En 2008, Losert [3] résout le fameux problème de dérivation, resté ouvert depuis les années 1960. Le raisonnement de Losert s'articule autour d'un résultat central pour lequel Bader, Gelander et Monod [1] arrivent à trouver une courte preuve en 2012. Celle-ci découle d'un nouveau théorème de point fixe qui, outre son rôle dans la résolution du problème de dérivation, est intéressant en soi car il ne fait intervenir que les propriétés géométriques de l'espace ambiant, et non un argument de compacité ou un quelconque principe de contraction. Le présent mémoire donne une démonstration détaillée de ce nouveau théorème, tout en rappelant préalablement les bases topologiques et algébriques sur lesquelles il repose.

L’objectif de ce travail de thèse est d’étudier quelques problèmes elliptiques et paraboliques d’écoulement de fluides non Newtoniens incompressibles et non isothermes gouvernés par l’équation aux dérivées partielles de Stokes avec la condition de Tresca sur une partie du bord quand la viscosité dépend à la fois de la température, de la vitesse et du module du tenseur des taux de déformations. Dans le premier chapitre, on a fait une introduction générale. Dans le deuxième chapitre, nous nous intéressons au couplage entre le système de Stokes et l’équation de la chaleur en régime stationnaire. On montre l’existence de la solution de l’inéquation variationnelle décrivant le système de Stokes pour une température donnée quand la viscosité dépend à la fois de la température, de la vitesse et du module du tenseur des taux de déformations en utilisant la méthode de monotonie pour la vitesse et le théorème de De Rham pour la pression. Dans un deuxième temps, on étudie l’existence et l’unicité de la température solution de l’équation de la chaleur avec un terme L1(Ω) au second membre quand la viscosité dépend à la fois de la température, de la vitesse et du module du tenseur des taux de déformations. On montre ensuite l’existence de la solution du problème variationnel couplé avec la viscosité dépend de la température et du module du tenseur des taux de déformations, en utilisant le théorème de point fixe de Schauder. Dans le troisième et le quatrième chapitre, on traite l’existence et l’unicité de la solution du système de Stokes en régime instationnaire quand la viscosité dépend de la température et du module du tenseur des taux de déformations dans les cas p = 2, p > 2 et 6 5 < p < 2 en utilisant la notion des semi-groupes et la méthode de monotonie pour la vitesse et le théorème de De Rham pour la pression. Par contre, lorsque la viscosité dépend de plus de la vitesse on obtient seulement l’existence par le théorème de point fixe de Schauder / The objective of this thesis is to study some elliptic and parabolic problems of the non-Newtonian flow of an incompressible and non isothermal fluid governed by partial differential equation of Stokes with Tresca’s condition on a part of the boundary when the fluid viscosity depends on temperature and also on the modulus of strain rate tensor and the velocity of the fluid. In the first chapter, we did a general introduction. In the second chapter, we consider the coupling between the Stokes systemand the heat equation in steady state. We prove the existence of a solution of the variational inequality describing the Stokes system when the fluid viscosity depends on temperature and also on the modulus of strain rate tensor and the velocity of the fluid of a given temperature by using the monotony methods for the velocity and De Rham’s theorem for the pressure. We study the existence and uniqueness of the temperature solution of the heat equation with L1 (Ω) term to the second member when the fluid viscosity depends on temperature and also on the modulus of strain rate tensor and the velocity of the fluid. We show the existence of a solution of the coupled variational problem when the fluid viscosity depends on temperature and also on the modulus of strain rate tensor by using Schauder fixed point theorem. In the third and the fourth chapter, we treate the existence and uniqueness of a solution of the Stokes system in unsteady state when the fluid viscosity depends only on temperature and on the modulus of strain rate tensor in the cases p = 2, p > 2 and 6 5 < p < 2 by using the notion of semigroup and monotony methods for the velocity and De Rham’s theorem for the pressure. However, when the fluid viscosity depends also on the velocity of the fluid we obtain only the existence by Schauder fixed point theorem

L'objet de cette thèse est l'étude de modèles mathématiques pour les phénomènes de couplage entre l'écoulement de fluides et la déformation mécanique du sol lors de l'extraction d'hydrocarbures en milieu poreux. Dans la partie théorique, on considère deux modèles de couplage, d'une part (1) entre les déformations du sol et un écoulement linéaire compressible, et d'autre part (2) entre les déformations du sol et un écoulement diphasique non linéaire. Pour le modèle (1), on prouve l'existence et l'unicité d'une solution faible par la méthode de Galerkin. Le modèle (2) est fortement couplé et comporte une équation parabolique dégénérée; pour démontrer l'existence de solution, on considère une suite de problèmes uniformément paraboliques associés et on démontre qu'ils admettent une solution classique l'aide du théorème de point fixe de Schauder. On s'appuie ensuite sur le théorème de Fréchet-Kolmogorov pour prouver la compacité relative des suites de solutions et établir la convergence d'une sous-suite vers une solution faible du problème initial. Dans une seconde partie, on aborde l'étude numérique. On compare deux algorithmes pour les modèles de couplage. Le premier, utilisé par les ingénieurs du pétrole, est basé sur une méthode de point fixe; le second, que nous proposons et qui est plus robuste que le premier, s'appuie sur la méthode du gradient conjugué préconditionné.

