On établit la meilleure constante dans les inégalités de Sobolev sur une variété riemannienne compacte quelconque lorsque les fonctions considérées sont invariantes par un groupe d'isométries quelconque. On éablit également la meilleure constante dans le cas d'exception des inégalités de Sobolev pour des fonctions invariantes par un groupe d'isométries. La connaissance précise de ces constantes permet d'obtenir des résultats d'existence de solutions d'équation aux dérivées partielles. On se pose ensuite la question de l'existence d'une seconde meilleure constante, et on établit un théorème donnant cette existence sous certaines conditions, conditions permettant toutefois de répondre à certains problèmes ouverts, ainsi qu'à tous les cas constructibles. La démonstration de ce théorème oblige à développer des techniques pointues d'analyse, notamment une étude de phénomène de concentration d'une suite de solutions d'une EDP. La démonstration fait également intervenir des résultats portant sur la géométrie des orbites.

La première partie de la thèse concerne certaines compactifications. On se donne un espace symétrique à courbure négative et on cherche à déterminer ses compactifications différentiables, c'est-à-dire les plongement de l'espace dans une variété à bord pour lesquels l'action des isométries se prolonge de façon différentiable. Les résultats principaux sont : la classification de ces compactifications dans le cas de l'espace hyperbolique réel, et l'inexistence d'une telle compactification dans le cas des espaces de rang supérieur.<br /> La seconde partie concerne les remplissages holomorphes. On se donne une variété CR compacte M et un sous-groupe d'automorphismes F. La question est alors de déterminer quelles sont les variétés compactes à bord X dont le bord est M et telles que l'action de F se prolonge par biholomorphismes sur tout X. On montre sous des hypothèses de convexité, de dimension et de taille de F un résultat d'unicité (à éclatement près).

La principale motivation des travaux de cette thèse est de mieux comprendre le rôle du tenseur d'impulsion-énergie en géométrie spinorielle. On s'intéresse dans un premier temps à la géométrie spinorielle extrinsèque. On relie les restrictions à une sous-variété riemannienne d'objets spinoriels aux objets définis de manière intrinsèque. En particulier, on donne des estimations pour la première valeur propre d'un opérateur de Dirac défini sur les sous-variétés riemanniennes spinorielles compactes. Il apparaît alors que le cadre des hypersurfaces est un cadre naturel pour l'étude du tenseur d'impulsion-énergie associé à un champ de spineurs. On construit un produit tordu généralisé permettant de voir ce dernier comme la seconde forme fondamentale d'une immersion isométrique. On caractérise enfin les surfaces de S^3 et H^3 en terme de sections spéciales du fibré des spineurs, ainsi que les hypersurfaces parallèles de R^4.

Dans cette thèse, nous étudierons les médianes d'une mesure de probabilité dans une variété riemannienne. Dans un premier temps, l'existence et l'unicité des médianes locales seront montrées. Afin de calculer les médianes aux cas pratiques, nous proposerons aussi un algorithme de sous-gradient et prouverons sa convergence. Ensuite, les médianes de Fréchet seront étudiées. Nous montrerons leur cohérence statistique et donnerons des estimations quantitatives de leur robustesse à l'aide de courbures. De plus, nous montrerons que, dans les variétés riemanniennes compactes, les médianes de Fréchet de données génériques sont toujours uniques. Des algorithmes stochastiques et déterministes seront proposés pour calculer les p-moyennes de Fréchet dans les variétés riemanniennes. Un lien entre les médianes et les problèmes de points fixes sera aussi montré. Finalement, nous appliquerons les médiane et la géométrie riemannienne des matrices de covariance Toeplitz à la détection de cible radar.

