Cette thèse s’inscrit dans la recherche d’une preuve modulaire du Z ∗-théorème pour p impair, dont la seule démonstration connue repose sur la classification des groupes finis simples. Soit O une extension assez grande de l’anneau p-adique Zp, et k son corps résiduel. Soit G un groupe fini, e un bloc de l’algèbre OG et H = CG(P ) le centralisateur d’un p-sous-groupe de G. Si le sous-groupe H contrôle la fusion du bloc e en un sens très fort, nous prouvons l’existence d’une équivalence stable de type Morita entre le bloc e et un bloc f de l’algèbre OH , sous réserve qu’un groupe de défaut du bloc e soit abélien ou que son centre ne soit pas cyclique. Nous étendons ainsi un résultat déjà connu pour le bloc principal. Pour construire le bimodule qui induit cette équivalence stable, nous sommes amené à étudier les modules sur une algèbre de bloc OGe qui possèdent une source d’endopermutation fusion-stable, et que nous appelons des modules «Brauer-compa- tibles». Nous montrons en particulier comment la construction «slash» de Dade peut être appliquée à ces modules, et comment cette construction peut être rendue fonctorielle si on la restreint à une sous-catégorie «Brauer-compatible» de la caté- gorie des OGe-modules. Nous prouvons qu’un OGe-module indécomposable Brauer- compatible est caractérisé par une sous-paire vortex (Q, eQ), un module source V , et un module projectif indécomposable sur l’algèbre de bloc locale k[NG(Q, eQ)/Q]e¯Q associée à la sous-paire (Q, eQ). Nous donnons ainsi une formulation fonctorielle de la correspondance de Puig pour les modules Brauer-compatibles. / This thesis is related to the pursuit of a modular proof of the odd Z ∗-theorem, while the only known proof of that theorem relies on the classification of finite simple groups. Let O be a big enough extension of the p-adic ring Zp, and k be its residue field. Let G be a finite group, e be a block of the algebra OG, and H = CG(P ) be the centraliser of a p-subgroup of G. If the subgroup H controls the fusion of the block e in a very strong sense, we prove the existence of a stable equivalence of Morita type between the block e and a block f of the algebra OH , provided that a defect group of the block e is abelian or has a noncyclic center. This extends a result previously known for the principal block. In order to construct the bimodule that induces this stable equivalence, we are led to study the class of modules over a block algebra OGe that admit a fusion-stable endopermutation source. We call them “Brauer-friendly” modules. In particular, we show that Dade’s “slash” construction applies to these modules, and that this construction can be turned into a functor over a “Brauer-friendly” subcategory of the category of OGe-modules. We prove that an indecomposable Brauer-friendly module is characterised by a vertex subpair (Q, eQ), a source module V , and a projective indecomposable module over the local block algebra k[NG(Q, eQ)/Q]e¯Q attached to the subpair (Q, eQ). This provides a functorial version of the Puig correspondence for Brauer-friendly modules.

