The first part of this thesis is devoted to symmetrizations. Symmetrizations are tranformations of functions that preserve many properties of functions and enhance their symmetry. In the calculus of variation they are a simple and powerful tool to prove that minimizers of functionals are symmetric functions. In this work, the approximation of symmetrizations by simpler symmetrizations is investigated: The existence of a universal approximating sequence is proved, sufficient conditions for deterministic and random sequences to be approximating are given. These approximation methods are then used to prove some symmetry properties of critical points obtained by minimax methods: For example if there is a solution obtained by the mountain pass theorem, then there is a symmetric solution with the same energy. This part ends with a study of the properties of anisotropic symmetrizations i.e. symmetrizations performed with respect to noneuclidean norms. The second part is devoted to L^1 estimates.  In general, the second derivative of the solution of the Poisson equation with L^1 data fails to be in L^1. Recently it was proved that if the data is a L^1 divergence-free vector-field, then even if in general it is false that the second derivative of the solution is in L^1, all the consequences thereof by Sobolev embeddings hold. Elementary proofs of such results, as well as a generalization with a second order operator replacing the divergence, are given. / La première partie de cette thèse est consacrée aux symétrisations. Les symétrisations sont des transformations de fonctions qui préservent de nombreuses propriétés des fonctions et qui améliorent leur symétrie. Elles sont un outil simple et puissant pour montrer dans le calcul des variations que les minimiseurs de certaines fonctionnelles sont des fonctions symétriques. Dans ce travail, nous étudions l'approximation des symétrisations par des symétrisations plus simples. Nous prouvons l'existence d'une suite approximante universelle et nous donnons des conditions suffisantes pour que des suites déterministes et aléatoires soient approximantes. Nous utilisons ensuite ces méthodes d'approximation pour prouver des propriétés de symétrie de points critiques obtenus par des méthodes de minimax. Par exemple, s'il y a une solution obtenue par le théorème du col, alors il y a une solution symétrique de même énergie. Nous achevons cette partie par une étude des symétrisations anisotropes (symétrisations par rapport à des normes non euclidiennes). La seconde partie est consacrée aux estimations L^1. En général, les dérivées secondes de la solution de l'équation de Poisson avec des données L^1 ne sont pas dans L^1. Recemment, on a prouvé que si les données sont un champ de vecteurs L^1 à divergence nulle, même si en général les dérivées secondes ne sont toujours pas dans L^1, toutes les conséquences qui en suivraient par les injections de Sobolev sont vraies. Nous donnons des preuves élémentaires de ces résultats, avec une extension où la divergence est remplacée par un opérateur différentiel du second ordre.

La détermination de la structure des protéines à une résolution atomique est cruciale pour la compréhension de leur fonction cellulaire. Actuellement, la cristallographie aux rayons X est la méthode la plus efficace pour la détermination à haute résolution de la structure de protéines monomériques allant 40 et 100 kDa. Par contre, elle est limitée par la croissance de cristaux de bonne qualité, qui est problématique pour nombreuses cibles. La cryo-microscopie électronique (cryoME) permet la détermination structurale à résolution quasi-atomique de larges structures protéiques, de préférence symétrique et en solution. Cependant, les images de cryoME sont très bruitées, car une faible dose d'électrons est appliquée de manière à limiter les dommages d'irradiation. En moyennant des dizaines d'images correspondant à la même orientation moléculaire, le rapport signal sur bruit est amélioré. La combinaison des images moyennées de plusieurs orientations permet l'obtention d'une carte de densité électronique 3D de la molécule d'intérêt. Si la taille et la symétrie de la molécule diminuent, l'analyse cryoME devient de moins en moins précise, il est alors impossible d'analyser des protéines monomériques de taille inférieure à 100 kDa. Le but de ce travail a été de développer une nouvelle approche pour réduire cette limite de poids moléculaire. Elle consiste à fusionner la protéine d'intérêt (cible) à une matrice homo-oligomérique, générant une particule symétrique et de taille importante adaptée à l'analyse par cryoME. Dans cette thèse, nous avons cherché à tester et démontrer la faisabilité de cette approche de symétrisation en utilisant des protéines cibles de structure connue.Pour mettre en place notre étude pilote, nous avons choisi différentes combinaisons de cibles et de matrices connectées par des peptides de liaison (linker) de longueur différentes. Nous avons caractérisé les fusions exprimées en bactéries par microscopie électronique après coloration négative et par plusieurs techniques biophysiques. Grace à ces techniques, nous avons trouvé que la meilleure combinaison est la fusion entre la protéine matrice glutamine synthétase (GS), un 12-mer de symétrie D6 