Dans cette thèse on considère le prolongement méromorphe fini de la résolvante du laplacien libre sur une variété riemannienne connexe non compacte de dimension supérieure ou égale à 2. Ses pôles sont appelés résonances. On suppose que la variété possède certaines symétries comme S^1, (S^1)^m ou encore SO(n). Avec cette hypothèse, on construit des potentiels V dits isorésonants c'est-à-dire tels que le laplacien plus V ait les mêmes résonances que le laplacien libre avec les mêmes multiplicités. Au passage on est amené à estimer le bas du spectre du laplacien agissant sur les fonctions S^1 homogènes à support compact. On montre également que ces potentiels isorésonants peuvent modifier l'ordre des résonances. Enfin, les résonances sont parfois définies comme pôles de l'opérateur de diffusion : on montre que dans ce cadre on a aussi l'isorésonance de nos potentiels.

Ce mémoire d'habilitation à diriger des recherches présente de façon synthétique mon activité professionnelle après ma thèse (soutenue en septembre 2002) dont mes travaux de recherche. Ceux-ci furent principalement centrés autour des particules de masse nulle issues de représentations exotiques du groupe de Poincaré, en particulier celles de spin élevé (c'est-à-dire supérieur à deux). Le manuscrit est subdivisé en trois parties: pour commencer une fiche signalétique, ensuite le corps du texte et finalement des compléments. La fiche signalétique est structurée comme un curriculum vitæ traditionnel, tandis que le corps du texte est composé de deux chapitres: Le premier chapitre propose un panorama historique des particules de spin élevé et se voudrait une introduction conviviale pour non experts. Hormis quelques digressions à caractère historique, dont je prie le lecteur de me pardonner, le survol chronologique de ce domaine de recherche permet d'en rappeler les fondements théoriques, les motivations sous-jacentes et les principaux enjeux. Le deuxième chapitre propose une synthèse succinte de mes travaux concernant les particules élémentaires associées à des représentations exotiques du groupe de Poincaré, telles que les représentations dites à symétrie mixte, de spin élevé, de spin infini, en passant par les singletons.

Cette thèse est divisée en deux parties. La première est consacrée à l'étude des angles de mélange des fermions en Théorie Quantique des Champs (TQC). Nous montrons que, du fait de la non-orthonormalité de ses états propres de masse, la matrice de mélange d'un système non-dégénéré de fermions couplés ne peut pas être considérée comme unitaire ; puis, dans le cadre du Modèle Standard, que les angles de mélange des quarks et des leptons se révèlent compatibles avec une structure précise des courants neutres, où universalité et absence des courants changeant la saveur sont violées avec la même amplitude. Puis nous retrouvons de manière perturbative la non-unitarité de la matrice de mélange par l'annulation des transitions non-diagonales à une boucle entre états propres de masse. Nous étudions enfin les transformations de saveur pertinentes dans cette démarche, et esquissons un lien entre les courants neutres et la matrice de masse considérée habituellement pour des systèmes couplés. La deuxième partie présente les premiers résultats d'une étude générale des contraintes apportées en TQC par les symétries discrètes (parité P, conjugaison de charge C et renversement du temps T) sur le Lagrangien et le propagateur fermioniques. Nous montrons, dans le cas d'une génération, que ces derniers, écrits de la manière la plus générale compatible avec l'invariance de Lorentz, sont naturellement invariants sous le produit PCT, puis que les états propres d'un propagateur invariant sous C sont des fermions de Majorana.

On établit la meilleure constante dans les inégalités de Sobolev sur une variété riemannienne compacte quelconque lorsque les fonctions considérées sont invariantes par un groupe d'isométries quelconque. On éablit également la meilleure constante dans le cas d'exception des inégalités de Sobolev pour des fonctions invariantes par un groupe d'isométries. La connaissance précise de ces constantes permet d'obtenir des résultats d'existence de solutions d'équation aux dérivées partielles. On se pose ensuite la question de l'existence d'une seconde meilleure constante, et on établit un théorème donnant cette existence sous certaines conditions, conditions permettant toutefois de répondre à certains problèmes ouverts, ainsi qu'à tous les cas constructibles. La démonstration de ce théorème oblige à développer des techniques pointues d'analyse, notamment une étude de phénomène de concentration d'une suite de solutions d'une EDP. La démonstration fait également intervenir des résultats portant sur la géométrie des orbites.