Les algorithmes de compression d'images JPEG et JPEG2000 sont présentés, puis comparés grâce à  une métrique perceptuelle. L'algorithme JPEG décompose une image par la transformée en cosinus discrète, approxime les coefficients transformés par une quantisation uniforme et encode le résultat par l'algorithme de Huffman. Pour l'algorithme JPEG2000, on utilise une transformée en ondelettes décomposant une image en plusieurs résolutions. On décrit et justifie la construction d'ondelettes orthogonales ou biorthogonales ayant le maximum de propriétés parmi les suivantes: valeurs réelles, support compact, plusieurs moments, régularité et symétrie. Ensuite, on explique sommairement le fonctionnement de l'algorithme JPEG2000, puis on montre que la métrique RMSE n'est pas bonne pour mesurer l'erreur perceptuelle. On présente donc quelques idées pour la construction d'une métrique perceptuelle se basant sur le fonctionnement du système de vision humain, décrivant en particulier la métrique SSIM. On utilise finalement cette dernière métrique pour conclure que JPEG2000 fait mieux que JPEG. / In the present work we describe the image compression algorithms: JPEG and JPEG2000. We then compare them using a perceptual metric. JPEG algorithm decomposes an image with the discrete cosine transform, the transformed map is then quantized and encoded with the Huffman code. Whereas the JPEG2000 algorithm uses wavelet transform to decompose an image in many resolutions. We describe a few properties of wavelets and prove their utility in image compression. The wavelets properties are for instance: orthogonality or biorthogonality, real wavelets, compact support, number of moments, regularity and symmetry. We then briefly show how does JPEG2000 work. After we prove that RMSE error is clearly not the best perceptual metric. So forth we suggest other metrics based on a human vision system model. We describe the SSIM index and suggest it as a tool to evaluate image quality. Finally, using the SSIM metric, we show that JPEG2000 surpasses JPEG.

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Choquet influença profondément la théorie du potentiel en démontrant la capacitabilité des ensembles analytiques, en particulier des boréliens. L’abstraction de la capacité newtonienne à des capacités abstraites permit l’introduction de capacités intéressantes à étudier et c’est en partie ce que nous ferons dans ce mémoire. Beurling fut le premier à discuter de l’espace de Dirichlet classique en démontrant dans sa thèse de doctorat un théorème profond liant la capacité logarithmique aux limites non tangentielles des fonctions de cet espace. En compagnie de Carleson, il établit les bases fondamentales de cette théorie. Plusieurs questions restent encore ouvertes concernant l’espace de Dirichlet et c’est ce qui motive l’intérêt de nombreux mathématiciens à son égard. Passant par la démonstration du théorème de Choquet, du théorème de Frostman, du théorème de Beurling et de l’inégalité capacitaire forte, ce mémoire se veut avant tout une introduction aux résultats classiques mais profonds concernant différentes capacités et l’espace de Dirichlet classique.

Inscrit au Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures

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Dans cette thèse nous nous intéressons à la mesure de dépendance sous des modèles de copules. Nous y traitons trois problèmes : la mesure d’association dans le cas bidimensionnel en présence de seuils de détection, la mesure d’association pour des données en grappes et la mesure d’association pour des données hiérarchiques. Le premier problème, indépendant des deux autres, concerne la mesure d’association entre deux variables sujettes à une censure à gauche fixe due à l’existence de seuils de détection. Nous définissons une version conditionnelle du tau de Kendall permettant de mesurer l’association entre de telles variables. Nous en proposons un estimateur non paramétrique et en étudions les propriétés asymptotiques. Nous supposons, ensuite, un modèle de copule Archimédienne et en déduisons un estimateur pour le tau de Kendall global. Un test d’ajustement de copules à ce type de données est développé. Le deuxième problème traite de la mesure d’association dans un cadre multidimensionnel pour des données en grappes telles que les observations à l’intérieur de chaque groupe sont échangeables. Pour cela, nous introduisons le tau de Kendall échangeable comme une mesure d’association intra-classe et présentons un estimateur non paramétrique pour cette mesure. Ses propriétés asymptotiques sont étudiées sous un modèle de copules multidimensionnelles caractérisées par une propriété appelée échangeabilité. Nous en déduisons un estimateur du coefficient de corrélation intra-classe pour des données provenant d’une distribution elliptique. Nous dérivons ses propriétés asymptotiques sous un modèle ANOVA généralisé à un facteur. Enfin, nous développons un test d’indépendence basé sur le tau de