Cette thèse porte sur le phénomène de superconcentration qui apparaît dans l'étude des fluctuations de divers modèles de la recherche actuelle (matrices aléatoires, verres de spins, champ libre gaussien discret, percolation,...). Plus particulièrement, la thèse est consacrée à l'examen d'inégalités de superconcentration à l'échelle exponentielle ; notamment pour des supremum de familles gaussiennes. Les outils mis en œuvre comprennent la propriété d'hypercontractivité de semi-groupes de Markov. Par ailleurs, celle-ci a conduit à une version d'ordre supérieur d'une inégalité sur la variance de M. Talagrand. La première partie de la thèse présente brièvement les notions essentielles de la théorie classique de la concentration de la mesure ainsi que les principaux outils, à savoir : méthodes d'interpolations à l'aide de semi-groupes markoviens, inégalités fonctionnelles, transport optimal et isopérimétrie. Un survol de la littérature existante est ensuite proposé. La deuxième partie du manuscrit rassemble, dans différents chapitres, les travaux que nous avons effectués durant cette thèse. Une grande partie de ceux-ci repose sur la représentation dynamique de la variance le long du semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck et sa propriété d'hypercontractivité. De nouvelles inégalités de superconcentration sont obtenues au niveau exponentiel et illustrées sur des exemples provenant de la théorie des extrêmes. Le cadre de l'hypercontractivité a également conduit à une nouvelle inégalité sur le cube discret, celle-ci permettant une application sur l'influence d'ordre deux de fonctions booléennes. Enfin, le dernier chapitre aborde la phénomène de superconcentration par le transport optimal. Des majorations de la variance et des inégalités de déviations non asymptotiques pour le maximum de variables aléatoires indépendantes et de même loi sont obtenues. A nouveau, des illustrations pour des lois usuelles, appartenant aux différents domaines d'attraction de la théorie des extrêmes, sont proposées / The thesis focuses on the superconcentration phenomenon which appears in the study of the fluctuations of various moelds from current research (random matrices, spin glasses, discrete Gaussien free field, percolation,...). More precisely, the thesis mainly deals with superconcentration inequalities at an exponentiel level ; in particular for supremum of familu of Gaussian random variables. The principal tools used during this study are the hypercontractive property satisfied by some Markov semi-groups ; this approach leads to an extension of higher order of an inequality due to M. Talagrand. The first part of the thesis exposes the fundamental notions of concentration of measure, interpolation methods with Markovians semi-groups, functional inequalities, optimal transport and isoperimetry. Then, a survey of the literature concerning superconcentration phenomenon is done. The second part of the manuscript bring together, in different chapters, the results obtained during the thesis. Most of them are based on the dynamical representation of the variance along the semi-group of Ornstein-Uhlenbeck and its hypercontractive property. New ineqaulities are obtained at an exponential level and are illustrated on examples coming from extreme theory. This hypercontractive framework also gave birth to a new inequality on the discrete cube which leads to an application on the influence of second order of boolean functions. Finally, the last chapter is about the superconcentration phenomenon with an optimal transport approach. Some non asymptotic bounds on the variance and deviations inequalities are obtained for the maximum of an i.i.d. sample. Again, illustrations for usual laws of probability, belonging to different domain of attraction from extreme theory, are given.

Ce travail est consacré à l'étude du comportement en temps grand d'équations aux dérivées partielles de type parabolique. Plus particulièrement, on s'intéresse à des équations non linéaires de type diffusion, qui interviennent dans de nombreux modèles issus de la physique (par exemple l'équation des milieux poreux) ou de la biologie (par exemple le modèle de Patlak-Keller-Segel pour la chimiotaxie). Dans les chapitres I et II on s'intéresse à une amélioration de l'inégalité de Sobolev à travers son inégalité duale, l'inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev, dans le cadre du laplacien ordinaire et du laplacien fractionnaire, respectivement. Le chapitre III est un passage en revue de l'inégalité d'Onofri, qui joue le rôle de l'inégalité de Sobolev pour la dimension deux. De nouveaux résultats sont apportés, dont certains sont étendus aux variétés riemanniennes au chapitre IV. Enfin, le chapitre V traite des états stationnaires de deux modèles paraboliques, utilisés pour l'étude du déplacement de foules et la modélisation en biologie (chimiotaxie). / This work is dedicated to the study of the large time behaviour of some parabolic type partial differential equations. More specifically, we look into non linear diffusion equations that appear in a number of models arising in physics (e.g. the porous medium equation) or biology (e.g. the Patlak-Keller-Segel model for chemotaxis)Chapters I and II deal with an improved Sobolev inequality by means of its dual, the Hardy-Littlewood-Sobolev inequality, in the framework of the standard and fractional Laplacian, respectively. Chapter III is a review of the Onofri inequality,which acts as the Sobolev inequality for dimension two. New results are provided, and some of them are extended to Riemannian manifolds in Chapter IV. Finally, Chapter V deals with the stationary states of two parabolic models, used for thestudy of crowd motion and modeling in biologie (chemotaxis).