et la cible maltose binding protein (Mbp), connectées par un linker contenant trois alanines, que nous avons appelée « Mag ». En jouant sur la longueur du linker nous avons ensuite sélectionné la fusion la plus compacte pour l'analyse cryoME: MagΔ5. Nous avons obtenu la carte cryoME à 10 Å de MagΔ5, qui présente une bonne corrélation avec les modèles atomiques de Mbp et GS. Plus particulièrement, le site catalytique et quelques hélices α sont identifiables. Ces résultats sont confirmés par l'étude cristallographique que nous avons conduite sur MagΔ5. L'ensemble de ce travail souligne que la présence d'une grande interface d'interactions cible-matrice stabilise la fusion et améliore la résolution en cryoME. Pour la symétrisation d'une cible inconnue, nous envisageons la même procédure expérimentale que celle développée pour MagΔ5. La matrice et le linker les plus adaptés devront être identifiés en utilisant les mêmes méthodes biophysiques.En conclusion, ce travail établit la preuve de concept que la méthode de symétrisation des protéines permet la détermination de la structure de protéines de poids moléculaire inférieur à 100 kDa par cryoME. Cette méthode a le potentiel d'être un nouvel outil prometteur, qui faciliterait l'analyse de cibles résistantes à l'analyse structurale conventionnelle. / Structural determination of proteins at atomic level resolution is crucial for unravelling their function. X-ray crystallography has successfully been used to determine macromolecular structures with sizes ranging from kDa to MDa, and currently remains the most efficient method for the high-resolution structure determination of monomeric proteins within the 40-100 kDa range. However, this method is limited by the ability to grow well diffracting crystals, which is problematic for several targets, such as membrane proteins. Single particle cryo electron microscopy (cryoEM) allows near atomic (3-4Å) resolution structural determination of large, preferably symmetric, assemblies in solution. Biological molecules scatter electrons weakly and, to avoid radiation damage, only low electron doses can be used during imaging. Consequently, raw cryoEM images are extremely noisy. However, averaging many molecular images aligned in the same orientation permits one to increase the signal-to-noise ratio, ultimately allowing the achievement of a 3D density map of the molecule of interest. Nevertheless, as the molecular size and degree of symmetry decrease, the individual images loose adequate features for accurate alignment. Currently, cryoEM analysis is practically impossible for monomeric proteins below ~100 kDa in mass. We propose to circumvent this obstacle by fusing such monomeric target proteins to a homo-oligomeric protein (template), thereby generating a self-assembling particle whose large size and symmetry should facilitate cryoEM analysis. In the present thesis we seek to test and demonstrate the feasibility of this ‘protein symmetrization' approach and to evaluate its usefulness for protein structure determination. To set up the pilot study we combined selected targets of known structure with two templates: Glutamine Synthetase (GS), a 12-mer with D6 symmetry and a helical N-terminus, and the E2 subunit of the pyruvate dehydrogenase complex, a 60-mer with icosahedral symmetry and an unstructured N-terminus. After recombinant production in E.coli we identified by negative stain EM a promising dodecameric chimera for structural analysis, comprising maltose binding protein (Mbp) connected to GS by a tri-alanine linker (denoted “Mag”). In order to optimize sample homogeneity we produced a panel of Mag deletion constructs by sequentially truncating the 17 residues between the Mbp and GS domains. A combination of biophysical techniques (thermal shift assay, dynamic light scattering, size exclusion chromatography) and negative stain EM allowed us to select the best candidate for cryoEM analysis, MagΔ5. By enforcing D6 symmetry we obtained a cryoEM map with a resolution of 10Å (FSC 0.5 criterion). The density of the symmetrized 40 kDa Mbp presents shape and features corresponding to the known atomic structure. In particular, the catalytic pocket and specific α-helical elements are distinguishable. The cryoEM map is additionally validated by a 7Å crystal structure of the MagΔ5 oligomer. The presence of a continuous helical connection between target (Mbp) and template (GS) likely contributed to the conformational homogeneity of MagΔ5. Moreover, comparing MagΔ5 with other chimeras studied in this work suggests that a large buried surface area and favorable interactions between the target and template limit the flexibility of the chimera and improve its resolution by cryoEM. For the symmetrization of a target of unknown structure, we envisage proceeding by a trial and error approach by fusing it to a panel of templates with helical termini and different surface properties, and subsequently selecting the best ones using biophysical assays. In conclusion, the present work establishes the proof-of-concept that protein symmetrization can be used for the structure determination of monomeric proteins below 100 kDa by cryoEM, thereby providing a promising new tool for analyzing targets resistant to conventional structural analysis.

