Dans cette thèse nous étudions les transformées de Riesz et les espaces de Hardy associés à un opérateur sur un espace métrique mesuré. Ces deux sujets sont en lien avec des estimations du noyau de la chaleur associé à cet opérateur. Dans les Chapitres 1, 2 et 4, on étudie les transformées quasi de Riesz sur les variétés riemannienne et sur les graphes. Dans le Chapitre 1, on prouve que les quasi transformées de Riesz sont bornées dans Lp pour 1<p<2. Dans le Chapitre 2, on montre que les quasi transformées de Riesz est aussi de type faible (1,1) si la variété satisfait la propriété de doublement du volume et l'estimation sous-gaussienne du noyau de la chaleur. On obtient des résultats analogues sur les graphes dans le Chapitre 4. Dans le Chapitre 3, on développe la théorie des espaces de Hardy sur les espaces métriques mesurés avec des estimations différentes localement et globalement du noyau de la chaleur. On définit les espaces de Hardy par les molécules et par les fonctions quadratiques. On montre tout d'abord que ces deux espaces H1 sont les mêmes. Puis, on compare l'espace Hp défini par par les fonctions quadratiques et Lp. On montre qu'ils sont équivalents. Mais on trouve des exemples tels que l'équivalence entre Lp et Hp défini par les fonctions quadratiques avec l'homogénéité t2 n'est pas vraie. Finalement, comme application, on montre que les quasi transformées de Riesz sont bornées de H1 dans L1 sur les variétés fractales. Dans le Chapitre 5, on prouve des inégalités généralisées de Poincaré et de Sobolev sur les graphes de Vicsek. On montre aussi qu'elles sont optimales. / In this thesis, we mainly study Riesz transforms and Hardy spaces associated to operators. The two subjects are closely related to volume growth and heat kernel estimates. In Chapter 1, 2 and 4, we study Riesz transforms on Riemannian manifold and on graphs. In Chapter 1, we prove that on a complete Riemannian manifold, the quasi Riesz transform is always Lp bounded on for p strictly large than 1 and no less than 2. In Chapter 2, we prove that the quasi Riesz transform is also weak L1 bounded if the manifold satisfies the doubling volume property and the sub-Gaussian heat kernel estimate. Similarly, we show in Chapter 4 the same results on graphs. In Chapter 3, we develop a Hardy space theory on metric measure spaces satisfying the doubling volume property and different local and global heat kernel estimates. Firstly we define Hardy spaces via molecules and via square functions which are adapted to the heat kernel estimates. Then we show that the two H1 spaces via molecules and via square functions are the same. Also, we compare the Hp space defined via square functions with Lp. The corresponding Hp space for p large than 1 defined via square functions is equivalent to the Lebesgue space Lp. However, it is shown that in this situation, the Hp space corresponding to Gaussian estimates does not coincide with Lp any more. Finally, as an application of this Hardy space theory, we proved that quasi Riesz transforms are bounded from H1 to L1 on fractal manifolds. In Chapter 5, we consider Vicsek graphs. We prove generalised Poincaré inequalities and Sobolev inequalities on Vicsek graphs and we show that they are optimal.

We characterise the higher order Riesz transforms on the Heisenberg group and also show that they satisfy dimension-free bounds under some assumptions on the multipliers. We also prove the boundedness of the higher order Riesz transforms associated to the Hermite operator. Using transference theorems, we deduce boundedness theorems for Riesz transforms on the reduced Heisenberg group and hence also for the Riesz transforms associated to special Hermite and Laguerre expansions. Next we study the Riesz transforms associated to the Grushin operator G = - Δ - |x|2@t2 on Rn+1. We prove that both the first order and higher order Riesz transforms are bounded on Lp(Rn+1): We also prove that norms of the first order Riesz transforms are independent of the dimension n.