Nous présentons des inégalités fonctionnelles pour les processus ponctuels. Nous prouvons une inégalité de Sobolev logarithmique modifiée, une inégalité de Stein et un théorème du moment quatrième sans terme de reste pour une classe de processus ponctuels qui contient les processus binomiaux et les processus de Poisson. Les preuves reposent sur des techniques inspirées de l'approche de Malliavin-Stein et du calcul avec l'opérateur $Gamma$ de Bakry-Émery. Pour mettre en œuvre ces techniques nous développons une analyse stochastique pour les processus ponctuels. Plus généralement, nous mettons au point une théorie d'analyse stochastique sans hypothèse de diffusion. Dans le cadre des processus de Poisson ponctuels, l'inégalité de Stein est généralisée pour étudier la convergence stable vers des limites conditionnellement gaussiennes. Nous appliquons ces résultats pour approcher des processus Gaussiens par des processus de Poisson composés et pour étudier des graphes aléatoires. Nous discutons d'inégalités de transport et de leur conséquence en termes de concentration de la mesure pour les processus binomiaux dont la taille de l'échantillon est aléatoire. Sur un espace métrique mesuré quelconque, nous présentons un développement de la concentration de la mesure qui prend en compte l'agrandissement parallèle d'ensembles disjoints. Cette concentration améliorée donne un contrôle de toutes les valeurs propres du Laplacien métrique. Nous discutons des liens de cette nouvelle notion avec une version de la courbure de Ricci qui fait intervenir le transport à plusieurs marginales / We present functional inequalities and limit theorems for point processes. We prove a modified logarithmic Sobolev inequalities, a Stein inequality and a exact fourth moment theorem for a large class of point processes including mixed binomial processes and Poisson point processes. The proofs of these inequalities are inspired by the Malliavin-Stein approach and the $Gamma$-calculus of Bakry-Emery. The implementation of these techniques requires a development of a stochastic analysis for point processes. As point processes are essentially discrete, we design a theory to study non-diffusive random objects. For Poisson point processes, we extend the Stein inequality to study stable convergence with respect to limits that are conditionally Gaussian. Applications to Poisson approximations of Gaussian processes and random geometry are given. We discuss transport inequalities for mixed binomial processes and their consequences in terms of concentration of measure. On a generic metric measured space, we present a refinement of the notion of concentration of measure that takes into account the parallel enlargement of distinct sets. We link this notion of improved concentration with the eigenvalues of the metric Laplacian and with a version of the Ricci curvature based on multi-marginal optimal transport

Au cours des 20 dernières années, la théorie du transport optimal s’est revelée être un outil efficace pour étudier le comportement asymptotique dans le cas des équations de diffusion, pour prouver des inégalités fonctionnelles et pour étendre des propriétés géométriques dans des espaces extrêmement généraux comme des espaces métriques mesurés, etc. La condition de courbure-dimension de la théorie Bakry-Emery apparaît comme la pierre angulaire de ces applications. Il suffit de penser au cas le plus simple et le plus important de la distance quadratique de Wasserstein W2 : la contraction du flux de chaleur en W2 caractérise les bornes inférieures uniformes pour la courbure de Ricci ; l’inégalité de Talagrand du transport, comparant W2 à l’entropie relative est impliquée et implique, par l’inégalité HWI, l’inégalité log-Sobolev ; les géodésiques de McCann dans l’espace de Wasserstein (P2(Rn),W2) permettent de prouver des propriétés fonctionnelles importantes comme la convexité, et des inégalités fonctionnelles standards telles que l’isopérymétrie, des propriétés de concentration de mesure, l’inégalité de Prékopa-Leindler et ainsi de suite. Néanmoins, le manque de régularité des plans minimisation nécessite des arguments d’analyse non lisse. Le problème de Schrödinger est un problème de minimisation de l’entropie avec des contraintes marginales et un processus de référence fixes. À partir de la théorie des grandes déviations, lorsque le processus de référence est le mouvement Brownien, sa valeur minimale A converge vers W2 lorsque la température est nulle. Les interpolations entropiques, solutions du problème