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1	Étude de quelques problèmes elliptiques et paraboliques quasi-linéaires avec singularités / Study of some quasilinear and singular elliptic and parabolic problems Sauvy, Paul 04 December 2012 (has links) Cette thèse s’inscrit dans le domaine mathématique de l’analyse des équations aux dérivées partielles non-linéaires. Plus précisément, nous avons fait ici l’étude de problèmes quasi-linéaires singuliers. Le terme "singulier" fait référence à l’intervention d’une non-linéarité qui explose au bord du domaine où ’équation est posée. La présence d’une telle singularité entraîne un manque de régularité et donc de compacité des solutions qui ne nous permet pas d’appliquer directement les méthodes classiques de l’analyse non-linéaire pour démontrer l’existence de solutions et discuter des propriétés de régularité et de comportement asymptotique de ces solutions. Pour contourner cette difficulté, nous sommes amenés à établir des estimations a priori très fines au voisinage du bord du domaine en combinant diverses méthodes : méthodes de monotonie (reliée au principe du maximum), méthodes variationnelles, argument de convexité, méthodes de point fixe et semi-discrétisation en temps. A travers, l’étude de trois problèmes-modèle faisant intervenir l’opérateur p-Laplacien, nous avons montré comment ces différentes méthodes pouvaient être mises en œuvre. Les résultats que nous avons obtenus sont décrits dans les trois chapitres de cette thèse : Dans le Chapitre I, nous avons étudié un problème d’absorption elliptique singulier. En utilisant des méthodes de sur- et sous solutions et des méthodes variationnelles, nous établissons des résultats d’existence de solutions. Par des méthodes de comparaison locale, nous démontrons également la propriété de support compact de ces solutions, pour de fortes singularités. Dans le Chapitre II, nous étudions le cas d’un système d’équations quasi-linéaires singulières. Par des arguments de point fixe et de monotonie, nous démontrons deux résultats généraux d’existence de solutions. Dans un deuxième temps, nous faisons une analyse plus détaillée de systèmes du type Gierer-Meinhardt modélisant des phénomènes biologiques. Des résultats d’unicité ainsi que des estimations précises sur le comportement des solutions sont alors obtenus. Dans le Chapitre III, nous faisons l’étude d’un problème d’absorption, parabolique singulier. Nous établissons par une méthode de semi-discrétisation en temps des résultats d’existence de solutions. Grâce à des inégalités d’énergie, nous démontrons également l’extinction en temps fini de ces solutions. / This thesis deals with the mathematical field of nonlinear partial differential equations analysis. More precisely, we focus on quasilinear and singular problems. By singularity, we mean that the problems that we have considered involve a nonlinearity in the equation which blows-up near the boundary. This singular pattern gives rise to a lack of regularity and compactness that prevent the straightforward applications of classical methods in nonlinear analysis used for proving existence of solutions and for establishing the regularity properties and the asymptotic behavior of the solutions. To overcome this difficulty, we establish estimations on the precise behavior of the solutions near the boundary combining several techniques : monotonicity method (related to the maximum principle), variational method, convexity arguments, fixed point methods and semi-discretization in time. Throughout the study of three problems involving the p-Laplacian operator, we show how to apply this different methods. The three chapters of this dissertation the describes results we get :– In Chapter I, we study a singular elliptic absorption problem. By using sub- and super-solutions and variational methods, we prove the existence of the solutions. In the case of a strong singularity, by using local comparison techniques, we also prove that the compact support of the solution. In Chapter II, we study a singular elliptic system. By using fixed point and monotonicity arguments, we establish two general theorems on the existence of solution. In a second time, we more precisely analyse the Gierer-Meinhardt systems which model some biological phenomena. We prove some results about the uniqueness and the precise behavior of the solutions. In Chapter III, we study a singular parabolic absorption problem. By using a semi-discretization in time method, we establish the existence of a solution. Moreover, by using differential energy inequalities, we prove that the solution vanishes in finite time. This phenomenon is called "quenching". Opérateur p-Laplacien Problèmes singuliers Problèmes/systèmes elliptiques Problèmes paraboliques Solution à support compact Stabilité des solutions Extinction en temps fini P-Laplacian operator Singular problems Elliptic problems/systems Parabolic problems Compact support solutions Stability of the solutions Quenching problems