A lot of developments made during the last years show that Kac-Moody algebras play an important role in the algebraic structure of some supergravity theories. These algebras would generate infinite-dimensional symmetry groups. The possible existence of such symmetries have motivated the reformulation of these theories as non-linear sigma-models based on the Kac-Moody symmetry groups. Such models are constructed in terms of an infinite number of fields parametrizing the generators of the corresponding algebra. If these conjectured symmetries are indeed actual symmetries of certain supergravity theories, a meaningful question to elucidate will be the interpretation of this infinite tower of fields. Another substantial problem is to find the correspondence between the sigma-models, which are explicitly invariant under the conjectured symmetries, and these corresponding space-time theories. The subject of this thesis is to address these questions in certain cases. This dissertation is divided in three parts. In Part I, we first review the mathematical background on Kac-Moody algebras required to understand the results of this thesis. We then describe the investigations of the underlying symmetry structure of supergravity theories. In Part II, we focus on the bosonic sector of eleven-dimensional supergravity which would be invariant under the extended symmetry E_{11}. We study its subalgebra E_{10} and more precisely the real roots of its affine subalgebra E_9. For each positive real roots of E_9 we obtain a BPS solution of eleven-dimensional supergravity or of its exotic counterparts. All these solutions are related by U-dualities which are realized via E_9 Weyl transformations. In Part III, we study the symmetries of pure N=2 supergravity in D=4. As is known, the dimensional reduction of this model with one Killing vector is characterized by a non-linearly realized symmetry SU(2,1). We consider the BPS brane solutions of this theory preserving half of the supersymmetry and the action of SU(2,1) on them. Infinite-dimensional symmetries are also studied and we provide evidence that the theory exhibits an underlying algebraic structure described by the Lorentzian Kac-Mody group SU(2,1)^{+++}. This evidence arises from the correspondence between the bosonic space-time fields of N=2 supergravity in D=4 and a one-parameter sigma-model based on the hyperbolic group SU(2,1)^{++}. It also follows from the structure of BPS brane solutions which is neatly encoded in SU(2,1)^{+++}. As a worthy by-product of our analysis, we obtain a regular embedding of su(2,1)^{+++} in E_{11} based on brane physics./ Nombreuses sont les recherches récentes indiquant que différentes théories de gravité couplée à un certain type de champs de matière pourraient être caractérisées par des algèbres de Kac-Moody. Celles-ci généreraient des symétries infinies-dimensionnelles. L'existence possible de ces symétries a motivé la reformulation de ces théories par des actions explicitement invariantes sous les transformations du groupe de Kac-Moody. Ces actions sont construites en termes d'une infinité de champs associés à l'infinité de générateurs de l'algèbre correspondante. Si la conjecture de ces symétries est exacte, qu'en est-il de l'interprétation de l'infinité de champs? Qu'en est-il d'autre part de la correspondance entre ces actions explicitement invariantes sous les groupes de Kac-Moody et les théories d'espace-temps correspondantes? C'est autour de ces questions que gravite cette thèse. Nous nous sommes d'abord focalisés sur le secteur bosonique de la supergravité à 11 dimensions qui possèderait selon diverses études une symétrie étendue E_{11}. Nous avons étudié la sous-algèbre E_{10} et plus particulièrement les racines réelles de sa sous-algèbre affine E_9. Pour chacune de ces racines, nous avons obtenu une solution BPS de la supergravité à 11 dimensions dépendant de deux dimensions d'espace non-compactes. Cette infinité de solutions résulte de transformations de Weyl successives sur des champs dont l'interprétation physique d'espace-temps était connue. Nous avons ensuite analysé les symétries de la supergravité N=2 à 4 dimensions dont le secteur bosonique contient la gravité couplée à un champ de Maxwell. Cette théorie réduite sur un vecteur de Killing est caractérisée par la symétrie SU(2,1). Nous avons considéré les solutions de brane BPS qui préservent la moitié des supersymétries ainsi que l'action du groupe SU(2,1) sur ces solutions. Les symétries infinies-dimensionnelles ont également été étudiées. D'une part, la correspondance entre les champs d'espace-temps de la théorie N=2 et le modèle sigma basé sur le groupe hyperbolique SU(2,1)^{++} est établie. D'autre part, on montre que la structure des solutions de brane BPS est bien encodée dans SU(2,1)^{+++}. Ces considérations argumentent le fait que la supergravité N=2 possèderait une structure algébrique décrite par le groupe de Kac-Moody Lorentzien SU(2,1)^{+++}.

