La théorie électrofaible de Glashow-Salam-Weinberg est l'une des plus belles réussites de la théorie des champs ; elle est testée avec une grande précision dans les expériences de physique des particules. Néanmoins, cette théorie souffre de quelques insuffisances en ce sens qu'un certain nombre de paramètres, notamment ceux caractérisant la masse des particules élémentaires, prennent des valeurs peu naturelles au sens de 't Hooft. De surcroît, les forces de gravitation, dont la quantification pose de sérieuses difficultés, ne sont pas prises en compte. L'objet de cette thèse est l'étude de théories d'extension du modèle standard inspirées de la théorie des cordes. Cette étude possède un aspect théorique avec la construction de théories effectives décrivant la dynamique d'objets solitoniques de la théorie des cordes en couplage fort, et offre également une approche plus phénoménologique par l'examen des conséquences, observables à basse énergie, des symétries des théories à haute énergie : ces symétries pourraient par exemple être à l'origine de la hiérarchie de masse des fermions. Il est également montré comment caractériser le vide de la théorie des cordes en couplage fort par les propriétés géométriques de l'espace compactifié, caractérisation conduisant à une solution phénoménologiquement acceptable aux problèmes de l'unification de la gravitation et de la brisure spontanée de la supergravité.

Le but de mes travaux de recherche est de rendre, autant que possible, algorithmique l'étude des modèles composés par des équations différentielles paramétriques. Je me concentre aux algorithmes basés sur les symétries de Lie étendues pour les modèles de taille moyenne (environ vingt variables). Je présente deux méthodes de simplification exacte : la réduction du nombre des variables d'un modèle et sa reparamétrisation pour distinguer le rôle de ses paramètres. Les systèmes simplifiés sont équivalents aux systèmes originaux par des relations implicites ou explicites (suivant la méthode choisie). Ces algorithmes, grâce aux stratégies de calcul utilisées et aux restrictions sur les objets étudiés, ont une complexité temporelle polynomiale en la taille de l'entrée. Ils sont implémentés dans les paquetages MABSys et ExpandedLiePointSymmetry. Les modèles simplifiés issus de ces algorithmes facilitent diverses études comme l'analyse qualitative symbolique ou numérique. J'illustre mes travaux sur une famille de réseaux génétiques avec un seul gène autorégulé en faisant une analyse symbolique complète. Mon exemple principal appartient au domaine des réseaux de régulation génétique mais l'application des méthodes que je présente n'est pas limitée à la biologie intracellulaire.

Ce mémoire est une partie d’un programme de recherche qui étudie la superintégrabilité des systèmes avec spin. Plus particulièrement, nous nous intéressons à un hamiltonien avec interaction spin-orbite en trois dimensions admettant une intégrale du mouvement qui est un polynôme matriciel d’ordre deux dans l’impulsion. Puisque nous considérons un hamiltonien invariant sous rotation et sous parité, nous classifions les intégrales du mouvement selon des multiplets irréductibles de O(3). Nous calculons le commutateur entre l’hamiltonien et un opérateur général d’ordre deux dans l’impulsion scalaire, pseudoscalaire, vecteur et pseudovecteur. Nous donnons la classification complète des systèmes admettant des intégrales du mouvement scalaire et vectorielle. Nous trouvons une condition nécessaire à remplir pour le potentiel sous forme d’une équation différentielle pour les cas pseudo-scalaire et pseudo-vectoriel. Nous utilisons la réduction par symétrie pour obtenir des solutions particulières de ces équations. / This thesis is part of a research program studying superintegrable systems with spin. In particular, we consider a Hamiltonian with a spin-orbital interaction in three dimensions admitting an integral of motion that is a matrix polynomial second order in the momenta. Since we are considering a Hamiltonian which is invariant under rotation and parity, we classify the integrals of motion into irreducible O(3) multiplets. We obtain the commutator of the Hamiltonian with the scalar, pseudoscalar, vector and axial vector operators. We provide a complete classification for the scalar and vector cases. We find the necessary condition for superintegrability on the potential as a differential equation. We use symmetry reduction methods to obtain particular solutions of this equation.