L’étude des effets quantiques nucléaires (NQE) suscite de plus en plus d’intérêt. En effet, les effets quantiques comme l’effet tunnel ou l’énergie de point zéro, peuvent profondément modifier les propriétés de matériaux constitués d'atomes légers comme l'hydrogène. Les méthodes standards de simulation des NQE sont basées sur les intégrales de chemin. Le bain thermique quantique (QTB) constitue une alternative à ces méthodes: le principe est que les degrés de liberté classiques du système obéissent à une équation de Langevin et sont couplés à des oscillateurs harmoniques quantiques. Dans l’équation de Langevin classique, la force aléatoire est un bruit blanc et le théorème de fluctuation-dissipation classique est vérifié; avec le QTB, le théorème de fluctuation-dissipation quantique est vérifié. Nous étudierons à travers des modèles simples la validité et les limites du QTB et montrerons qu'il permet de simuler des systèmes de la matière condensée en incluant les NQE en générant leurs propriétés structurales et dynamiques. Nous montrerons que le QTB est particulièrement adapté à l’étude de la symétrisation de liaisons hydrogènes et permet d'identifier précisément une pression de transition. Celle-ci dépend de la distance entre deux oxygènes voisins comme dans la glace sous haute pression, mais est modifiée par la présence d'impuretés ioniques ou par l'environnement atomique des liaisons hydrogènes comme dans la phase delta de AlOOH. De plus, en comparant des simulations classiques à des simulations QTB, nous pouvons identifier les rôles respectifs des effets quantiques et thermiques dans ces transitions de phase. / Increasing interest has risen for nuclear quantum effects (NQE) in the recent past. Indeed, NQE such as proton tunneling and zero point energy often play a crucial role in the properties of hydrogen-containing materials. The standard methods to simulate NQE are based on path integrals. An alternative to these methods is the Quantum Thermal Bath (QTB): it is based on a Langevin equation where the classical degrees of freedom are coupled to an ensemble of quantum harmonic oscillators. In the classical Langevin equation, the random force is a white noise and fulfills the classical fluctuation-dissipation theorem, while within the QTB formalism, it fulfills the quantum fluctuation-dissipation theorem. We investigate through simple models the reliability and the limits of the QTB and show that the QTB enables realistic simulations including NQE of condensed-phase systems, generating static and dynamic information such as pair correlation functions and vibrational spectra which can be confronted with experimental results. We show that the QTB is particularly successful in the study of the symmetrization of hydrogen bonds in several systems. Indeed, the difficulty lies in the identification of a precise transition pressure since this phase transition is often blurred by quantum or thermal fluctuations. In high-pressure ice, it depends on the oxygen-oxygen distance but it can be affected by ionic impurities and by the asymmetric environment of hydrogen bonds as in the delta phase of AlOOH. Moreover, by comparing results from QTB and standard ab initio simulations, we are able to disentangle the respective roles of NQE and thermal fluctuations in these phase transitions.