2	Cohomologie d'espaces fibrés au-dessus de l'immeuble affine de GL(N) / Cohomology of fiber spaces over the affine building of GL(N) Rajhi, Anis 01 October 2014 (has links) Cette thèse se compose de deux parties : dans la première on donne une généralisation d'espaces fibrés construit au-dessus de l'arbre de Bruhat-Tits du groupe GL(2) sur un corps p-adique. Plus précisément, on a construit une tour projective d'espaces fibrés au-dessus du 1-squelette de l'immeuble de Bruhat-Tits de GL(n) sur un corps p-adique. On a montré que toute représentation cuspidale π de GL(n) se plonge avec multiplicité 1 dans le premier espace de cohomologie à support compact du k-ième étage de la tour, où k est le conducteur de π. Dans la deuxième partie on a construit un espace W au-dessus de la subdivision barycentrique de l'immeuble de Bruhat-Tits de GL(n) sur un corps p-adique. Pour étudier les espaces de cohomologie à support compact d'un G-complexe simplicial propre X muni d'un recouvrement équivariant assez particulier, où G est un groupe localement compact totalement discontinu, on a montré l'existence d'une suite spactrale dans la catégorie des représentations lisses de G qui converge vers la cohomologie à support compact de X. En s'appuyant sur ce dernier résultat, on a calculé la cohomologie à support compact de l'espace W comme représentation lisse de GL(n) puis on a montrer que les types cuspidaux de niveau 0 de GL(n) apparaissent avec multiplicité fini dans la cohomologie de certain complexes fini construit au niveau résiduel. Comme conséquence, on montre que les représentations cuspidales de niveau 0 de GL(n) apparaissent dans la cohomologie de W. / This thesis consists of two parts: the first one gives a generalization of fiber spaces constructed above the Bruhat-Tits tree of the group GL(2) over a p-adic field. More precisely we construct a projective tower of spaces over the 1-skeleton of the Bruhat-Tits building of GL(n) over a p-adic field. We show that any cuspidal representation π of GL(n) embeds with multiplicity 1 in the first cohomology space with compact support of k-th floor of the tower, where k is the conductor of π. In the second part we constructed a space W above the barycentric subdivision of the Bruhat-Tits building of GL(n) over a p-adic field. To study the cohomology spaces with compact support of a proper G-simplicial complex X with a rather special equivariant covering, where G is a totally disconnected locally compact group, we show the existence of a spactrale sequence in the category of smooth representations of G that converges to the cohomology with compact support of X. Based on the latter results, we calculate the cohomology with compact support of W as smooth representation of GL(n), and then we show that the level zero cuspidal types of GL(n) appear with finite multiplicity in the cohomology of some finite simplicial complexes constructed in residual level. As a consequence, we show that the cuspidal representations of level 0 of GL(n) appear in the cohomology of W. Représentations des groupes p-Adiques Immeuble de Bruhat-Tits Cohomologie à support compact Representations of p-Adic groups Bruhat-Tits buildings Cohomology with compact support 512.74