Cette thèse de doctorat traite d’un cadre en géométrie complexe et de méthodes pouvant y être développées pour résoudre des ensembles d’équations différentielles compatibles venant de systèmes intégrables, classiques ou quantiques, dans le contexte de la géométrie d’espaces de modules de connexions au-dessus de courbes complexes, ou surfaces de Riemann. Elle vient de l’idée en physique mathématique que les symétries des systèmes intégrables imposent aux objets d’intérêt (fonctions de partitions ou de corrélations) des contraintes algébro-différentielles nommées équations de boucles. Le but est par la suite de résoudre ces contraintes par récurrence dans des régimes dits topologiques en utilisant une procédure nommée récurrence topologique. Leurs solutions sont en général les fonctions génératrices de quantités issues de problèmes de géométrie énumérative. Étant principalement déterminées par les conditions initiales de la récurrence, on produit au passage une classification algébro-géométrique de la famille de systèmes intégrables considérée. / This PhD thesis is about a framework in complex geometry and methods thereof for solving sets of compatible differential equations arising from integrable systems, classical or quantum, in the context of the geometry of moduli spaces of connections over complex curves, or Riemann surfaces. It is based on the idea in mathematical Physics that integrable systems posess symmetries that impose algebro-differential constraints, so-called loop equations, on the objects of interest (e.g. partition or correlation functions). In turn, we intend to solve these constraints recursively in certain topological regimes using a particular procedure called the topological recursion. Their solutions are in general generating functions of enumerative-geometric quantities. Since they are for the most part determined by the initial data of the recursive process, it realizes in the making an algebro-geometric classification of the family of integrable models under consideration.

Cette thèse traite de la vérification formelle de systèmes critiques où la correction du système dépend du respect des contraintes temporelles. La première partie étudie la modélisation et la vérification formelle par model-checking de systèmes temps réel dans le contexte de l’industrie aéronautique et spatiale. La deuxième partie décrit notre méthode d’exploitation des symétries pour les réseaux de Petri temporels. Nous définissons un opérateur de composition symétrique pour la construction de réseaux. Puis nous proposons des solutions pour la construction d’espaces d’états quotients par la relation d’équivalence induite par les symétries. Notre méthode s’applique aux réseaux de Petri, temporels ou non. A notre connaissance il s’agit de la première méthode applicable aux réseaux de Petri temporels. Des résultats expérimentaux encourageants sont présentés. / This thesis deals with formal verification of critical systems where the system’s correction depends on compliance with time constraints. The first part studies the formal modeling and verification by model-checking of realtime systems in the context of the aerospace industry. The second part describes our method for symmetry reduction of Time Petri Net. We define a symmetric composition operator for building Net. Then we present our solution for construction of quotients of the state spaces by the equivalence relation induced by symmetries. Our method applies to Petri nets, temporal or not, but to our knowledge this is the first methodology for Time Petri Nets. Encouraging experimental results are presented.