Le problème isopérimétrique consiste, dans un espace métrique mesuré, à trouver les ensembles qui, à volume fixé, ont la plus petite mesure de surface. Il peut être formulé dans de nombreux cadres (espaces métriques mesurés généraux, variétés riemanniennes à poids, parties de l'espace euclidien...). Deux questions se dégagent de ce problème : - Quels sont les ensembles solutions, c'est-à-dire ayant la plus petite mesure de surface ? (Il faut noter que ces ensembles n'existent pas toujours). - Que vaut la plus petite mesure de surface ? La solution à la deuxième question peut être formulée sous la forme d'une fonction, appelée profil isopérimétrique, qui, à une valeur de volume (pondéré) donnée, associe la plus petite mesure de surface correspondante. La notion de mesure de surface, quant à elle, peut être définie de plusieurs manières (contenu de Minkowski, périmètre géométrique...), toutes dépendant étroitement à la fois de la distance et de la mesure ambiantes. L'objet principal de cette thèse est l'étude du problème isopérimétrique dans des espaces produits, que ce soit pour transférer des inégalités isopérimétriques d'espaces facteurs vers ces produits, ou pour comparer le profil isopérimétrique de l'espace produit à ceux des facteurs. La thèse se découpe en quatre parties : - Étude de l'opération de symétrisation (pour les ensembles) et de réarrangement (pour les fonctions), notions analogues, du point de vue de la théorie de la mesure géométrique et des fonctions à variations bornée. Ces opérations agissent de sorte à ce que n'augmente pas la mesure de surface (pour les ensembles), ou la variation (pour les fonctions). Nous introduisons notamment une nouvelle classe d'espaces modèles, pour lesquels nous obtenons des résultats qualitativement similaires à ceux obtenus pour les espaces modèles classiques : inégalités isopérimétriques transférées aux produits, comparaison d'énergies (pour des fonctionnelles convexes). - Détail d'un argument de minoration du profil isopérimétrique d'un espace métrique produit XxY par une fonction dépendant des profils de X et Y, pour une large classe de distances produits sur XxY. L'étude de ce problème est faite via la minimisation d'une fonctionnelle sur la classe des mesures de Radon. - Étude du problème isopérimétrique dans un espace métrique mesuré produit (le produit d'ordre quelconque du même espace métrique mesuré), muni de la combinaison uniforme de sa distance (élargissement uniforme). Nous donnons un critère pour que tous les profils isopérimétriques (quel que soit l'ordre d'itération du produit) soient minorés par un multiple du minorant du profil isopérimétrique de l'espace originel. Ceci est fait en utilisant notamment des méthodes ayant trait aux inégalités fonctionnelles. Nous appliquons ensuite les résultats aux influences géométriques. - Étude d'inégalités fonctionnelles dites isopérimétriques, permettant d'appréhender le comportement isopérimétrique dans l'espace produit correspondant d'ordre quelconque. Nous résumons l'état des connaissances à propos des inégalités de ce type et proposons une autre méthode qui pourrait aboutir à prouver une telle inégalité dans le cas de mesures réelles particulières, pour lesquelles le problème est ouvert. / The isoperimetric problem in a metric measured space consists in finding the sets having minimal boundary measure, with prescribed volume. It can be formulated in various settings (general metric measured spaces, Riemannian manifolds, submanifolds of the Euclidean space, ...). At this point, two questions arise : - What are the optimal sets, namely the sets having smallest boundary measure (it has to be said that they do not always exist) ? - What is the smallest boundary measure ? The solution to the second answer can be expressed by a function called the isoperimetric profile. This function maps a value of (prescribed) measure onto the corresponding smallest boundary measure. As for the precise notion of boundary measure, it can be defined in different ways (Minkowski content, geometric perimeter, ...), all of them closely linked to the ambient distance and measure. The main object of this thesis is the study of the isoperimetric problem in product spaces, in order to transfer isoperimetric inequalities from factor spaces to the product spaces, or to compare their isoperimetric profiles. The thesis is divided into four parts : - Study of the symmetrization operation (for sets) and the rearrangement operation (for functions), analogous notions, from the point of view of Geometric Measure Theory and Bounded Variation functions. These operations cause the boundary measure to decrease (for sets), or the variation (for functions). We introduce a new class of model spaces, for which we obtain similar results to those concerning classic model spaces : transfer of isoperimetric inequalities to the product spaces, energy comparison (for convex functionals). - Detailed proof of an argument of minorization of the isoperimetric profile of a metric measured product space XxY by a function depending on the profiles of X and Y, for a wide class of product distances over XxY. The study of this problem uses the minimization of a functional defined on Radon measures class. - Study of the isoperimetric problem in a metric measured space (n times the same space) equipped with the uniform combination of its distance (uniform enlargement). We give a condition under which every isoperimetric profile (whatever the order of iteration might be) is bounded from below by a quantity which is proportional to the isoperimetric profile of the underlying space. We then apply the result to geometric influences. - Study of isoperimetric functional inequalities, which give information about the isoperimetric behavior of the product spaces. We give an overview of the results about this kind of inequalities, and suggest a method to prove such an inequality in a particular case of real measures for which the problem reamins open.