Cette thèse s'inscrit dans le domaine de l'analyse harmonique et plus exactement, des estimations à poids. Un intérêt particulier est porté aux estimations Lp à poids des transformées de Riesz sur des variétés Riemanniennes complètes ainsi qu'à l'optimalité des résultats en terme de la puissance de la caractéristique des poids. On obtient un premier résultat (en terme de la linéarité et de la non dépendance de la dimension) sur des espaces pas nécessairement de type homogène, lorsque p = 2 et la courbure de Bakry-Emery est positive. On utilise pour cela une approche analytique en exhibant une fonction de Bellman concrète. Puis, en utilisant des techniques stochastiques et une domination éparse, on démontre que les transformées de Riesz sont bornées sur Lp, pour p ∈ (1, +∞) et on déduit également le résultat précèdent. Enfin, on utilise un changement élégant dans la preuve précèdente pour affaiblir l'hypothèse sur la courbure et la supposer minorée. / The topics addressed in this thesis lie in the field of harmonic analysis and more pre- cisely, weighted inequalities. Our main interests are the weighted Lp-bounds of the Riesz transforms on complete Riemannian manifolds and the sharpness of the bounds in terms of the power of the characteristic of the weights. We first obtain a linear and dimensionless result on non necessarily homogeneous spaces, when p = 2 and the Bakry-Emery curvature is non-negative. We use here an analytical approach by exhibiting a concrete Bellman function. Next, using stochastic techniques and sparse domination, we prove that the Riesz transforms are Lp-bounded for p ∈ (1, +∞) and obtain the previous result for free. Finally, we use an elegant change in the precedent proof to weaken the condition on the curvature and assume it is bounded from below.

Cette thèse comporte deux sujets d’étude mêlés. Le premier concerne l’étude de la bornitude sur Lp de la transformée de Riesz d∆-½ , où ∆ désigne l’opérateur de Laplace-Beltrami (positif). Le second traite de la régularité de Sobolev W1,p de la solution de l’équation de la chaleur non perturbée. Nous établissons également quelques résultats concernant les transformées de Riesz d’opérateurs de Schrödinger avec un potentiel comportant éventuellement une partie négative.Dans le cadre de ces travaux, nous nous plaçons sur une variété riemanienne (M, g) complète et non compacte. Nous supposons que M satisfait la propriété de doublement de volume (de constante de doublement égale à D) ainsi qu’une estimation gaussienne supérieure pour son noyau de la chaleur (celui associé à l’opérateur ∆). Nous travaillons avec le laplacien de Hodge-de Rham, noté ∆, agissant sur les 1-formes différentielles de M. En s’appuyant sur la formule de Bochner, liant ∆ à la courbure de Ricci de M, nous assimilons ∆ à un opérateur de Schrödinger à valeurs vectorielles. C’est un argument de dualité, basé sur une formule de commutation algébrique, qui lie l’étude de ∆ à celle de ∆. [...] / This thesis has two main parts. The first one deals with the study of the boundedness on Lp of the Riesz transform d∆-½ , where ∆ denotes the nonnegative Laplace-Beltrami operator. The second one deals with the Sobolev regularity W1,p of the solution of the heat equation. We also establish some results on the Riesz transforms of Schrödinger operators with a potential possibly having a negative part. In this work, we consider a complete non-compact Riemannian manifold (M, g). We assume that M satisfies the volume doubling property (with doubling constant equal to D) as well as a Gaussian upper estimate for its heat kernel associated to the operator ∆. We work with the Hodge-de Rham Laplacian ∆, acting on 1-differential forms of M. With the Bochner formula, linking ∆to the Ricci curvature of M, we see ∆ has a vector-valued Schrödinger operator. It is a duality argument, based on a commutation formula, which links the study of ∆to the one of ∆. [...]