Ce travail aborde trois problèmes fondamentaux liés au comportement mécanique de matériaux tissés. Dans une première partie, le modèle de Wang et Pipkin pour des tissés, décrits comme des réseaux de fibres inextensibles comportant une résistance au cisaillement et à la flexion, est généralisé en un modèle prenant en compte la résistance à la torsion des fibres. Une application au comportement d’une coque cylindrique constituée de fibres hélicoïdales est traitée. Dans une deuxième partie, nous analysons l’impact de la géométrie de l’armure du tissé sur les propriétés de symétrie de l’énergie de déformation. Pour des réseaux constitués de deux familles de fibres, quatre configurations distinctes d’armure existent, selon l’angle entre les fibres et les propriétés mécaniques des fibres. Les propriétés de symétrie de l’armure déterminent le groupe de symétrie matérielle du réseau, sous l’action duquel la densité d’énergie est invariante. Dans ce contexte, des représentations des énergies de déformation d’un tissé invariantes par le groupe de symétrie matérielle du réseau sont établies. La relation entre les invariants du groupe et la courbure des fibres est analysée. Dans une troisième partie, des modèles de textiles considérés comme des surfaces dotées d’une microstructure sont élaborés, à partir d’une modification des modèles classiques de coques de Cosserat, dans lesquels la microstructure décrit les ondulations des fils à l’échelle microscopique. A partir d’une représentation du fil comme un elastica d’Euler, une expression explicite de l’énergie élastique microscopique est obtenue, qui permet d’établir un modèle simple du comportement mécanique macroscopique de tissés / In this work, we discuss three basic problems related to the mechanical behavior of textile materials. First, we extend the model of Wang and Pipkin for textiles, described as networks of inextensible fibers with resistance to shear and bending, to a model in which resistance to twist of the individual fibers is taken into account, by including torsion contributions in the elastic stored energy. As an example, we study the behaviour of a cylindrical shell made of helical fibers. Second, we study how the geometry of the weave pattern affects the symmetry properties of the deformation energy of a woven fabric. For networks made by two families of fibers, four basic types of weave patterns are possible, depending on the angle between the fibers and on their material properties. The symmetry properties of the pattern determine the material symmetry group of the network, under which the stored energy is invariant. In this context, we derive representations for the deformation energy of a woven fabric that are invariant under the symmetry group of the network, and discuss the relation of the resulting group invariants with the curvature of the fibers. Third, we develop a model for textiles viewed as surfaces with microstructure, using a modification of the classical Cosserat model for shells, in which the microstructure accounts for the undulations of the threads at the microscopic scale. Describing the threads as Euler's elastica, we derive an explicit expression for the microscopic elastic energy that allows to set up a simple model for the macroscopic mechanical behavior of textiles

Ce texte étudie le groupe quantique Uξ sl(2|1) associé à la superalgèbre de Lie sl(2|1) et une catégorie de ses représentations de dimension finie. L'objectif est de construire des invariants topologiques de 3-variétés en utilisant la notion de trace modifiée. D'abord nous prouvons que la H catégorie CH des modules de poids nilpotents sur Uξ sl(2|1) est enrubannée et qu'il existe une trace modifiée sur son idéal des modules projectifs. De plus CH possède une structure relativement G-prémodulaire ce qui est une condition suffisante pour construire un invariant de 3-variétés à la Costantino-Geer-Patureau. Cet invariant est le cœur d'une 1+1+1-TQFT (Topological Quantum Field Theory). D'autre part Hennings a proposé à partir d'une algèbre de Hopf de dimension finie une construction d’invariants qui dispense de considérer la catégorie de H l l ses représentations. Nous montrons que le groupe quantique déroulé Uξ sl(2|1)/(e1 , f1 ) possède une complétion qui est une algèbre de Hopf enrubannée topologique. Nous construisons un invariant de 3-variétés à la Hennings en utilisant cette structure algébrique, une transformation de Fourier discrète et la notion de G-intégrales. L'intégrale dans une algèbre de Hopf est centrale dans la construction de Hennings. La notion de trace modifiée dans une catégorie s'est récemment révélée être une généralisation des intégrales dans les algèbres de Hopf de dimension finie. Dans un contexte plus général d'algèbre de Hopf de dimension infinie nous prouvons la relation formulée entre la trace modifiée et la G -intégrale. / This text studies the quantum group Uξ sl(2|1) associated with the Lie superalgebra sl(2|1) and a category of finite dimensional representations. The aim is to construct the topological invariants of 3-manifolds using the notion of modified trace. We first prove that the category CH of the nilpotent weight modules over Uξ sl(2|1) is ribbon and that there exists a modified trace on its ideal of projective modules. Furthermore, CH possesses a relative G-premodular structure which is a sufficient condition to construct an invariant of 3-manifolds of Costantino-Geer-Patureau type. This invariant is the heart of a 1+1+1-TQFT (Topological Quantum Field Theory). Next Hennings proposed from a finite dimensional Hopf algebra, a construction of invariants which does not require to consider the category of its representations. We show that the unrolled H l l quantum group Uξ sl(2|1)/(e1 , f1 ) has a completion which is a topological ribbon Hopf algebra. We construct an invariant of 3-manifolds of Hennings type using this algebraic structure, a discrete Fourier transform, and the notion of G-integrals. The integral in a Hopf algebra is central in the construction of Hennings. The notion of modified trace in a category has recently been revealed to be a generalization of the integrals in a finite dimensional Hopf algebra. In a more general context of infinite dimensional Hopf algebras we prove the relation formulated between the modified trace and the G-integral.