La nécessaire représentation en échelle du monde nous amène à expliquer pourquoi la théorie des ondelettes en constitue le formalisme le mieux adapté. Ses performances sont comparées à d'autres outils : la méthode des étendues normalisées (R/S) et la méthode par décomposition empirique modale (EMD).La grande diversité des bases analysantes de la théorie des ondelettes nous conduit à proposer une approche à caractère morphologique de l'analyse. L'exposé est organisé en trois parties.Le premier chapitre est dédié aux éléments constitutifs de la théorie des ondelettes. Un lien surprenant est établi entre la notion de récurrence et l'analyse en échelle (polynômes de Daubechies) via le triangle de Pascal. Une expression analytique générale des coefficients des filtres de Daubechies à partir des racines des polynômes est ensuite proposée.Le deuxième chapitre constitue le premier domaine d'application. Il concerne les plasmas de bord des réacteurs de fusion de type tokamak. Nous exposons comment, pour la première fois sur des signaux expérimentaux, le coefficient de Hurst a pu être mesuré à partir d'un estimateur des moindres carrés à ondelettes. Nous détaillons ensuite, à partir de processus de type mouvement brownien fractionnaire (fBm), la manière dont nous avons établi un modèle (de synthèse) original reproduisant parfaitement la statistique mixte fBm et fGn qui caractérise un plasma de bord. Enfin, nous explicitons les raisons nous ayant amené à constater l'absence de lien existant entre des valeurs élevées du coefficient d'Hurst et de supposées longues corrélations.Le troisième chapitre est relatif au second domaine d'application. Il a été l'occasion de mettre en évidence comment le bien-fondé d'une approche morphologique couplée à une analyse en échelle nous ont permis d'extraire l'information relative à la taille, dans un écho rétrodiffusé d'une cible immergée et insonifiée par une onde ultrasonore / The necessary scale-based representation of the world leads us to explain why the wavelet theory is the best suited formalism. Its performances are compared to other tools: R/S analysis and empirical modal decomposition method (EMD). The great diversity of analyzing bases of wavelet theory leads us to propose a morphological approach of the analysis. The study is organized into three parts. The first chapter is dedicated to the constituent elements of wavelet theory. Then we will show the surprising link existing between recurrence concept and scale analysis (Daubechies polynomials) by using Pascal's triangle. A general analytical expression of Daubechies' filter coefficients is then proposed from the polynomial roots. The second chapter is the first application domain. It involves edge plasmas of tokamak fusion reactors. We will describe how, for the first time on experimental signals, the Hurst coefficient has been measured by a wavelet-based estimator. We will detail from fbm-like processes (fractional Brownian motion), how we have established an original model perfectly reproducing fBm and fGn joint statistics that characterizes magnetized plasmas. Finally, we will point out the reasons that show the lack of link between high values of the Hurst coefficient and possible long correlations. The third chapter is dedicated to the second application domain which is relative to the backscattered echo analysis of an immersed target insonified by an ultrasonic plane wave. We will explain how a morphological approach associated to a scale analysis can extract the diameter information