Cette thèse traite de deux problèmes qui ont leur origine dans la théorie du contrôle géométrique, et qui concernent les systèmes de contrôle avec dérive, c'est-à-dire de la forme $\dot q= f_0(q)+\sum_{j=1}^m u_j f_j(q)$. Dans la première partie de la thèse, on généralise le concept de complexité de courbes non-admissibles, déjà bien compris pour les systèmes sous-riemanniens, au cas des systèmes de contrôle avec dérive, et on donne des estimations asymptotiques de ces quantités. Ensuite, dans la deuxième partie, on considère une famille de systèmes de contrôle sans dérive en dimension 2 et on s'intéresse à l'operateur de Laplace-Beltrami associé et à l'évolution de la chaleur et des particules quantiques qu'il définit. On étudie plus particulièrement l'effet qu'a l'ensemble où les champs de vecteurs contrôlés deviennent colinéaires sur ces évolutions.

Le traitement d'images numériques a suivi l'évolution de l'électronique et de l'informatique. Il est maintenant courant de manipuler des images à valeur non pas dans {0,1}, mais dans des variétés ou des distributions de probabilités. C'est le cas par exemple des images couleurs où de l'imagerie du tenseur de diffusion (DTI). Chaque type d'image possède ses propres structures algébriques, topologiques et géométriques. Ainsi, les techniques existantes de traitement d'image doivent être adaptés lorsqu'elles sont appliquées à de nouvelles modalités d'imagerie. Lorsque l'on manipule de nouveaux types d'espaces de valeurs, les précédents opérateurs peuvent rarement être utilisés tel quel. Même si les notions sous-jacentes ont encore un sens, un travail doit être mené afin de les exprimer dans le nouveau contexte. Cette thèse est composée de deux parties indépendantes. La première, « Morphologie mathématiques pour les images non standards », concerne l'extension de la morphologie mathématique à des cas particuliers où l'espace des valeurs de l'image ne possède pas de structure d'ordre canonique. Le chapitre 2 formalise et démontre le problème de l'irrégularité des ordres totaux dans les espaces métriques. Le résultat principal de ce chapitre montre qu'étant donné un ordre total dans un espace vectoriel multidimensionnel, il existe toujours des images à valeur dans cet espace tel que les dilatations et les érosions morphologiques soient irrégulières et incohérentes. Le chapitre 3 est une tentative d'extension de la morphologie mathématique aux images à valeur dans un ensemble de labels non ordonnés.La deuxième partie de la thèse, « Estimation de densités de probabilités dans les espaces de Riemann » concerne l'adaptation des techniques classiques d'estimation de densités non paramétriques à certaines variétés Riemanniennes. Le chapitre 5 est un travail sur les histogrammes d'images couleurs dans le cadre de métriques perceptuelles. L'idée principale de ce chapitre consiste à calculer les histogrammes suivant une approximation euclidienne local de la métrique perceptuelle, et non une approximation globale comme dans les espaces perceptuels standards. Le chapitre 6 est une étude sur l'estimation de densité lorsque les données sont des lois Gaussiennes. Différentes techniques y sont analysées. Le résultat principal est l'expression de noyaux pour la métrique de Wasserstein. / Digital image processing has followed the evolution of electronic and computer science. It is now current to deal with images valued not in {0,1} or in gray-scale, but in manifolds or probability distributions. This is for instance the case for color images or in diffusion tensor imaging (DTI). Each kind of images has its own algebraic, topological and geometric properties. Thus, existing image processing techniques have to be adapted when applied to new imaging modalities. When dealing with new kind of value spaces, former operators can rarely be used as they are. Even if the underlying notion has still a meaning, a work must be carried out in order to express it in the new context.The thesis is composed of two independent parts. The first one, "Mathematical morphology on non-standard images", concerns the extension of mathematical morphology to specific cases where the value space of the image does not have a canonical order structure. Chapter 2 formalizes and demonstrates the irregularity issue of total orders in metric spaces. The main results states that for any total order in a multidimensional vector space, there are images for which the morphological dilations and erosions are irregular and inconsistent. Chapter 3 is an attempt to generalize morphology to images valued in a set of unordered labels.The second part "Probability density estimation on Riemannian spaces" concerns the adaptation of standard density estimation techniques to specific Riemannian manifolds. Chapter 5 is a work on color image histograms under perceptual metrics. The main idea of this chapter consists in computing histograms using local Euclidean approximations of the perceptual metric, and not a global Euclidean approximation as in standard perceptual color spaces. Chapter 6 addresses the problem of non parametric density estimation when data lay in spaces of Gaussian laws. Different techniques are studied, an expression of kernels is provided for the Wasserstein metric.

