Dans cette thèse nous étudions les transformées de Riesz et les espaces de Hardy associés à un opérateur sur un espace métrique mesuré. Ces deux sujets sont en lien avec des estimations du noyau de la chaleur associé à cet opérateur. Dans les Chapitres 1, 2 et 4, on étudie les transformées quasi de Riesz sur les variétés riemannienne et sur les graphes. Dans le Chapitre 1, on prouve que les quasi transformées de Riesz sont bornées dans Lp pour 1

Dans cette thèse nous étudions les transformées de Riesz et les espaces de Hardy associés à un opérateur sur un espace métrique mesuré. Ces deux sujets sont en lien avec des estimations du noyau de la chaleur associé à cet opérateur. Dans les Chapitres 1, 2 et 4, on étudie les transformées quasi de Riesz sur les variétés riemannienne et sur les graphes. Dans le Chapitre 1, on prouve que les quasi transformées de Riesz sont bornées dans Lp pour 1<p<2. Dans le Chapitre 2, on montre que les quasi transformées de Riesz est aussi de type faible (1,1) si la variété satisfait la propriété de doublement du volume et l'estimation sous-gaussienne du noyau de la chaleur. On obtient des résultats analogues sur les graphes dans le Chapitre 4. Dans le Chapitre 3, on développe la théorie des espaces de Hardy sur les espaces métriques mesurés avec des estimations différentes localement et globalement du noyau de la chaleur. On définit les espaces de Hardy par les molécules et par les fonctions quadratiques. On montre tout d'abord que ces deux espaces H1 sont les mêmes. Puis, on compare l'espace Hp défini par par les fonctions quadratiques et Lp. On montre qu'ils sont équivalents. Mais on trouve des exemples tels que l'équivalence entre Lp et Hp défini par les fonctions quadratiques avec l'homogénéité t2 n'est pas vraie. Finalement, comme application, on montre que les quasi transformées de Riesz sont bornées de H1 dans L1 sur les variétés fractales. Dans le Chapitre 5, on prouve des inégalités généralisées de Poincaré et de Sobolev sur les graphes de Vicsek. On montre aussi qu'elles sont optimales. / In this thesis, we mainly study Riesz transforms and Hardy spaces associated to operators. The two subjects are closely related to volume growth and heat kernel estimates. In Chapter 1, 2 and 4, we study Riesz transforms on Riemannian manifold and on graphs. In Chapter 1, we prove that on a complete Riemannian manifold, the quasi Riesz transform is always Lp bounded on for p strictly large than 1 and no less than 2. In Chapter 2, we prove that the quasi Riesz transform is also weak L1 bounded if the manifold satisfies the doubling volume property and the sub-Gaussian heat kernel estimate. Similarly, we show in Chapter 4 the same results on graphs. In Chapter 3, we develop a Hardy space theory on metric measure spaces satisfying the doubling volume property and different local and global heat kernel estimates. Firstly we define Hardy spaces via molecules and via square functions which are adapted to the heat kernel estimates. Then we show that the two H1 spaces via molecules and via square functions are the same. Also, we compare the Hp space defined via square functions with Lp. The corresponding Hp space for p large than 1 defined via square functions is equivalent to the Lebesgue space Lp. However, it is shown that in this situation, the Hp space corresponding to Gaussian estimates does not coincide with Lp any more. Finally, as an application of this Hardy space theory, we proved that quasi Riesz transforms are bounded from H1 to L1 on fractal manifolds. In Chapter 5, we consider Vicsek graphs. We prove generalised Poincaré inequalities and Sobolev inequalities on Vicsek graphs and we show that they are optimal.