3	Contribution à la théorie des ondelettes : application à la turbulence des plasmas de bord de Tokamak et à la mesure dimensionnelle de cibles / Contribution to the wavelet theory : Application to edge plasma turbulence in tokamaks and to dimensional measurement of targets Scipioni, Angel 19 November 2010 (has links) La nécessaire représentation en échelle du monde nous amène à expliquer pourquoi la théorie des ondelettes en constitue le formalisme le mieux adapté. Ses performances sont comparées à d'autres outils : la méthode des étendues normalisées (R/S) et la méthode par décomposition empirique modale (EMD).La grande diversité des bases analysantes de la théorie des ondelettes nous conduit à proposer une approche à caractère morphologique de l'analyse. L'exposé est organisé en trois parties.Le premier chapitre est dédié aux éléments constitutifs de la théorie des ondelettes. Un lien surprenant est établi entre la notion de récurrence et l'analyse en échelle (polynômes de Daubechies) via le triangle de Pascal. Une expression analytique générale des coefficients des filtres de Daubechies à partir des racines des polynômes est ensuite proposée.Le deuxième chapitre constitue le premier domaine d'application. Il concerne les plasmas de bord des réacteurs de fusion de type tokamak. Nous exposons comment, pour la première fois sur des signaux expérimentaux, le coefficient de Hurst a pu être mesuré à partir d'un estimateur des moindres carrés à ondelettes. Nous détaillons ensuite, à partir de processus de type mouvement brownien fractionnaire (fBm), la manière dont nous avons établi un modèle (de synthèse) original reproduisant parfaitement la statistique mixte fBm et fGn qui caractérise un plasma de bord. Enfin, nous explicitons les raisons nous ayant amené à constater l'absence de lien existant entre des valeurs élevées du coefficient d'Hurst et de supposées longues corrélations.Le troisième chapitre est relatif au second domaine d'application. Il a été l'occasion de mettre en évidence comment le bien-fondé d'une approche morphologique couplée à une analyse en échelle nous ont permis d'extraire l'information relative à la taille, dans un écho rétrodiffusé d'une cible immergée et insonifiée par une onde ultrasonore / The necessary scale-based representation of the world leads us to explain why the wavelet theory is the best suited formalism. Its performances are compared to other tools: R/S analysis and empirical modal decomposition method (EMD). The great diversity of analyzing bases of wavelet theory leads us to propose a morphological approach of the analysis. The study is organized into three parts. The first chapter is dedicated to the constituent elements of wavelet theory. Then we will show the surprising link existing between recurrence concept and scale analysis (Daubechies polynomials) by using Pascal's triangle. A general analytical expression of Daubechies' filter coefficients is then proposed from the polynomial roots. The second chapter is the first application domain. It involves edge plasmas of tokamak fusion reactors. We will describe how, for the first time on experimental signals, the Hurst coefficient has been measured by a wavelet-based estimator. We will detail from fbm-like processes (fractional Brownian motion), how we have established an original model perfectly reproducing fBm and fGn joint statistics that characterizes magnetized plasmas. Finally, we will point out the reasons that show the lack of link between high values of the Hurst coefficient and possible long correlations. The third chapter is dedicated to the second application domain which is relative to the backscattered echo analysis of an immersed target insonified by an ultrasonic plane wave. We will explain how a morphological approach associated to a scale analysis can extract the diameter information Ondelettes Principe d'incertitude de Heisenberg Pavage temps-Fréquence Moments Régularité Support compact Fonction d'échelle Fonction d'ondelette Approximations Détails Résolution Filtre QMF Coefficients de Daubechies Analyse Reconstruction Précurseur Algorithme de Mallat Convolution Décimation Symétrisation Orthogonalisation Gram Schmidt Filtres frontières Complexité Décomposition modale empirique Méthode R/S Analyse des fluctuations redressées Fractal Auto-Similarité Plasma Bruit Gaussien fractionnaire Mouvement Brownien fractionnaire Ultrason Wavelets Heisenberg uncertainty principle Time-Frequency tiles Vanishing moments Regularity Compact support Scaling function Wavelet function Approximations Details Resolution QMF filters Daubechies coefficients Analysis Reconstruction Precursor Mallat algorithm Convolution Decimation Mirroring Orthogonalization Gram Schmidt Boundary filters Complexity Empirical Modal Decomposition R/S method Detrended fluctuations Analysis Fractal Self-Similarity Plasma Fractional Gaussian noise Fractional Brownian motion Ultrasound 530.44 515.243 3

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