de Schrödinger, sont caractérisées en termes de semigroupes de Markov, ce qui implique naturellement les calculs Γ2 et la condition de courbure-dimension. Datant des années 1930 et négligé pendant des décennies, le problème de Schrodinger connaît depuis ces dernières années une popularité croissante dans différents domaines, grâce à sa relation avec le transport optimal, à la regularité de ses solutions, et à d’autres propriétés performantes dans des calculs numériques. Le but de ce travail est double. D’abord, nous étudions certaines analogies entre le problème de Schrödinger et le transport optimal fournissant de nouvelles preuves de la formulation duale de Kantorovich et de celle, dynamique, de Benamou-Brenier pour le coût entropique A. Puis, en tant qu’application de ces connexions, nous dérivons certaines propriétés et inégalités fonctionnelles sous des conditions de courbure-dimension. En particulier, nous prouvons la concavité de l’entropie exponentielle le long des interpolations entropiques sous la condition de courbure-dimension CD(0, n) et la régularité du coût entropique le long du flot de la chaleur. Nous donnons également différentes preuves de l’inégalité variationnelle évolutionnaire pour A et de la contraction du flux de la chaleur en A, en retrouvant comme cas limite, les résultats classiques en W2, sous CD(κ,∞) et CD(0, n). Enfin, nous proposons une preuve simple de la propriété de concentration gaussienne via le problème de Schrödinger comme alternative aux arguments classiques tel que l’argument de Marton basé sur le transport optimal / In the past 20 years the optimal transport theory revealed to be an efficient tool to study the asymptotic behavior for diffusion equations, to prove functional inequalities, to extend geometrical properties in extremely general spaces like metric measure spaces, etc. The curvature-dimension of the Bakry-Émery theory appears as the cornerstone of those applications. Just think to the easier and most important case of the quadratic Wasserstein distance W2: contraction of the heat flow in W2 characterizes uniform lower bounds for the Ricci curvature; the transport Talagrand inequality, comparing W2 to the relative entropy is implied and implies via the HWI inequality the log-Sobolev inequality; McCann geodesics in the Wasserstein space (P2(Rn),W2) allow to prove important functional properties like convexity, and standard functional inequalities, such as isoperimetry, measure concentration properties, the Prékopa Leindler inequality and so on. However the lack of regularity of optimal maps, requires non-smooth analysis arguments. The Schrödinger problem is an entropy minimization problem with marginal constraints and a fixed reference process. From the Large deviation theory, when the reference process is driven by the Brownian motion, its minimal value A converges to W2 when the temperature goes to zero. The entropic interpolations, solutions of the Schrödinger problem, are characterized in terms of Markov semigroups, hence computation along them naturally involves Γ2 computations and the curvature-dimension condition. Dating back to the 1930s, and neglected for decades, the Schrödinger problem recently enjoys an increasing popularity in different fields, thanks to this relation to optimal transport, smoothness of solutions and other well performing properties in numerical computations. The aim of this work is twofold. First we study some analogy between the Schrödinger problem and optimal transport providing new proofs of the dual Kantorovich and the dynamic Benamou-Brenier formulations for the entropic cost A. Secondly, as an application of these connections we derive some functional properties and inequalities under curvature-dimensions conditions. In particular, we prove the concavity of the exponential entropy along entropic interpolations under the curvature-dimension condition CD(0, n) and regularity of the entropic cost along the heat flow. We also give different proofs the Evolutionary Variational Inequality for A and contraction of the heat flow in A, recovering as a limit case the classical results in W2, under CD(κ,∞) and also in the flat dimensional case. Finally we propose an easy proof of the Gaussian concentration property via the Schrödinger problem as an alternative to classical arguments as the Marton argument which is based on optimal transport