Kendall. Le troisième problème est une extension du deuxième au cas de données hiérarchiques avec des sous-groupes imbriqués dans des groupes, dans le cas où les unités à l’intérieur de chaque sous-groupe sont échangeables et où les sous-groupes appartenant à un même groupe sont, eux mêmes, échangeables. Nous définissons alors deux mesures d’association basées sur le tau de Kendall échangeable et en proposons des estimateurs non paramétriques. Nous étudions les propriétés asymptotiques de ces estimateurs sous des modèles de copules hiérarchiques vérifiant certaines propriétés d’échangeabilité partielle. Pour les données provenant de copules meta-elliptiques hiérarchiques, nous déduisons des estimateurs pour les coefficients de corrélation intra-classe associés aux groupes et aux sous-groupes respectivement. Nous développons, enfin, des procédures de tests pour les effets de groupes et de sous-groupes. / In this thesis we are interested in measuring the dependence under copula models. We deal with three problems: the measure of association in the bivariate case in the presence of lower detection limits, the measure of association for clustered data and the measure of association for two-level hierarchical data. The first problem, independent of the other two, deals with the measure of association between two variables subject to fixed left censoring due to the presence of lower detection limits. We define a conditional version of Kendall’s tau to measure the association between such variables. We provide a nonparametric estimator of this measure and study its asymptotic properties. We then assume an Archimedean copula model and deduce an estimator for the copula’s Kendall’s tau. A goodness-of-fit test for the assumed copula is developed. The second problem deals with the measure of intra-class association for clustered data such that observations within each group are exchangeable. For this, we introduce an exchangeable version of Kendall’s tau as a measure of intra-class dependance and provide a nonparametric estimator for this measure. Its asymptotic properties are investigated under a multivariate exchangeable copula model. We derive an estimator of the intra-class correlation coefficient for data drawn from an elliptical distribution. The asymptotic properties of this estimator are investigated under a generalized oneway ANOVA model. Finally, we develop an intra-class independence test based on Kendall’s tau. The third problem is an extension of the second to the case of hierarchical data with a set of subgroups nested into groups, such that the units within each subgroup are exchangeable and the subgroups belonging to the same group are themselves exchangeable. We define two association measures based on the exchangeable Kendall’s tau and propose nonparametric estimators for these measures. We investigate their asymptotic properties under hierarchical copula models satisfying some properties of partial exchangeability. For data drawn from meta-elliptical hierarchical copulas we deduce estimators for the intra-class correlation coefficients associated to groups and subgroups respectively. We also develop procedures for testing the effects of groups and subgroups.

Dans ce mémoire, on considère la situation où l’on désire grouper des objets dans un nombre prédéterminé de classes de même cardinal. Le choix de la composition des classes est basé sur des critères de minimisation de la variance intragroupe ou de maximisation de la similarité intragroupe. Trois méthodes sont développées pour obtenir le regroupement optimal selon l'un de ces critères. Les deux premières approches consistent à diviser le problème global de classification en plusieurs sous-problèmes, respectivement selon les valeurs prises des variables d’intérêt et selon un aspect probabiliste. La troisième méthode utilise des propriétés de la loi stationnaire des chaînes de Markov. Les trois techniques sont utilisées pour tenter de trouver le regroupement optimal pour classer géographiquement les équipes de la Ligue nationale de hockey en six divisions de cinq équipes. Des études de simulation permettent de mesurer l'efficacité des méthodes. / This master's thesis is structured around the case in which we want to classify objects into a specific number of clusters of the same size. The choice of clusters to form is determined by minimizing the within-cluster variance or maximizing the within-cluster similarity. Three methods were developed to obtain the optimal clustering according to these two criterions. The first two approaches consist in splitting up the clustering problem in several sub-problems, one in a quantitative way and the other in a probabilistic way. The third method uses properties of the Markov chain limiting probabilities. The three methods are used to try to find the optimal geographic clustering to class the thirty National hockey league teams into six divisions of five teams. The efficiency of those approaches is assessed with simulations.