Depuis environ une dizaine d’années, les images hyperspectrales produites par les systèmes de télédétection, “Remote Sensing”, ont permis d’obtenir des informations très fiables quant aux caractéristiques spectrales de matériaux présents dans une scène donnée. Nous nous intéressons dans ce travail au problème de la segmentation non supervisée d’images hyperspectrales suivant trois approches bien distinctes. La première, de type Graph Embedding, nécessite deux étapes : une première étape d’appariement des pixels de patchs de l’image initiale grâce à une mesure de similarité spectrale entre pixels et une seconde étape d’appariement d’objets issus des segmentations locales grâce à une mesure de similarité entre objets. La deuxième, de type Spectral Hashing ou Semantic Hashing, repose sur un codage binaire des variations des profils spectraux. On procède à des segmentations par clustering à l’aide d’un algorithme de k-modes adapté au caractère binaire des données à traiter et à l’aide d’une version généralisée de la distance classique de Hamming. La troisième utilise les informations riemanniennes des variétés issues des différentes façons de représenter géométriquement une image hyperspectrale. Les segmentations se font une nouvelle fois par clustering à l’aide d’un algorithme de k-means. Nous exploitons pour cela les propriétés géométriques de l’espace des matrices symétriques définies positives, induites par la métrique de Fisher Rao. / Hyperspectral images provided by modern spectrometers are composed of reflectance values at hundreds of narrow spectral bands covering a wide range of the electromagnetic spectrum. Since spectral reflectance differs for most of the materials or objects present in a given scene, hyperspectral image processing and analysis find many real-life applications. We address in this work the problem of unsupervised hyperspectral image segmentation following three distinct approaches. The first one is of Graph Embedding type and necessitates two steps : first, pixels of the original image patchs are compared using a spectral similarity measure and then objects obtained by local segmentations are fusioned by means of a similarity measure between objects. The second one is of Spectral Hashing or Semantic Hashing type. We first define a binary encoding of spectral variations and then propose a clustering segmentation relying on a k- mode classification algorithm adapted to the categorical nature of the data, the chosen distance being a generalized version of the classical Hamming distance. In the third one, we take advantage of the geometric information given by the manifolds associated to the images. Using the metric properties of the space of Riemannian metrics, that is the space of symmetric positive definite matrices, endowed with the so-called Fisher Rao metric, we propose a k-means algorithm to obtain a cluster partitioning of the image.

Dans cette thèse, nous étudions l'interpolation réelle des espaces de Sobolev et ses applications. Le manuscrit est constitué de deux parties. Dans la première partie, nous démontrons au premier chapitre que les espaces de Sobolev non homogènes W^1_p (resp. homogènes ) sur les variétés Riemanniennes complètes vérifiant la propriété de doublement et une inégalité de Poincaré forment une échelle d'interpolation réelle pour un intervalle de valeurs de p. Nous étendons ce résultat à d'autres cadres géométriques. Dans un deuxième court chapitre, nous comparons différents espaces de Sobolev sur le cone Euclidien et nous regardons le lien de ces espaces avec l'interpolation. Nous montrons sur cet exemple que l'hypothèse de Poincaré n'est pas une condition nécessaire pour pouvoir interpoler les espaces de Sobolev. Dans le dernier chapitre de cette partie, nous définissons les espaces de Sobolev non homog'nes W^1_p,V (resp. homogènes ) associés à un potentiel positif V sur une variété Riemannienne. Nous démontrons que si la variété véifie la propriété de doublement et une inégalité de Poincaré et si de plus V est dans une classe de Holder inverse, ces espaces forment aussi une échelle d'interpolation réelle pour un intervalle de valeurs de p. Nous étendons ce résultat aux cas des groupes de Lie. Dans la deuxième partie, dans un premier chapitre en collaboration avec E. Russ, nous étudions sur un graphe vérifiant la propriété de doublement et une inégalité de Poincaré, la Lp bornitude de la transformée de Riesz pour p > 2 et son inégalité inverse pour p < 2. Pour notre but, nous démontrons aussi des résultats d'interpolation des espaces de Sobolev et des inégalités de Littlewood-Paley. Dans le deuxième chapitre, nous démontrons en utilisant notre résultat d'interpolation, des inégalités de Gagliardo-Nirenberg sur les variétés Riemanniennes complètes vérifiant le doublement, des inégalités de Poincaré et pseudo-Poincaré. Ce résultat s'applique aussi dans le cadre des groupes de Lie et des graphes.