Le but principal de ce manuscrit est celui de présenter une nouvelle méthode d'interpolation entre des probabilités inspirée du problème de Schrödinger, problème de minimisation entropique ayant des liens très forts avec le transport optimal. À l'aide de solutions au problème de Schrödinger, nous obtenons un schéma d'approximation robuste jusqu'au deuxième ordre et différent de Brenier-McCann qui permet d'établir la formule de dérivation du deuxième ordre le long des géodésiques Wasserstein dans le cadre de espaces RCD* de dimension finie. Cette formule était inconnue même dans le cadre des espaces d'Alexandrov et nous en donnerons quelques applications. La démonstration utilise un ensemble remarquable de nouvelles propriétés pour les solutions au problème de Schrödinger dynamique :- une borne uniforme des densités le long des interpolations entropiques ;- la lipschitzianité uniforme des potentiels de Schrödinger ;- un contrôle L2 uniforme des accélérations. Ces outils sont indispensables pour explorer les informations géométriques encodées par les interpolations entropiques. Les techniques utilisées peuvent aussi être employées pour montrer que la solution visqueuse de l'équation d'Hamilton-Jacobi peut être récupérée à travers une méthode de « vanishing viscosity », comme dans le cas lisse.Dans tout le manuscrit, plusieurs remarques sur l'interprétation physique du problème de Schrödinger seront mises en lumière. Cela pourra aider le lecteur à mieux comprendre les motivations probabilistes et physiques du problème, ainsi qu'à les connecter avec la nature analytique et géométrique de la dissertation. / Main aim of this manuscript is to present a new interpolation technique for probability measures, which is strongly inspired by the Schrödinger problem, an entropy minimization problem deeply related to optimal transport. By means of the solutions to the Schrödinger problem, we build an efficient approximation scheme, robust up to the second order and different from Brenier-McCann's classical one. Such scheme allows us to prove the second order differentiation formula along geodesics in finite-dimensional RCD* spaces. This formula is new even in the context of Alexandrov spaces and we provide some applications.The proof relies on new, even in the smooth setting, estimates concerning entropic interpolations which we believe are interesting on their own. In particular we obtain:- equiboundedness of the densities along the entropic interpolations,- equi-Lipschitz continuity of the Schrödinger potentials,- a uniform weighted L2 control of the Hessian of such potentials. These tools are very useful in the investigation of the geometric information encoded in entropic interpolations. The techniques used in this work can be also used to show that the viscous solution of the Hamilton-Jacobi equation can be obtained via a vanishing viscosity method, in accordance with the smooth case. Throughout the whole manuscript, several remarks on the physical interpretation of the Schrödinger problem are pointed out. Hopefully, this will allow the reader to better understand the physical and probabilistic motivations of the problem as well as to connect them with the analytical and geometric nature of the dissertation.

Le problème isopérimétrique consiste, dans un espace métrique mesuré, à trouver les ensembles qui, à volume fixé, ont la plus petite mesure de surface. Il peut être formulé dans de nombreux cadres (espaces métriques mesurés généraux, variétés riemanniennes à poids, parties de l'espace euclidien...). Deux questions se dégagent de ce problème : - Quels sont les ensembles solutions, c'est-à-dire ayant la plus petite mesure de surface ? (Il faut noter que ces ensembles n'existent pas toujours). - Que vaut la plus petite mesure de surface ? La solution à la deuxième question peut être formulée sous la forme d'une fonction, appelée profil isopérimétrique, qui, à une valeur de volume (pondéré) donnée, associe la plus petite mesure de surface correspondante. La notion de mesure de surface, quant à elle, peut être définie de plusieurs manières (contenu de Minkowski, périmètre géométrique...), toutes dépendant étroitement à la fois de la distance et de la mesure ambiantes. L'objet principal de cette thèse est l'étude du problème isopérimétrique dans des espaces produits, que ce soit pour transférer des inégalités isopérimétriques d'espaces facteurs vers ces produits, ou pour comparer le profil isopérimétrique de l'espace produit à ceux des facteurs. La thèse se découpe en quatre parties : - Étude de l'opération de symétrisation (pour les ensembles) et de réarrangement (pour les fonctions), notions analogues, du point de vue de la