Soit Г un graphe de Coxeter. Soient W le groupe de Coxeter, A le groupe d'Artin, et A+ le monoïde d'Artin, associés à Г. Soit G un groupe de symétries du graphe de Coxeter Г. Alors G agit sur W, A et A+, et il est connu que le sous-groupe fixe, WG, est un groupe de Coxeter, le sous-monoïde fixe, A+G, est un monoïde d'Artin, et, lorsque Г est de type sphérique, le sous-groupe fixe, AG, est un groupe d'Artin. Cette thèse étudie le comportement de WG, A+G et AG par rapport à des représentations fidèles de W, A et A+, respectivement.Dans un premier temps nous considérons les représentations enracinées introduites par Krammer dans sa thèse. Ce sont une généralisation des représentations canoniques. On se donne une telle représentation f : W → GL(V ) et on suppose que l'action de G sur les racines simples s'étend à V . Dans ce cas f induit une représentation linéaire fG : WG → GL(V G). Nous démontrons que cette représentation est aussi une représentation enracinée. En particulier, elle est fidèle.Dans un second temps nous supposons que Г est simplement lacé, c'est-à-dire que les arêtes de Г n'ont pas de poids. Nous considérons une représentation linéaire fidèle ψ : A+ → GL(E) introduite par Paris. Si Г est de type sphérique, alors cette représentation induit une représentation fidèle ψ : A → GL(E) du groupe. Dans le cas des groupe de tresses, c'est la célèbre représentation linéaire fidèle étudiée par Bigelow et Krammer. Nous démontrons que G agit aussi sur E, que la représentation ψ : A+ → GL(E) est équivariante, et qu'elle induit une représentation fidèle ψ : A+G → GL(EG). Si Г est de type sphérique, alors on obtient une représentation fidèle du groupe fixe, ψ : AG → GL(EG). Finalement, nous déterminons les cas où EG admet une base naturelle en bijection avec le système de racines positives de WG. Ce dernier résultat est motivé par la recherche d'une extension de la représentation ψ : A+ → GL(E) aux graphes qui ne sont pas simplement lacés. / Let Г be a Coxeter graph. Let W be the Coxeter group, A be the Artin group, and A+ be the Artin monoid associated with Г. Let G be a group of symmetries of Г. Then G acts on W, A and A+. The fixed subgroup WG is known to be a Coxeter group, the fixed submonoid A+G is known to be an Artin monoid, and, when Г is of spherical type, the fixed subgroup AG is known to be an Artin group. This thesis studies the behavior of WG, A+G and AG with respect to some faithful linear representations of W, A and A+, respectively.Firstly, we consider the rooted representations of the Coxeter groups introduced by Krammer in his Ph. D. Thesis. These are a generalization of the canonical representations. We take such a linear representation f : W → GL(V ), assuming that the action of G on the simple roots extends to V . Then f induces a linear representation fG : WG → GL(V G). We prove that fGis a rooted representation of WG. In particular, fG is faithful.Afterwards, we assume that Г is simply laced, that is, all the edges of Г are label free. Then we consider a faithful linear representation ψ : A+ → GL(E) introduced by Paris. If Г is of spherical type, this representation extends to a faithful linear representation ψ : A → GL(E) of the Artin group. In the case of the braid groups, it is the celebrated representation studiedby Bigelow and Krammer. Take a group G of symmetries of Г. We prove that G acts on E, that the representation ψ : A+ → GL(E) is equivariant, and that it induces a faithful linear representation ψ : A+G → GL(EG). If Г is of spherical type, then we get a faithful linear representation ψ : AG → GL(EG) of the fixed subgroup. Finally, we determine the cases where EG admits a natural basis in one-to-one correspondence with the positive root system of WG. This last result is motivated by the search of an extension of the linear representation ψ : A+ → GL(E) to Artin monoids (or groups) that are not simply laced.