Le problème isopérimétrique consiste, dans un espace métrique mesuré, à trouver les ensembles qui, à volume fixé, ont la plus petite mesure de surface. Il peut être formulé dans de nombreux cadres (espaces métriques mesurés généraux, variétés riemanniennes à poids, parties de l'espace euclidien...). Deux questions se dégagent de ce problème : - Quels sont les ensembles solutions, c'est-à-dire ayant la plus petite mesure de surface ? (Il faut noter que ces ensembles n'existent pas toujours). - Que vaut la plus petite mesure de surface ? La solution à la deuxième question peut être formulée sous la forme d'une fonction, appelée profil isopérimétrique, qui, à une valeur de volume (pondéré) donnée, associe la plus petite mesure de surface correspondante. La notion de mesure de surface, quant à elle, peut être définie de plusieurs manières (contenu de Minkowski, périmètre géométrique...), toutes dépendant étroitement à la fois de la distance et de la mesure ambiantes. L'objet principal de cette thèse est l'étude du problème isopérimétrique dans des espaces produits, que ce soit pour transférer des inégalités isopérimétriques d'espaces facteurs vers ces produits, ou pour comparer le profil isopérimétrique de l'espace produit à ceux des facteurs. La thèse se découpe en quatre parties : - Étude de l'opération de symétrisation (pour les ensembles) et de réarrangement (pour les fonctions), notions analogues, du point de vue de la théorie de la mesure géométrique et des fonctions à variations bornée. Ces opérations agissent de sorte à ce que n'augmente pas la mesure de surface (pour les ensembles), ou la variation (pour les fonctions). Nous introduisons notamment une nouvelle classe d'espaces modèles, pour lesquels nous obtenons des résultats qualitativement similaires à ceux obtenus pour les espaces modèles classiques : inégalités isopérimétriques transférées aux produits, comparaison d'énergies (pour des fonctionnelles convexes). - Détail d'un argument de minoration du profil isopérimétrique d'un espace métrique produit XxY par une fonction dépendant des profils de X et Y, pour une large classe de distances produits sur XxY. L'étude de ce problème est faite via la minimisation d'une fonctionnelle sur la classe des mesures de Radon. - Étude du problème isopérimétrique dans un espace métrique mesuré produit (le produit d'ordre quelconque du même espace métrique mesuré), muni de la combinaison uniforme de sa distance (élargissement uniforme). Nous donnons un critère pour que tous les profils isopérimétriques (quel que soit l'ordre d'itération du produit) soient minorés par un multiple du minorant du profil isopérimétrique de l'espace originel. Ceci est fait en utilisant notamment des méthodes ayant trait aux inégalités fonctionnelles. Nous appliquons ensuite les résultats aux influences géométriques. - Étude d'inégalités fonctionnelles dites isopérimétriques, permettant d'appréhender le comportement isopérimétrique dans l'espace produit correspondant d'ordre quelconque. Nous résumons l'état des connaissances à propos des inégalités de ce type et proposons une autre méthode qui pourrait aboutir à prouver une telle inégalité dans le cas de mesures réelles particulières, pour lesquelles le problème est ouvert. / The isoperimetric problem in a metric measured space consists in finding the sets having minimal boundary measure, with prescribed volume. It can be formulated in various settings (general metric measured spaces, Riemannian manifolds, submanifolds of the Euclidean space, ...). At this point, two questions arise : - What are the optimal sets, namely the sets having smallest boundary measure (it has to be said that they do not always exist) ? - What is the smallest boundary measure ? The solution to the second answer can be expressed by a function called the isoperimetric profile. This function maps a value of (prescribed) measure onto the corresponding smallest boundary measure. As for the precise notion of boundary measure, it can be defined in different ways (Minkowski content, geometric perimeter, ...), all of them closely linked to the ambient distance and measure. The main object of this thesis is the study of the isoperimetric problem in product spaces, in order to transfer isoperimetric inequalities from factor spaces to the product spaces, or to compare their isoperimetric profiles. The thesis is divided into four parts : - Study of the symmetrization operation (for sets) and the rearrangement operation (for functions), analogous notions, from the point of view of Geometric Measure Theory and Bounded Variation functions. These operations cause the boundary measure to decrease (for sets), or the variation (for functions). We introduce a new class of model spaces, for which we obtain similar results to those concerning classic model spaces : transfer of isoperimetric inequalities to the product spaces, energy comparison (for convex functionals). - Detailed proof of an argument of minorization of the isoperimetric profile of a metric measured product space XxY by a function depending on the profiles of X and Y, for a wide class of product distances over XxY. The study of this problem uses the minimization of a functional defined on Radon measures class. - Study of the isoperimetric problem in a metric measured space (n times the same space) equipped with the uniform combination of its distance (uniform enlargement). We give a condition under which every isoperimetric profile (whatever the order of iteration might be) is bounded from below by a quantity which is proportional to the isoperimetric profile of the underlying space. We then apply the result to geometric influences. - Study of isoperimetric functional inequalities, which give information about the isoperimetric behavior of the product spaces. We give an overview of the results about this kind of inequalities, and suggest a method to prove such an inequality in a particular case of real measures for which the problem reamins open.

Dans cette thèse, nous étudions l'interpolation réelle des espaces de Sobolev et ses applications. Le manuscrit est constitué de deux parties. Dans la première partie, nous démontrons au premier chapitre que les espaces de Sobolev non homogènes W^1_p (resp. homogènes ) sur les variétés Riemanniennes complètes vérifiant la propriété de doublement et une inégalité de Poincaré forment une échelle d'interpolation réelle pour un intervalle de valeurs de p. Nous étendons ce résultat à d'autres cadres géométriques. Dans un deuxième court chapitre, nous comparons différents espaces de Sobolev sur le cone Euclidien et nous regardons le lien de ces espaces avec l'interpolation. Nous montrons sur cet exemple que l'hypothèse de Poincaré n'est pas une condition nécessaire pour pouvoir interpoler les espaces de Sobolev. Dans le dernier chapitre de cette partie, nous définissons les espaces de Sobolev non homog'nes W^1_p,V (resp. homogènes ) associés à un potentiel positif V sur une variété Riemannienne. Nous démontrons que si la variété véifie la propriété de doublement et une inégalité de Poincaré et si de plus V est dans une classe de Holder inverse, ces espaces forment aussi une échelle d'interpolation réelle pour un intervalle de valeurs de p. Nous étendons ce résultat aux cas des groupes de Lie. Dans la deuxième partie, dans un premier chapitre en collaboration avec E. Russ, nous étudions sur un graphe vérifiant la propriété de doublement et une inégalité de Poincaré, la Lp bornitude de la transformée de Riesz pour p > 2 et son inégalité inverse pour p < 2. Pour notre but, nous démontrons aussi des résultats d'interpolation des espaces de Sobolev et des inégalités de Littlewood-Paley. Dans le deuxième chapitre, nous démontrons en utilisant notre résultat d'interpolation, des inégalités de Gagliardo-Nirenberg sur les variétés Riemanniennes complètes vérifiant le doublement, des inégalités de Poincaré et pseudo-Poincaré. Ce résultat s'applique aussi dans le cadre des groupes de Lie et des graphes.