Dans cette thèse, nous étudierons les médianes d'une mesure de probabilité dans une variété riemannienne. Dans un premier temps, l'existence et l'unicité des médianes locales seront montrées. Afin de calculer les médianes aux cas pratiques, nous proposerons aussi un algorithme de sous-gradient et prouverons sa convergence. Ensuite, les médianes de Fréchet seront étudiées. Nous montrerons leur cohérence statistique et donnerons des estimations quantitatives de leur robustesse à l'aide de courbures. De plus, nous montrerons que, dans les variétés riemanniennes compactes, les médianes de Fréchet de données génériques sont toujours uniques. Des algorithmes stochastiques et déterministes seront proposés pour calculer les p-moyennes de Fréchet dans les variétés riemanniennes. Un lien entre les médianes et les problèmes de points fixes sera aussi montré. Finalement, nous appliquerons les médiane et la géométrie riemannienne des matrices de covariance Toeplitz à la détection de cible radar.

Le principe de contraction de Banach, qui garantit l'existence d'un point fixe d'une contraction d'un espace métrique complet à valeur dans lui-même, est certainement le plus connu des théorèmes de point fixe. Dans plusieurs situations concrètes, nous sommes cependant amenés à considérer une contraction qui n'est définie que sur un sous-ensemble de cet espace. Afin de garantir l'existence d'un point fixe, nous verrons que d'autres hypothèses sont évidemment nécessaires. Le théorème de Caristi, qui garantit l'existence d'un point fixe d'une fonction d'un espace métrique complet à valeur dans lui-même et respectant une condition particulière sur d(x,f(x)), a plus tard été généralisé aux fonctions multivoques. Nous énoncerons des théorèmes de point fixe pour des fonctions multivoques définies sur un sous-ensemble d'un espace métrique grâce, entre autres, à l'introduction de notions de fonctions entrantes. Cette piste de recherche s'inscrit dans les travaux très récents de mathématiciens français et polonais. Nous avons obtenu des généralisations aux espaces de Fréchet et aux espaces de jauge de quelques théorèmes, dont les théorèmes de Caristi et le principe variationnel d'Ekeland. Nous avons également généralisé des théorèmes de point fixe pour des fonctions qui sont définies sur un sous-ensemble d'un espace de Fréchet ou de jauge. Pour ce faire, nous avons eu recours à de nouveaux types de contractions; les contractions sur les espaces de Fréchet introduites par Cain et Nashed [CaNa] en 1971 et les contractions généralisées sur les espaces de jauge introduites par Frigon [Fr] en 2000. / The Banach contraction principle, which certifies that a contraction of a complete metric space into itself has a fixed point, is for sure the most famous of all fixed point theorems. However, in many case, the contraction we consider is only defined on a subset of a complete metric space. Of course, to certify that such a contraction has a fixed point, we need to add some restrictions. The Caristi theorem, which certifies the existence of a fixed point of a function of a complete metric space into itself satisfying a particular condition on d(x,f(x)), was later generalized to multivalued functions. By introducing different types of inwardness assumptions, we will be able to state some fixed point theorems for multivalued functions defined on a subset of a metric space. This is related to the recent work of French and Polish mathematicians. We were able to generalize some theorems to Fréchet spaces and gauge spaces such as the Caristi theorems and the Ekeland variational principle. We were also able to generalize some fixed point theorems for functions that are only defined on a subset of a Fréchet space or a gauge space. To do so, we used new types of contractions; contractions on Fréchet spaces introduced by Cain and Nashed [CaNa] in 1971 and generalized contractions on gauge spaces introduced by Frigon [Fr] in 2000.