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Dans cette thèse, on s’intéresse à l’évaluation et l’allocation du risque dans le cadre de modèles avancés en actuariat. Dans le premier chapitre, on présente le contexte général de la thèse et on introduit les différents outils et modèles utilisés dans les autres chapitres. Dans le deuxième chapitre, on s’intéresse à un portefeuille d’assurance dont les composantes sont dépendantes. Ces composantes sont distribuées selon une loi mélange d’Erlang multivariée définie à l’aide de la copule Farlie-Gumbel-Morgenstern (FGM). On évalue le risque global de ce portefeuille ainsi que l’allocation du capital. En utilisant certaines propriétés de la copule FGM et la famille de distributions mélange d’Erlang, on obtient des formules explicites de la covariance entre les risques et de la Tail-Value-at-Risk du risque global. On détermine aussi la contribution de chacun des risques au risque global à l’aide de la régle d’allocation de capital basée sur la Tail-Value-at-Risk et celle basée sur la covariance. Dans le troisième chapitre, on évalue le risque pour un portefeuille sur plusieurs périodes en utilisant le modèle de Sparre Andersen. Pour cette fin, on étudie la distribution de la somme escomptée des ladder heights sur un horizon de temps fini ou infini. En particulier, on trouve une expression ferme des moments de cette distribution dans le cas du modèle classique Poisson-composé et le modèle de Sparre Andersen avec des montants de sinistres distribués selon une loi exponentielle. L’élaboration d’une expression exacte de ces moments nous permet d’approximer la distribution de la somme escomptée des ladder heights par une distribution mélange d’Erlang. Pour établir cette approximation, nous utilisons une méthode basée sur les moments. À l’aide de cette approximation, on calcule les mesures de risque VaR et TVaR associées à la somme escomptée des ladder heights. Dans le quatrième chapitre de cette thèse, on étudie la quantification des risques liés aux investissements. On élabore un modèle d’investissement qui est constitué de quatre modules dans le cas de deux économies : l’économie canadienne et l’économie américaine. On applique ce modèle dans le cadre de la quantification et l’allocation des risques. Pour cette fin, on génère des scénarios en utilisant notre modèle d’investissement puis on détermine une allocation du risque à l’aide de la règle d’allocation TVaR. Cette technique est très flexible ce qui nous permet de donner une quantification à la fois du risque d’investissement, risque d’inflation et le risque du taux de change. / In this thesis, we are interested in risk evaluation and risk allocation blems using advanced actuarial models. First, we investigate risk aggregation and capital allocation problems for a portfolio of possibly dependent risks whose multivariate distribution is defined with the Farlie-Gumbel-Morgenstern copula and with mixed Erlang distributions for the marginals. In such a context, we first show that the aggregate claim amount has a mixed Erlang distribution. Based on a top-down approach, closed-form expressions for the contribution of each risk are derived using the TVaR and covariance rules. These findings are illustrated with numerical examples. Then, we propose to investigate the distribution of the discounted sum of ascending ladder heights over finite- or infinite-time intervals within the Sparre Andersen risk model. In particular, the moments of the discounted sum of ascending ladder heights over a finite- and an infinite-time intervals are derived in both the classical compound Poisson risk model and the Sparre Andersen risk model with exponential claims. The application of a particular Gerber-Shiu functional is central to the derivation of these results, as is the mixed Erlang distributional assumption. Finally, we define VaR and TVaR risk measures in terms of the discounted sum of ascending ladder heights. We use a moment-matching method to approximate the distribution of the discounted sum of ascending ladder heights allowing the computation of the VaR and TVaR risk measures. In the last chapter, we present a stochastic investment model (SIM) for international investors. We assume that investors are allowed to hold assets in two different economies. This SIM includes four components: interest rates, stocks, inflation and exchange rate models. First, we give a full description of the model and we detail the parameter estimation. The model is estimated using a state-space formulation and an extended Kalman filter. Based on scenarios generated from this SIM, we study the risk allocation to different background risks: asset, inflation and exchange rate risks. The risk allocation is based on the TVaR-based rule.