Ce travail de thèse se situe dans le contexte de l'appariement d'images par difféomorphismes qui a été récemment développé dans le but d'applications à l'anatomie computationnelle et l'imagerie médicale. D'un point de vue mathématique, on utilise l'action de groupe de difféomorphismes de l'espace euclidien pour décrire la variabilité des formes biologiques. <br /><br />Le cas des images discontinues n'était compris que partiellement. La première contribution de ce travail est de traiter complètement le cas des images discontinues en considérant comme modèle d'image discontinues l'espace des fonctions à variations bornées. On apporte des outils techniques pour traiter les discontinuités dans le cadre d'appariement par difféomorphismes. Ces résultats sont appliqués à la formulation Hamiltonienne des géodésiques dans le cadre d'un nouveau modèle qui incorpore l'action d'un difféomorphisme sur les niveaux de grille de l'image pour prendre en compte un changement d'intensité. La seconde application permet d'étendre la théorie des métamorphoses développée par A.Trouvé et L.Younes aux fonctions discontinues. Il apparait que la géométrie de ces espaces est plus compliquée que pour des fonctions lisses.<br /><br />La seconde partie de cette thèse aborde des aspects plus probabilistes du domaine. On étudie une perturbation stochastique du système Hamiltonien pour le cas de particules (ou landmarks). D'un point de vue physique, on peut interpréter cette perturbation comme des forces aléatoires agissant sur les particules. Il est donc naturel de considérer ce modèle comme un premier modèle de croissance de forme ou au moins d'évolutions aléatoires de formes.<br /><br />On montre que les solutions n'explosent pas en temps fini presque sûrement et on étend ce modèle stochastique en dimension infinie sur un espace de Hilbert bien choisi (en quelque sorte un espace de Besov ou Sobolev sur une base de Haar). En dimension infinie la propriété précédente reste vraie et on obtient un important (aussi d'un point de vue numérique) résultat de convergence du cas des particules vers le cas de dimension infinie. Le cadre ainsi développé est suffisamment général pour être adaptable dans de nombreuses situations de modélisation.

Dans cette thèse nous étudions la bornitude des transformées de Riesz associées aux opérateurs de Schrödinger avec des potentiels qui admettent des parties négatives.Cette étude a lieu dans un premier temps sur les espaces de Lebesgue Lp(RN, dx), puissur les espaces Lp(M, dx) où M est une variété Riemannienne de type homogène et dans un dernier temps sur les espaces à poids Lp(RN,wdx). Nous considérons également,sur ces espaces à poids, la bornitude du calcul fonctionnel holomorphe associé et la bornitude des puissances négatives de l’opérateur de Schrödinger. / In this thesis we study the boundedness of Riesz transforms associated to Schrödinger operators with potentials having negative parts. First we consider the boundednesson Lp(RN, dx), then on Lp(M, dx) where M is a Riemannian manifold of homogeneous type. Finally we treat the boundedness of Riesz transforms on Lp(RN,wdx). As we consider, on the weighted spaces, the boundedness of the associated holomorphicfunctional calculus and the boundedness of the negative powers of the Schrödinger operator.