Le principe de contraction de Banach, qui garantit l'existence d'un point fixe d'une contraction d'un espace métrique complet à valeur dans lui-même, est certainement le plus connu des théorèmes de point fixe. Dans plusieurs situations concrètes, nous sommes cependant amenés à considérer une contraction qui n'est définie que sur un sous-ensemble de cet espace. Afin de garantir l'existence d'un point fixe, nous verrons que d'autres hypothèses sont évidemment nécessaires. Le théorème de Caristi, qui garantit l'existence d'un point fixe d'une fonction d'un espace métrique complet à valeur dans lui-même et respectant une condition particulière sur d(x,f(x)), a plus tard été généralisé aux fonctions multivoques. Nous énoncerons des théorèmes de point fixe pour des fonctions multivoques définies sur un sous-ensemble d'un espace métrique grâce, entre autres, à l'introduction de notions de fonctions entrantes. Cette piste de recherche s'inscrit dans les travaux très récents de mathématiciens français et polonais. Nous avons obtenu des généralisations aux espaces de Fréchet et aux espaces de jauge de quelques théorèmes, dont les théorèmes de Caristi et le principe variationnel d'Ekeland. Nous avons également généralisé des théorèmes de point fixe pour des fonctions qui sont définies sur un sous-ensemble d'un espace de Fréchet ou de jauge. Pour ce faire, nous avons eu recours à de nouveaux types de contractions; les contractions sur les espaces de Fréchet introduites par Cain et Nashed [CaNa] en 1971 et les contractions généralisées sur les espaces de jauge introduites par Frigon [Fr] en 2000. / The Banach contraction principle, which certifies that a contraction of a complete metric space into itself has a fixed point, is for sure the most famous of all fixed point theorems. However, in many case, the contraction we consider is only defined on a subset of a complete metric space. Of course, to certify that such a contraction has a fixed point, we need to add some restrictions. The Caristi theorem, which certifies the existence of a fixed point of a function of a complete metric space into itself satisfying a particular condition on d(x,f(x)), was later generalized to multivalued functions. By introducing different types of inwardness assumptions, we will be able to state some fixed point theorems for multivalued functions defined on a subset of a metric space. This is related to the recent work of French and Polish mathematicians. We were able to generalize some theorems to Fréchet spaces and gauge spaces such as the Caristi theorems and the Ekeland variational principle. We were also able to generalize some fixed point theorems for functions that are only defined on a subset of a Fréchet space or a gauge space. To do so, we used new types of contractions; contractions on Fréchet spaces introduced by Cain and Nashed [CaNa] in 1971 and generalized contractions on gauge spaces introduced by Frigon [Fr] in 2000.