Le premier objet de cette thése est de présenter une méthode de résolution pour l'équation de scission modulaire, équation qui permet de déterminer les symétries quantiques d'une théorie de champs conforme. On peut l'utiliser dans le cadre des théories associées aux graphes simplement lacés (les ADE de la famille SU2, ou leurs généralisations) et retrouver ainsi des résultats connus, en particulier la structure des groupoides quantiques associés.<br />Le second objet de cette thése est d'appliquer cette technique dans le cadre plus général des graphes non simplement lacés afin de déterminer les algébres de symétries quantiques correspondantes, et d'explorer leurs propriétés. Plusieurs exemples de ce type sont analysés.

La prédiction et l'observation de très forts taux de magnétorésistance tunnel (TMR) dans des jonctions tunnel magnétiques à base de MgO a ouvert de nouvelles perspectives d'applications dans le domaine de l'électronique de spin. Ces forts taux de TMR ne peuvent s'expliquer qu'en prenant en compte la structure cristalline des électrodes et le filtrage de la barrière tunnel dépendant des symétries. <br />Un dispositif original de mesures de transport sous champ magnétique d'objets de taille nanométrique a été développé au cours de cette thèse. Il associe une électronique d'acquisition rapide et un Microscope à Force Atomique (AFM) muni d'une pointe métallique. Ce dispositif très versatile permet de contacter électriquement et d'étudier de différents types de nano-objets sans étapes compliquées de nanofabrication. <br />Ce dispositif a été utilisé pour étudier l'influence des interfaces sur le transport dans des jonctions tunnel Fe/MgO/Fe (100) cristallines obtenues par épitaxie. Deux états résonants d'interface (IRS) ont été observés pour la première fois dans ce système à 0.2eV et 1.1eV au dessus du niveau de Fermi pour les électrons minoritaires. Ces IRS modifient fortement le transport tunnel et le dominent autour de 1V avec une inversion de la TMR dynamique. Une étude en fonction de l'épaisseur de MgO a permis de trouver la symétrie dominant le transport de ces IRS.

Les algèbres d'endomorphismes peuvent remplacer la notion de fibré principal. Dans ce cadre algébrique, les théories de jauge sont reformulées et généralisées, unifiant ainsi connexions ordinaires et champs de Higgs. Un modèle de "Maxwell non commutatif" est construit pour des fibrés non triviaux nécessitant le développement de la notion de structure Riemannienne. Les techniques de la géométrie non commutative utiles à l'étude des algèbres associatives sont présentées et une nouvelle méthode permettant d'obtenir le morphisme de Chern-Weil usuel est développée. Ensuite, les résultats d'une étude sur les connexions non commutatives généralisent ceux connus sur les fibrés symétriques; une extension de l'ansatz de Witten est énoncée. Enfin, une action est proposée pour généraliser le modèle de Born-Infeld à des connexions non commutatives. Les Lagrangiens obtenus sont non polynomiaux et on étudie l'existence de solutions de type solitonique sur quelques exemples explicites.