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Géométrie de l'espace d'Urysohn et théorie descriptive des ensemblesMelleray, Julien 02 December 2005 (has links) (PDF)
Le point de départ de ce travail est l'étude de la géométrie d'un espace polonais remarquable construit par Urysohn en 1925, presque oublié pendant 60 ans puis très étudié depuis 1986, date à laquelle Katětov en a donné une nouvelle construction. Celle-ci est basée sur l'espace E(X) des fonctions de Katětov sur un espace métrique X. Ces fonctions sont l'outil majeur de cette thèse; nous caractérisons les polonais X tels que E(X) est séparable, puis utilisons E(X) pour montrer (répondant à une question d'A.S Kechris) que tout groupe compact métrisable est isométrique au groupe d'isométries d'un espace métrique compact. Nous utilisons ensuite ces techniques pour donner de nouveaux résultats sur la géométrie de l'espace d'Urysohn et sur ses isométries. Nous appliquons également notre travail à l'étude de divers problèmes de classification « définissables » ; en particulier, nous calculons la complexité borélienne de la relation d'isométrie entre espaces de Banach séparables.
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Contributions to functional inequalities and limit theorems on the configuration space / Inégalités fonctionnelles et théorèmes limites sur l'espace des configurationsHerry, Ronan 03 December 2018 (has links)
Nous présentons des inégalités fonctionnelles pour les processus ponctuels. Nous prouvons une inégalité de Sobolev logarithmique modifiée, une inégalité de Stein et un théorème du moment quatrième sans terme de reste pour une classe de processus ponctuels qui contient les processus binomiaux et les processus de Poisson. Les preuves reposent sur des techniques inspirées de l'approche de Malliavin-Stein et du calcul avec l'opérateur $Gamma$ de Bakry-Émery. Pour mettre en œuvre ces techniques nous développons une analyse stochastique pour les processus ponctuels. Plus généralement, nous mettons au point une théorie d'analyse stochastique sans hypothèse de diffusion. Dans le cadre des processus de Poisson ponctuels, l'inégalité de Stein est généralisée pour étudier la convergence stable vers des limites conditionnellement gaussiennes. Nous appliquons ces résultats pour approcher des processus Gaussiens par des processus de Poisson composés et pour étudier des graphes aléatoires. Nous discutons d'inégalités de transport et de leur conséquence en termes de concentration de la mesure pour les processus binomiaux dont la taille de l'échantillon est aléatoire. Sur un espace métrique mesuré quelconque, nous présentons un développement de la concentration de la mesure qui prend en compte l'agrandissement parallèle d'ensembles disjoints. Cette concentration améliorée donne un contrôle de toutes les valeurs propres du Laplacien métrique. Nous discutons des liens de cette nouvelle notion avec une version de la courbure de Ricci qui fait intervenir le transport à plusieurs marginales / We present functional inequalities and limit theorems for point processes. We prove a modified logarithmic Sobolev inequalities, a Stein inequality and a exact fourth moment theorem for a large class of point processes including mixed binomial processes and Poisson point processes. The proofs of these inequalities are inspired by the Malliavin-Stein approach and the $Gamma$-calculus of Bakry-Emery. The implementation of these techniques requires a development of a stochastic analysis for point processes. As point processes are essentially discrete, we design a theory to study non-diffusive random objects. For Poisson point processes, we extend the Stein inequality to study stable convergence with respect to limits that are conditionally Gaussian. Applications to Poisson approximations of Gaussian processes and random geometry are given. We discuss transport inequalities for mixed binomial processes and their consequences in terms of concentration of measure. On a generic metric measured space, we present a refinement of the notion of concentration of measure that takes into account the parallel enlargement of distinct sets. We link this notion of improved concentration with the eigenvalues of the metric Laplacian and with a version of the Ricci curvature based on multi-marginal optimal transport
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