La présente thèse est divisée en deux parties. La première partie concerne l'analyse mathématique et la contrôlabilité exacte à zéro pour une catégorie de systèmes structurés décrivant la dynamique d'une population d'insectes. La seconde partie est consacrée à l'étude de la stabilité de la conductivité d'un système de réaction diffusion modélisant l'activité électrique du coeur.Dans le chapitre 2, on considère que la population d'adultes se diffuse dans la vignoble,la fonction de la croissance des individus à chaque stade dépend des variations climatiques et de la variété des raisins. En utilisant la méthode de point fixe, on obtient l'existence et l'unicité des solutions du modèle. On démontre ensuite l'existence d'un attracteur global pour le système dynamique. Enfin, on utilise la théorie des opérateurs compacts et le théorème de point fixe de Krasnoselskii pour prouver l'existence des états stationnaires.Dans le chapitre 3, on traite le problème de contrôlabilité exacte du modèle de Lobesia Botrana, lorsque la fonction de croissance est égale à 1. On suppose que les quatre sous-catégories de ce système sont dans une phase statique. On obtient que la population d'oeufs peut être contrôlée à zéro. Ce résultat est basé sur des estimations à priori combinées avec un théorème de point fixe.Lorsque les papillons adultes se dispersent spatialement, on introduit un contrôle sur la population d'oeufs, de larves et de femelles dans une petite région du vignoble. On montre alors la contrôlabilité exacte à zéro pour les femelles.Dans la deuxième partie de cette thèse, on analyse la stabilité des coefficients de diffusion d'un système parabolique qui modélise l'activité électrique du coeur. On établit une estimation de Carleman pour le système de réaction-diffusion. En combinant cette estimation avec des estimations d'énergie avec poids on obtient le résultat de stabilité. / This thesis is divided into two parts.One is mainly devoted to make a qualitative analysis and exact null controlfor a class of structured population dynamical systems, and the other concernsstability of conductivities in an inverse problem of a reaction-diffusion systemarising in electrocardiology.In the first part, we study the dynamics ofEuropean grape moth, which has caused serious damages on thevineyards in Europe,North Africa, and even some Asian countries.To model this grapevine insect, physiologically structured multistage population systems are proposed.These systemshave nonlocal boundary conditions arising in nonlocal transition processes in ecosystem.We consider the questions of spatial spread of the populationunder physiological age and stage structures,and show global dynamical properties for the model.Furthermore, we investigate the control problem for this Lobesia botrana modelwhen the growth function is equal to $1$.For the case that four subclasses of this system are all in static station,we conclude that the population of eggs can be controlled to zero at acertain moment by acting on eggs.While the adult moths can disperse,we describe a control by a removal of egg and larvapopulation, and also on female moths in a small region of the vineyard.Then the null controllability for female mothsin a nonempty open sub-domain at a given time is obtained.In the second part, a reaction-diffusion system approximating a parabolic-elliptic systemwas proposed tomodel electrical activity in the heart. We are interested inthe stability analysis of an inverse problem for this model.Then we use the method of Carleman estimates and certain weight energyestimatesfor the identification of diffusion coefficients for the parabolicsystem to draw the conclusion.

Ce mémoire de thèse est consacré à l’équation de Fokker-Planckpartial_ f=∆f+div(Ef).Il est subdivisé en deux parties :une partie linéaire et une partie non linéaire. Dans la partie linéaire on considère un champ de vecteur E(x) dépendant seulement de x. Cette partie est constituée des chapitres 3, 4 et 5. Dans le chapitre 3 on montre que l’opérateur linéaire Lf :=∆ f + div(E f ) est le générateur d’un semi-groupe fortement continu (SL(t))_{t≥0} dans tous les espaces L^p. On y établit également que le semi-groupe (SL(t))_{t≥0} est positif et ultracontractif. Dans le chapitre 4 nous montrons comment est qu’une décomposition adéquate de l’opérateur L permet d’établir certaines propriétés du semi-groupe (SL(t))_{t≥0} notamment sa bornitude. Le chapitre 5 est consacré à l’existence d’un état d’équilibre. De plus on y montre que cet état d’équi- libre est asymptotiquement stable. Dans la partie non linéaire on considère un champ de vecteur de la forme E(x,f) := x+nabla (a*f) ou a et f sont des fonctions assez régulières et * est l’opérateur de convolution. Cette parties est contituée des chapitre 6 et 7. Dans le chapitre 6 nous établissons que poura appartenant à W^{2,infini}_locl’équation de Fokker-Planck non linéaire admet une unique solution locale dans l’espace L^2_{K_alpha} (R^d). Dans le dernier chapitre nous montrons que le problème non linéaire admet une solution globale. De plus cette solution dépend continument des données. / This thesis is devoted to the Fokker-Planck équation partial_t f =∆f + div(E f).It is divided into two parts. The rst part deals with the linear problem. In this part we consider a vector E(x) depending only on x. It is composed of chapters 3, 4 and 5. In chapter 3 we prove that the linear operator Lf :=∆f + div(Ef ) is an in nitesimal generator of a strong continuous semigroup (SL(t))_{t≥0}. We establish also that (SL(t))_{t≥0} is positive and ultracontractive. In chapter 4 we show how an adequate decomposition of the linear operator L allows us to deduce interesting properties for the semigroup (SL(t))_{t≥0}. Indeed using this decomposition we prove that (SL(t))_{t≥0} is a bounded semigroup. In the last chapter of this part we establish that the linear Fokker-Planck admits a unique steady state. Moreover this stationary solution is asymptotically stable.In the nonlinear part we consider a vector eld of the form E(x, f ) := x +nabla (a *f ), where a and f are regular functions. It is composed of two chapters. In chapter 6 we establish that fora in W^{2,infini}_locthe nonlinear problem has a unique local solution in L^2_{K_alpha}(R^d); . To end this part we prove in chapter 7 that the nonlinear problem has a unique global solution in L^2_k(R^d). This solution depends continuously on the data.