Cette thèse est consacrée à l’étude et à la discussion de deux questions importantes qui se posent dans le domaine de la Programmation Mathématique: les symétries et les distances. En arrière-plan, nous examinons la Programmation Semidéfinie (PSD) et sa pertinence comme l’un des principaux outils employés aujourd’hui pour résoudre les Programmes Mathématiques (PM) durs. Après le chapitre introductif, nous discutons des symétries au Chapitre 2 et des distances au Chapitre 5. Entre ces deux chapitres, nous présentons deux courts chapitres que nous préférons en fait appeler entr’actes: leur contenu ne mérite pas d’être publié pour le moment, mais ils fournissent un lien entre les deux Chapitres 2 et 5 apparemment distincts, qui contiennent les principales contributions de cette thèse. Il est bien connu que les PMs symétriques sont plus difficiles à résoudre pour l’optimalité globale en utilisant des algorithmes du type Branch-and-Bound (B&B). Il est également bien connu que certaines des symétries de solution sont évidentes dans la formulation, ce qui permet d’essayer de traiter les symétries en tant qu’étape de prétraitement. L’une des approches les plus simples consiste à rompre les symétries en associant les Contraintes de Rupture de Symétrie (CRS) à la formulation, en supprimant ainsi des optima globaux symétriques, puis à résoudre la reformulation avec un solveur générique. Ces contraintes peuvent être générés à partir de chaque orbite de l’action des symétries sur l’ensemble des indices des variables. Cependant, il est difficile de savoir si et comment il est possible de choisir deux ou plus orbites distinctes pour générer des CRSs qui sont compatibles les unes avec les autres (elles ne rendent pas tous les optima globaux infaisables). Dans le Chapitre 2, nous discutons et testons un nouveau concept d’Indépendance Orbitale (IO) qui clarifie cette question. Les expériences numériques réalisées à l’aide de PLMEs et de PNLMEs soulignent l’exactitude et l’utilité de la théorie de l’IO. Programmation Quadratique Binaire (PQB) est utilisée pour étudier les symétries et SDP dans Entr'acte 3. Programmes quadratiques binaires symétriques ayant une certaine structure de symétrie sont générés et utilisés pour illustrer les conditions dans lesquelles l'utilisation de CRSs est avantageuse. Une discussion préliminaire sur l'impact des symétries et des CRSs dans la performance des solveurs PSD est également réalisée. Le Problème Euclidien de l'Arbre de Steiner est étudié dans Entr'acte 4. Deux modèles sont dérivés, ainsi que des relaxations SDP. Un algorithme heuristique basé à la fois sur les modèles mathématiques et sur les principes d'IO présentés au Chapitre 2 est également proposé. Concernant ces méthodes, des résultats préliminaires sur un petit ensemble d'exemples bien connus sont fournis. Finalement, dans le Chapitre 5, nous abordons le problème fondamental qui se pose dans le domaine de la Géométrie de Distance: il s’agit de trouver une réalisation d’un graphe pondéré non orienté dans RK pour un certain K donné, de sorte que les positions pour les sommets adjacents respectent la distance donnée par le poids de l’arête correspondante. Le Problème de la Géométrie de Distance Euclidienne (PGDE) est d’une grande importance car il a de nombreuses applications en science et en ingénierie. Il est difficile de calculer numériquement des solutions, et la plupart des méthodes proposées jusqu’à présent ne sont pas adaptées à des tailles utiles ou sont peu susceptibles d’identifier de bonnes solutions. La nécessité de contraindre le rang de la matrice représentant des solutions réalisables du PGDE rend le problème si difficile. Nous proposons un algorithme heuristique en deux étapes basé sur la PSD (en fait basé sur le paradigme de la PDD) et la modélisation explicite de Contraintes de Rang. Nous fournissons tests informatiques comprenant des instances générées de façon aléatoire ainsi que des exemples réalistes de conformation de protéines. / This thesis is mostly dedicated to study and discuss two important challenges existing not only in the field of Mathematical Programming: symmetries and distances. In the background we take a look into Semidefinite Programming (SDP) and its pertinency as one of the major tools employed nowadays to solve hard Mathematical Programs (MP). After the introductory Chapter 1, we discuss about symmetries in Chapter 2 and about distances in Chapter 5. In between them we present two short chapters that we actually prefer to call as entr’actes: their content is not necessarily worthy of publication yet, but they do provide a connection between the two seemingly separate Chapters 2 and 5, which are the ones containing the main contributions of this thesis. It is widely known that symmetric MPs are harder to solve to global optimality using Branch-and-Bound (B&B) type algorithms, given that the solution symmetry is reflected in the size of the B&B tree. It is also well-known that some of the solution symmetries are usually evident in the formulation, which makes it possible to attempt to deal with symmetries as a preprocessing step. Implementation-wise, one of the simplest approaches is to break symmetries by adjoining Symmetry-Breaking Constraints (SBC) to the formulation, thereby removing some symmetric