théorie de la mesure géométrique et des fonctions à variations bornée. Ces opérations agissent de sorte à ce que n'augmente pas la mesure de surface (pour les ensembles), ou la variation (pour les fonctions). Nous introduisons notamment une nouvelle classe d'espaces modèles, pour lesquels nous obtenons des résultats qualitativement similaires à ceux obtenus pour les espaces modèles classiques : inégalités isopérimétriques transférées aux produits, comparaison d'énergies (pour des fonctionnelles convexes). - Détail d'un argument de minoration du profil isopérimétrique d'un espace métrique produit XxY par une fonction dépendant des profils de X et Y, pour une large classe de distances produits sur XxY. L'étude de ce problème est faite via la minimisation d'une fonctionnelle sur la classe des mesures de Radon. - Étude du problème isopérimétrique dans un espace métrique mesuré produit (le produit d'ordre quelconque du même espace métrique mesuré), muni de la combinaison uniforme de sa distance (élargissement uniforme). Nous donnons un critère pour que tous les profils isopérimétriques (quel que soit l'ordre d'itération du produit) soient minorés par un multiple du minorant du profil isopérimétrique de l'espace originel. Ceci est fait en utilisant notamment des méthodes ayant trait aux inégalités fonctionnelles. Nous appliquons ensuite les résultats aux influences géométriques. - Étude d'inégalités fonctionnelles dites isopérimétriques, permettant d'appréhender le comportement isopérimétrique dans l'espace produit correspondant d'ordre quelconque. Nous résumons l'état des connaissances à propos des inégalités de ce type et proposons une autre méthode qui pourrait aboutir à prouver une telle inégalité dans le cas de mesures réelles particulières, pour lesquelles le problème est ouvert. / The isoperimetric problem in a metric measured space consists in finding the sets having minimal boundary measure, with prescribed volume. It can be formulated in various settings (general metric measured spaces, Riemannian manifolds, submanifolds of the Euclidean space, ...). At this point, two questions arise : - What are the optimal sets, namely the sets having smallest boundary measure (it has to be said that they do not always exist) ? - What is the smallest boundary measure ? The solution to the second answer can be expressed by a function called the isoperimetric profile. This function maps a value of (prescribed) measure onto the corresponding smallest boundary measure. As for the precise notion of boundary measure, it can be defined in different ways (Minkowski content, geometric perimeter, ...), all of them closely linked to the ambient distance and measure. The main object of this thesis is the study of the isoperimetric problem in product spaces, in order to transfer isoperimetric inequalities from factor spaces to the product spaces, or to compare their isoperimetric profiles. The thesis is divided into four parts : - Study of the symmetrization operation (for sets) and the rearrangement operation (for functions), analogous notions, from the point of view of Geometric Measure Theory and Bounded Variation functions. These operations cause the boundary measure to decrease (for sets), or the variation (for functions). We introduce a new class of model spaces, for which we obtain similar results to those concerning classic model spaces : transfer of isoperimetric inequalities to the product spaces, energy comparison (for convex functionals). - Detailed proof of an argument of minorization of the isoperimetric profile of a metric measured product space XxY by a function depending on the profiles of X and Y, for a wide class of product distances over XxY. The study of this problem uses the minimization of a functional defined on Radon measures class. - Study of the isoperimetric problem in a metric measured space (n times the same space) equipped with the uniform combination of its distance (uniform enlargement). We give a condition under which every isoperimetric profile (whatever the order of iteration might be) is bounded from below by a quantity which is proportional to the isoperimetric profile of the underlying space. We then apply the result to geometric influences. - Study of isoperimetric functional inequalities, which give information about the isoperimetric behavior of the product spaces. We give an overview of the results about this kind of inequalities, and suggest a method to prove such an inequality in a particular case of real measures for which the problem reamins open.