This thesis is divided into three parts. In the first part we study mixed norm estimates for Riesz transforms associated with various differential operators. First we prove the mixed norm estimates for the Riesz transforms associated with Dunkl harmonic oscillator by means of vector valued inequalities for sequences of operators defined in terms of Laguerre function expansions. In certain cases, the result can be deduced from the corresponding result for Hermite Riesz transforms, for which we give a simple and an independent proof. The mixed norm estimates for Riesz transforms associated with other operators, namely the sub-Laplacian on Heisenberg group, special Hermite operator on C^d and Laplace-Beltrami operator on the group SU(2) are obtained using their L^pestimates and by making use of a lemma of Herz and Riviere along with an idea of Rubio de Francia. Applying these results to functions expanded in terms of spherical harmonics, we deduce certain vector valued inequalities for sequences of operators defined in terms of radial parts of the corresponding operators. In the second part, we study the chaotic behavior of the heat semigroup generated by the Dunkl-Laplacian ∆_κ on weighted L^P-spaces. In the general case, for the chaotic behavior of the Dunkl-heat semigroup on weighted L^p-spaces, we only have partial results, but in the case of the heat semigroup generated by the standard Laplacian, a complete picture of the chaotic behavior is obtained on the spaces L^p ( R^d,〖 (φ_iρ (x ))〗^2 dx) where φ_iρ the Euclidean spherical function is. The behavior is very similar to the case of the Laplace-Beltrami operator on non-compact Riemannian symmetric spaces studied by Pramanik and Sarkar. In the last part, we study mixed norm estimates for the Cesáro means associated with Dunkl-Hermite expansions on〖 R〗^d. These expansions arise when one considers the Dunkl-Hermite operator (or Dunkl harmonic oscillator)〖 H〗_κ:=-Δ_κ+|x|^2. It is shown that the desired mixed norm estimates are equivalent to vector-valued inequalities for a sequence of Cesáro means for Laguerre expansions with shifted parameter. In order to obtain the latter, we develop an argument to extend these operators for complex values of the parameters involved and apply a version of Three Lines Lemma.

Ce mémoire est consacré à des résultats d'analyse harmonique réelle dans des cadres géométriques discrets (graphes) ou continus (groupes de Lie).Soit $\Gamma$ un graphe (ensemble de sommets et d'arêtes) muni d'un laplacien discret $\Delta=I-P$, où $P$ est un opérateur de Markov.Sous des hypothèses géométriques convenables sur $\Gamma$, nous montrons la continuité $L^p$ de fonctionnelles de Littlewood-Paley fractionnaires. Nous introduisons des espaces de Hardy $H^1$ de fonctions et de $1$-formes différentielles sur $\Gamma$, dont nous donnons plusieurs caractérisations, en supposant seulement la propriété de doublement pour le volume des boules de $\Gamma$. Nous en déduisons la continuité de la transformée de Riesz sur $H^1$. En supposant de plus des estimations supérieures ponctuelles (gaussiennes ou sous-gaussiennes) sur les itérées du noyau de l'opérateur $P$, nous obtenons aussi la continuité de la transformée de Riesz sur $L^p$ pour $1<p<2$.Nous considérons également l'espace de Besov $B^{p,q}_\alpha(G)$ sur un groupe de Lie unimodulaire $G$ muni d'un sous-laplacien $\Delta$. En utilisant des estimations du noyau de la chaleur associé à $\Delta$, nous donnons plusieurs caractérisations des espaces de Besov, et montrons une propriété d'algèbre pour $B^{p,q}_\alpha(G) \cap L^\infty(G)$, pour $\alpha>0$, $1\leq p\leq+\infty$ et $1\leq q\leq +\infty$. Les résultats sont valables en croissance polynomiale ou exponentielle du volume des boules. / This thesis is devoted to results in real harmonic analysis in discrete (graphs) or continuous (Lie groups) geometric contexts.Let $\Gamma$ be a graph (a set of vertices and edges) equipped with a discrete laplacian $\Delta=I-P$, where $P$ is a Markov operator.Under suitable geometric assumptions on $\Gamma$, we show the $L^p$ boundedness of fractional Littlewood-Paley functionals. We introduce $H^1$ Hardy spaces of functions and of $1$-differential forms on $\Gamma$, giving several characterizations of these spaces, only assuming the doubling property for the volumes of balls in $\Gamma$. As a consequence, we derive the $H^1$ boundedness of the Riesz transform. Assuming furthermore pointwise upper bounds for the kernel (Gaussian of subgaussian upper bounds) on the iterates of the kernel of $P$, we also establish the $L^p$ boundedness of the Riesz transform for $1<p<2$.We also consider the Besov space $B^{p,q}_\alpha(G)$ on a unimodular Lie group $G$ equipped with a sublaplacian $\Delta$.Using estimates of the heat kernel associated with $\Delta$, we give several characterizations of Besov spaces, and show an algebra property for $B^{p,q}_\alpha(G) \cap L^\infty(G)$ for $\alpha>0$, $1\leq p\leq+\infty$ and $1\leq q\leq +\infty$.These results hold for polynomial as well as for exponential volume growth of balls.