprendre les motivations probabilistes et physiques du problème, ainsi qu'à les connecter avec la nature analytique et géométrique de la dissertation. / Main aim of this manuscript is to present a new interpolation technique for probability measures, which is strongly inspired by the Schrödinger problem, an entropy minimization problem deeply related to optimal transport. By means of the solutions to the Schrödinger problem, we build an efficient approximation scheme, robust up to the second order and different from Brenier-McCann's classical one. Such scheme allows us to prove the second order differentiation formula along geodesics in finite-dimensional RCD* spaces. This formula is new even in the context of Alexandrov spaces and we provide some applications.The proof relies on new, even in the smooth setting, estimates concerning entropic interpolations which we believe are interesting on their own. In particular we obtain:- equiboundedness of the densities along the entropic interpolations,- equi-Lipschitz continuity of the Schrödinger potentials,- a uniform weighted L2 control of the Hessian of such potentials. These tools are very useful in the investigation of the geometric information encoded in entropic interpolations. The techniques used in this work can be also used to show that the viscous solution of the Hamilton-Jacobi equation can be obtained via a vanishing viscosity method, in accordance with the smooth case. Throughout the whole manuscript, several remarks on the physical interpretation of the Schrödinger problem are pointed out. Hopefully, this will allow the reader to better understand the physical and probabilistic motivations of the problem as well as to connect them with the analytical and geometric nature of the dissertation.

Dans cette thèse, notre but est de donner un cadre numérique général pour approcher les solutions des problèmes du transport optimal (TO). L’idée générale est d’introduire une régularisation entropique du problème initial. Le problème régularisé correspond à minimiser une entropie relative par rapport à une mesure de référence donnée. En effet, cela équivaut à trouver la projection d’un couplage par rapport à la divergence de Kullback-Leibler. Cela nous permet d’utiliser l’algorithme de Bregman/Dykstra et de résoudre plusieurs problèmes variationnels liés au TO. Nous nous intéressons particulièrement à la résolution des problèmes du transport optimal multi-marges (TOMM) qui apparaissent dans le cadre de la dynamique des fluides (équations d’Euler incompressible à la Brenier) et de la physique quantique (la théorie de fonctionnelle de la densité ). Dans ces cas, nous montrons que la régularisation entropique joue un rôle plus important que de la simple stabilisation numérique. De plus, nous donnons des résultats concernant l’existence des transports optimaux (par exemple des transports fractals) pour le problème TOMM. / In this thesis we aim at giving a general numerical framework to approximate solutions to optimal transport (OT) problems. The general idea is to introduce an entropic regularization of the initialproblems. The regularized problem corresponds to the minimization of a relative entropy with respect a given reference measure. Indeed, this is equivalent to find the projection of the joint coupling with respect the Kullback-Leibler divergence. This allows us to make use the Bregman/Dykstra’s algorithm and solve several variational problems related to OT. We are especially interested in solving multi-marginal optimal transport problems (MMOT) arising in Physics such as in Fluid Dynamics (e.g. incompressible Euler equations à la Brenier) and in Quantum Physics (e.g. Density Functional Theory). In these cases we show that the entropic regularization plays a more important role than a simple numerical stabilization. Moreover, we also give some important results concerning existence and characterization of optimal transport maps (e.g. fractal maps) for MMOT .