Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

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info:eu-repo/semantics/nonPublished

Soit K ⊆ C compact et soit X le complément de K par rapport à la sphère de Riemann, X := C∞ \ K. La capacité analytique de K, notée γ(K), est définie par [symbol]. La capacité analytique des sous-ensembles compacts du plan fut introduite par Ahlfors en 1947 dans le but d’étudier un problème soulevé par Painlevé en 1888 demandant une caractérisation géométrique des sous-ensembles compacts dits effaçables. Le problème de Painlevé se révéla fort difficile et il fallut attendre plus d’un siècle avant d’en obtenir une solution satisfaisante, grâce aux travaux de Xavier Tolsa et plusieurs autres. La présente thèse de doctorat vise à étudier en détail la capacité analytique. Plus précisément, dans la première partie de la thèse, on développe une méthode efficace et rigoureuse pour le calcul numérique de la capacité analytique. Cette méthode est d’autant plus intéressante qu’il est extrêmement difficile en pratique d’estimer la capacité analytique d’un ensemble compact donné. On utilise ensuite cette méthode, implémentée sur ordinateur à l’aide du logiciel matlab, pour étudier le célèbre problème de la sous-additivité de la capacité analytique. Ce problème réputé fort difficile fut énoncé en 1967 par Vitushkin et demeure encore à ce jour sans réponse. Plusieurs expérimentations numériques de même que certains des résultats obtenus mènent à la formulation d’une conjecture qui, si démontrée, impliquerait que la capacité analytique est bel et bien sous-additive. Enfin, on démontre la conjecture dans un cas particulier. La seconde partie de la thèse est dédiée à l’étude des fonctions d’Ahlfors, fonctions extrémales pour le problème de la capacité analytique. Plus précisément, on s’intéresse à un problème soulevé par Jeong et Taniguchi visant à déterminer les fonctions d’Ahlfors qui sont des fonctions rationnelles. On donne une solution partielle au problème, fournissant ainsi plusieurs nouveaux exemples explicites de fonctions d’Ahlfors et de capacités analytiques.

Le pseudospectre est un nouvel outil pour étudier les matrices et les opérateurs linéaires. L’outil traditionnel est le spectre. Celui-ci peut révéler des informations sur le comportement des matrices ou operateurs normaux. Cependant, il est moins informatif lorsque la matrice ou l’opérateur est non-normal. Le pseudospectre s’est toutefois révélé être un outil puissant pour les étudier. Il fournit une alternative analytique et graphique pour étudier ce type des cas. Le but de cette thèse est d’étudier le comportement d’une matrice non-normale A en se basant sur le pseudospectre. Il est bien connu que le théorème matriciel de Kreiss donne des estimations des bornes supérieures de [symbol] et [symbol] en fonction du pseudospectre. En 1999, Toh et Trefethen [31] ont généralisé ce célèbre théorème aux polynômes de Faber et aux matrices ayant des spectres dans des domaines plus généraux. En 2005, Vitse [34] a donné une généralisation du théorème aux fonctions holomorphes dans le disque unité. Dans cette thèse, on généralise le théorème matriciel de Kreiss aux fonctions holomorphes et aux matrices ayant des spectres dans des domaines plus généraux. Certaines conditions devraient cependant être vérifiées. L’étude du comportement d’une matrice au cas où la valeur exacte de la norme de la résolvante est connue a été aussi remise en question. Il est bien connu que si A et B sont des matrices à pseudospectres identiques, alors [symbol] Mais, qu’en est-il pour les puissances supérieures [symbol] En 2007, Ransford [21] a montré qu’il existe des matrices [symbol] avec des pseudospectres identiques et où peuvent prendre des valeurs aléatoires et indépendantes les unes des autres pour [symbol]. Serait-il aussi le cas pour n assez grand ? Par ailleurs, le pseudospectre est aussi utilisé pour étudier le semi-groupe [symbol], mais permet-il de déterminer [symbol] ? Cette thèse répond à toutes ces questions en démontrant des résultats plus généraux. Elle généralise l’inégalité (1) aux transformations de Möbius. Elle montre aussi que la condition de pseudospectre identique n’est pas suffisante pour déterminer le comportement d’une matrice. Cependant, la condition de pseudospectre super-identique pourrait l’être. / The theory of pseudospectra is a new tool for studying matrices and linear operators. The traditional tool is the spectrum. It reveals information on the behavior of normal matrices or operators. However, it is less informative as the matrix or the operator are non-normal. Pseudospectra have nevertheless proved to be a powerful tool to study them. They provide an analytical and graphical alternative to study this type of case. The purpose of this thesis is to study the behavior of a non-normal matrix A based on its pseudospectra. It is well known that the Kreiss matrix theorem provides estimates of upper bounds of [symbol] according pseudospectra. In 1999, Toh and Trefethen [31] generalized the celebrated theorem to Faber polynomials and matrices with spectra in more general domains. In 2005, Vitse [34] generalized the theorem for holomorphic functions in the unit disk. In this thesis, the Kreiss matrix theorem is generalized to holomorphic functions and matrices with spectra in more general domains. However, certain conditions should be imposed. The behavior of a matrix if the exact knowledge of the resolvent norm is assumed has also been questioned. It is well known that if A and B are matrices with identical pseudospectra, then [symbol] But what about higher powers [symbol] ? In 2007, Ransford [21] showed that there exist matrices [symbol] with identical pseudospectra and where [symbol] and [symbol] can take more or less arbitrary values for [symbol]. Is it also the case for large n? Moreover, pseudospectra are also used to study the semigroup [symbol], but do they allow us to determine [symbol] ? This thesis addresses all these issues by demonstrating more general results. It generalizes the inequality (2) to Möbius transformations. It also shows that the condition of identical pseudospectra is not sufficient to determine the behavior of a matrix. However, the condition of super-identical pseudospectra could do so.

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L’intervalle de confiance le plus connu pour une différence de deux proportions est l’intervalle de Wald. Cet intervalle a l’avantage d’être simple à construire, mais il est anti-conservateur. Il existe plusieurs intervalles alternatifs à l’intervalle deWald qui performent beaucoup mieux. Dans ce mémoire, on s’intéressera particulièrement à l’intervalle d’Agresti-Coull et à l’intervalle bayésien approximatif. Ces intervalles performent très bien tout en étant simples à construire. On regardera d’abord la performance de ces intervalles lorsqu’on a deux échantillons indépendants de tailles fixées au départ. On regardera aussi leur performance lorsque le nombre d’observations dépend des vraies proportions, soit dans une expérience à étapes multiples, soit dans une expérience à allocations séquentielles o`u un plan adaptatif est utilisé.