global optima, then solve the reformulation with a generic solver. Sets of such constraints can be generated from each orbit of the action of the symmetries on the variable index set. It is unclear, however, whether and how it is possible to choose two or more separate orbits to generate SBCs which are compatible with each other (in the sense that they do not make all global optima infeasible). In Chapter 2 we discuss and test a new concept of Orbital Independence (OI) that clarifies this issue. The numerical experiences conducted using public MILPs and MINLPs emphasize the correctness and usefulness of the OI theory. Binary Quadratic Programming (BQP) is used to investigate symmetries and SDP in Entr'acte 3. Symmetric Binary Quadratic Programs having a certain symmetry structure are generated and used to exemplify the conditions under which the usage of SBCs is majoritarily advantageous. A preliminary discussion about the impact of symmetries and SBCs in the performance of SDP solvers is also carried out. The Euclidean Steiner Tree Problem is studied in Entr'acte 4. Two models (which are exact reformulations of an existing formulation) are derived, as well as SDP relaxations. A heuristic algorithm based on both the mathematical models and the OI principles presented in Chapter 2 is also proposed. As concerns these methods, preliminary results on a small set of well-known instances are provided. Finally and following up the Distance Geometry subject, in Chapter 5 we cope with the most fundamental problem arising in the field of Distance Geometry, the one of realizing graphs in Euclidean spaces: it asks to find a realization of an edge-weighted undirected graph in RK for some given K such that the positions for adjacent vertices respect the distance given by the corresponding edge weight. The Euclidean Distance Geometry Problem (EDGP) is of great importance since it has many applications to science and engineering. It is notoriously difficult to solve computationally, and most of the methods proposed so far either do not scale up to useful sizes, or unlikely identify good solutions. In fact, the need to constrain the rank of the matrix representing feasible solutions of the EDGP is what makes the problem so hard. Intending to overcome these issues, we propose a two-steps heuristic algorithm based on SDP (or more precisely based on the very recent Diagonally Dominant Programming paradigm) and the explicitly modeling of Rank Constraints. We provide extensive computational testing against randomly generated instances as well as against feasible realistic protein conformation instances taken from the Protein Data Bank to analyze our method.

Les modèles théoriques qui prônent l’existence d’un filtrage en symétrie dans les électrodes ferromagnétiques n’ont jamais souffert d’autre justification que leur potentiel à éclairer les résultats expérimentaux. En la matière, les jonctions tunnel magnétiques Fe/MgO/Fe(001) apparaissent être un outil approprié pour confronter expérience et théorie de par leur haute qualité cristalline, cette dernière étant essentielle pour se rapprocher au plus près des considérations théoriques. Les premières mesures de bruit basse fréquence réalisées sur ce système en démontrent la qualité remarquable, paramètres primordiaux au bon déroulement des mécanismes de transport tunnel. L’étude de la dynamique du courant a permis de montrer l’existence d’un mode de transport tunnel direct d’une électrode à l’autre et d’invalider un mode de transport séquentiel via des défauts dans la barrière. L’intégration de films minces de Cr(001) dans ce système idéal a permis de valider de façon non ambigüe l’existence effective du filtrage en symétrie suite à l’apparition d’états de puits quantiques pour une seule symétrie électronique dans des jonctions Fe/Cr/Fe/MgO/Fe. Ce résultat phare met aussi en évidence un mode de transport tunnel cohérent et balistique. La validation de ces concepts autorise l’étude de l’injection de spin dépendant des symétries dans des matériaux plus complexes, comme des films minces de Fe3O4(001). Ces derniers ont fait l’objet d’une étude structurale approfondie et ont amené à des résultats de magnéto-transport encourageants suite à leur intégration dans des dispositifs tunnel à base de MgO(001). / The symmetry-filtering into the ferromagnets as predicted by the theoreticians has never suffered of any other justification than its ability to shed the light on the experimental observations. Fe/MgO/Fe(001) junctions are then an appropriate tool to test its validity thanks to their high crystallinity. The first performed low frequency noise measurements have proved the well-suited quality of this kind of junctions and the study of the current’s dynamic through the system, its pure direct tunneling. By using Cr(001) thin films, the symmetry-filtering has been unambiguously highlighted with the occurrence of quantum-well states only for one specific electronic symmetry in Fe/Cr/Fe/MgO/Fe(001). Thus, the validity of the theoretical concepts allows investigating the symmetry-dependent spin-injection into more complex systems such as Fe3O4(001) thin films which have revealed theirselves as promising to integrate into MgO(001)-based tunnel devices.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.