Ce mémoire présente une méthode de reconstruction de la surface d’un pare-brise à partir d’une image observée au travers de celui-ci. Cette image est déformée, car les rayons lumineux traversant le pare-brise subissent deux réfractions : une de chaque côté du verre. La déformation de l’image est dépendante de la forme du pare-brise, c’est donc cette donnée qui est utilisée pour résoudre le problème. La première étape est la construction d’un champ de vecteurs dans l’espace ambiant à partir des déviations des rayons lumineux passant par le pare-brise. Elle repose sur la loi de la réfraction de Snell-Descartes et sur des hypothèses simplificatrices au sujet de la courbure et de l’épaisseur du pare-brise. Le vecteur en un point de ce champ correspond à une prédiction du vecteur normal à la surface, sous l’hypothèse que celle-ci passe par le point en question. La deuxième étape est de trouver une surface compatible avec le champ de vecteurs obtenu. Pour y arriver, on formule un problème de minimisation où la donnée minimisée est la différence entre les vecteurs normaux à la surface et ceux construits à partir des mesures du système d’inspection. Il en résulte une équation d’Euler-Lagrange non linéaire à laquelle on impose des conditions de Dirichlet. Le graphe de la solution à ce problème est alors la surface recherchée. La troisième étape est une méthode de point fixe pour résoudre l’équation d’Euler-Lagrange. Elle donne une suite d’équations de Poisson linéaires dont la limite des solutions respecte l’équation non linéaire étudiée. On utilise le théorème du point fixe de Banach pour obtenir des conditions suffisantes d’existence et d’unicité de la solution, qui sont aussi des conditions suffisantes pour lesquelles la méthode de point fixe converge. / This Master’s thesis presents a method for the reconstruction of a windshield surface using an image observed through it. This image is distorted because the light rays passing through the windshield undergo two refractions : one on each side of the glass. The distortion depends on the windshield shape and therefore this data is used to solve the problem. The first step is the construction of a vector field in the ambient space, from the deviations of the light rays passing through the windshield. This step relies on the Snell-Descartes refraction law and on simplifying assumptions regarding the curvature and thickness of a windshield. A vector at a point of this field corresponds to a prediction of the surface normal vector at this point, under the hypothesis that this point lies on the surface. The second step is to find a surface that is compatible with the obtained vector field. For this purpose, a minimisation problem is formulated for which the minimized variable is the difference between the surface normal vector and the one deduced from the system’s measurements. This leads to a nonlinear Euler- Lagrange equation for which the Dirichlet boundary conditions are imposed. The graph of the solution is the desired surface. The third step is a fixed-point method to solve the Euler- Lagrange equation. At the center of this method is a sequence of linear Poisson equations, each giving an approximating solution. It is shown that the limit of this sequence of solutions respects the original nonlinear equation. The Banach fixed-point theorem is used to get sufficient existence and uniqueness conditions, that are also sufficient conditions under which the proposed fixed-point method converges.