L'objet de cette thèse est l'étude de certaines propriétés analytiques et asymptotiques des processus de Markov, et de leurs applications à la méthode de Stein. Le point de vue considéré consiste à déployer des inégalités fonctionnelles pour majorer la distance entre lois de probabilité. La première partie porte sur l'étude asymptotique de processus de Markov inhomogènes en temps via des inégalités de type Poincaré, établies par l'analyse spectrale fine de l'opérateur de transition. On se place d'abord dans le cadre du théorème central limite, qui affirme que la somme renormalisée de variables aléatoires converge vers la mesure gaussienne, et l'étude est consacrée à l'obtention d'une borne à la Berry-Esseen permettant de quantifier cette convergence. La distance choisie est une quantité naturelle et encore non étudiée dans ce cadre, la distance du chi-2, complétant ainsi la littérature relative à d'autres distances (Kolmogorov, variation totale, Wasserstein). Toujours dans le contexte non-homogène, on s'intéresse ensuite à un processus peu mélangeant relié à un algorithme stochastique de recherche de médiane. Ce processus évolue par sauts de deux types (droite ou gauche), dont la taille et l'intensité dépendent du temps. Une majoration de la distance de Wasserstein d'ordre 1 entre la loi du processus et la mesure gaussienne est établie dans le cas où celle-ci est invariante sous la dynamique considérée, et étendue à des exemples où seule la normalité asymptotique est vérifiée. La seconde partie s'attache à l'étude des entrelacements entre processus de Markov (homogènes) et gradients, qu'on peut interpréter comme un raffinement du critère de Bakry-Emery, et leur application à la méthode de Stein, qui est un ensemble de techniques permettant de majorer la distance entre deux mesures de probabilité. On prouve l'existence de relations d'entrelacement du second ordre pour les processus de naissance-mort, allant ainsi plus loin que les relations du premier ordre connues. Ces relations sont mises à profit pour construire une méthode originale et universelle d'évaluation des facteurs de Stein relatifs aux mesures de probabilité discrètes, qui forment une composante essentielle de la méthode de Stein-Chen. / The object of this thesis is the study of some analytical and asymptotic properties of Markov processes, and their applications to Stein's method. The point of view consists in the development of functional inequalities in order to obtain upper-bounds on the distance between probability distributions. The first part is devoted to the asymptotic study of time-inhomogeneous Markov processes through Poincaré-like inequalities, established by precise estimates on the spectrum of the transition operator. The first investigation takes place within the framework of the Central Limit Theorem, which states the convergence of the renormalized sum of random variables towards the normal distribution. It results in the statement of a Berry-Esseen bound allowing to quantify this convergence with respect to the chi-2 distance, a natural quantity which had not been investigated in this setting. It therefore extends similar results relative to other distances (Kolmogorov, total variation, Wasserstein). Keeping with the non-homogeneous framework, we consider a weakly mixing process linked to a stochastic algorithm for median approximation. This process evolves by jumps of two sorts (to the right or to the left) with time-dependent size and intensity. An upper-bound on the Wasserstein distance of order 1 between the marginal distribution of the process and the normal distribution is provided when the latter is invariant under the dynamic, and extended to examples where only the asymptotic normality stands. The second part concerns intertwining relations between (homogeneous) Markov processes and gradients, which can be seen as refinment of the Bakry-Emery criterion, and their application to Stein's method, a collection of techniques to estimate the distance between two probability distributions. Second order intertwinings for birth-death processes are stated, going one step further than the existing first order relations. These relations are then exploited to construct an original and universal method of evaluation of discrete Stein's factors, a key component of Stein-Chen's method.

Cette thèse est dédiée au développement et à l’analyse de schémas numériques de type volumes finis pour des équations de convection-diffusion, qui apparaissent notamment dans des modèles issus de la physique ou de la biologie. Nous nous intéressons plus particulièrement à la préservation de comportements asymptotiques au niveau discret. Ce travail s’articule en trois parties, composées chacune de deux chapitres. Dans la première partie, nous considérons la discrétisation du système de dérive diffusion linéaire pour les semi-conducteurs par le schéma de Scharfetter-Gummel implicite en temps. Nous nous intéressons à la préservation par ce schéma de deux types d’asymptotiques : l’asymptotique en temps long et la limite quasi-neutre. Nous démontrons des estimations d’énergie–dissipation d’énergie discrètes qui permettent de prouver d’une part la convergence en temps long de la solution approchée vers une approximation de l’équilibre thermique, d’autre part la stabilité à la limite quasi-neutre du schéma. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à des schémas volumes finis préservant l’asymptotique en temps long dans un cadre plus général. Plus précisément, nous considérons des équations de type convection-diffusion non linéaires qui apparaissent dans plusieurs contextes physiques : équations des milieux poreux, système de dérive-diffusion pour les semi-conducteurs... Nous proposons deux discrétisations en espace permettant de préserver le comportement en temps long des solutions approchées. Dans un premier temps, nous étendons la définition du flux de Scharfetter-Gummel pour une diffusion non linéaire. Ce schéma fournit des résultats numériques satisfaisants si la diffusion ne dégénère pas. Dans un second temps, nous proposons une discrétisation dans laquelle nous prenons en compte ensemble les termes de convection et de diffusion, en réécrivant le flux sous la forme d’un flux d’advection. Le flux numérique est défini de telle sorte que les états d’équilibre soient préservés, et nous utilisons une méthode de limiteurs de pente pour obtenir un schéma précis à l’ordre deux en espace, même dans le cas dégénéré. Enfin, la troisième et dernière partie est consacrée à l’étude d’un schéma numérique pour un modèle de chimiotactisme avec diffusion croisée pour lequel les solutions n’explosent pas en temps fini, quelles que soient les données initiales. L’étude de la convergence du schéma repose sur une estimation d’entropie discrète nécessitant l’utilisation de versions discrètes d’inégalités fonctionnelles telles que les inégalités de Poincaré-Sobolev et de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev. La démonstration de ces inégalités fait l’objet d’un chapitre indépendant dans lequel nous proposons leur étude dans un contexte assez général, incluant notamment le cas de conditions aux limites mixtes et une généralisation au cadre des schémas DDFV. / This dissertation is dedicated to the development and analysis of finite volume numericals chemes for convection-diffusion equations, which notably occur in models arising from physics and biology. We are more particularly interested in preserving asymptotic behavior at the discrete level. This dissertation is composed of three parts, each one including two chapters. In the first part, we consider the discretization of the linear drift-diffusion system for semiconductors with the implicit Scharfetter-Gummel scheme. We focus on preserving two kinds of asymptotics with this scheme : the long-time asymptotic and the quasineutral limit. We show discrete energy–energy dissipation estimates which constitute the main point to prove first the large time convergence of the approximate solution to an approximation of the thermal equilibrium, and then the stability at the quasineutral limit. In the second part, we are interested in designing finite volume schemes which preserve the long time behavior in a more general framework. More precisely, we consider nonlinear convection-diffusion equations arising in various physical models : porous media equation, drift-diffusion system for semiconductors... We propose two spatial discretizations which preserve the long time behavior of the approximate solutions. We first generalize the Scharfetter-Gummel flux for a nonlinear diffusion. This scheme provides satisfying numerical results if the diffusion term does not degenerate. Then we propose a discretization which takes into account together the convection and diffusion terms by rewriting the flux as an advective flux. The numerical flux is then defined in such a way that equilibrium states are preserved, and we use a slope limiters method so as to obtain second order space accuracy, even in the degenerate case. Finally, the third part is devoted to the study of a numerical scheme for a chemotaxis model with cross diffusion, for which the solutions do not blow up in finite time, even for large initial data. The proof of convergence is based on a discrete entropy estimate which requires the use of discrete functional inequalities such as Poincaré-Sobolev and Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequalities. The demonstration of these inequalities is the subject of an independent chapter in which we propose a study in quite a general framework, including mixed boundary conditions and generalization to DDFV schemes.

This thesis consists of three parts: The first and second parts focus on long-time asymptotics of macroscopic and kinetic models respectively, while in the third part we connect these regimes using different scaling approaches. (1) Keller–Segel-type aggregation-diffusion equations: We study a Keller–Segel-type model with non-linear power-law diffusion and non-local particle interaction: Does the system admit equilibria? If yes, are they unique? Which solutions converge to them? Can we determine an explicit rate of convergence? To answer these questions, we make use of the special gradient flow structure of the equation and its associated free energy functional for which the overall convexity properties are not known. Special cases of this family of models have been investigated in previous works, and this part of the thesis represents a contribution towards a complete characterisation of the asymptotic behaviour of solutions. (2) Hypocoercivity techniques for a fibre lay-down model: We show existence and uniqueness of a stationary state for a kinetic Fokker-Planck equation modelling the fibre lay-down process in non-woven textile production. Further, we prove convergence to equilibrium with an explicit rate. This part of the thesis is an extension of previous work which considered the case of a stationary conveyor belt. Adding the movement of the belt, the global equilibrium state is not known explicitly and a more general hypocoercivity estimate is needed. Although we focus here on a particular application, this approach can be used for any equation with a similar structure as long as it can be understood as a certain perturbation of a system for which the global Gibbs state is known. (3) Scaling approaches for collective animal behaviour models: We study the multi-scale aspects of self-organised biological aggregations using various scaling techniques. Not many previous studies investigate how the dynamics of the initial models are preserved via these scalings. Firstly, we consider two scaling approaches (parabolic and grazing collision limits) that can be used to reduce a class of non-local kinetic 1D and 2D models to simpler models existing in the literature. Secondly, we investigate how some of the kinetic spatio-temporal patterns are preserved via these scalings using asymptotic preserving numerical methods.