Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Dans cette thèse, nous discutons l'influence d'un réseau qui possède une topologie non triviale sur les propriétés collectives d'un modèle hamiltonien pour spins,le modèle $XY$, défini sur ces réseaux.Nous nous concentrons d'abord sur la topologie des chaînes régulières et du réseau Petit Monde (Small World), créé avec le modèle Watt- Strogatz.Nous contrôlons ces réseaux par deux paramètres $\gamma$, pour le nombre d' interactions et $p$, la probabilité de ré-attacher un lien aléatoirement.On définit deux mesures, le chemin moyen $\ell$ et la connectivité $C$ et nous analysons leur dépendance de $(\gamma,p)$.Ensuite,nous considérons le comportement du modèle $XY$ sur la chaîne régulière et nous trouvons deux régimes: un pour $\gamma<1,5$,qui ne présente pas d'ordre longue portée et un pour $\gamma>1,5$ où une transition de phase du second ordre apparaît.Nous observons l'existence d'un état ​​métastable pour $\gamma_ {c} = 1,5$. Sur les réseaux Petit Monde,nous illustrons les conditions pour avoir une transition et comment son énergie critique $\varepsilon_{c}(\gamma,p)$ dépend des paramètres $(\gammap$).Enfin,nous proposons un modèle de réseau où les liens d'une chaîne régulière sont ré-attachés aléatoirement avec une probabilité $p$ dans un rayon spécifique $r$. Nous identifions la dimension du réseau $d(p,r)$ comme un paramètre crucial:en le variant,il nous est possible de passer de réseaux avec $d<2$ qui ne présentent pas de transition de phase à des configurations avec $d>2$ présentant une transition de phase du second ordre, en passant par des régimes de dimension $d=2$ qui présentent des états caractérisés par une susceptibilité infinie et une dynamique chaotique. / In this thesis we discuss the influence of a non trivial network topology on the collective properties of an Hamiltonian model defined on it, the $XY$ -rotors model. We first focus on networks topology analysis, considering the regular chain and a Small World network, created with the Watt-Strogatz model. We parametrize these topologies via $\gamma$, giving the vertex degree and $p$, the probability of rewiring. We then define two topological parameters, the average path length $\ell$and the connectivity $C$ and we analize their dependence on $\gamma$ and $p$. Secondly, we consider the behavior of the $XY$- model on the regular chain and we find two regimes: one for $\gamma<1.5$, which does not display any long-range order and one for $\gamma>1.5$ in which a second order phase transition of the magnetization arises. Moreover we observe the existence of a metastable state appearing for $\gamma_{c}=1.5$. Finally we illustrate in what conditions we retrieve the phase transition on Small World networks and how its critical energy $\varepsilon_{c}(\gamma,p)$ depends on the topological parameters $\gamma$ and $p$. In the last part, we propose a network model in which links of a regular chain are rewired according to a probability $p$ within a specific range $r$. We identify a quantity, the network dimension $d(p,r)$ as a crucial parameter. Varying this dimension we are able to cross over from topologies with $d<2$ exhibiting no phase transitions to ones with $d>2$ displaying a second order phase transition, passing by topologies with dimension $d=2$ which exhibit states characterized by infinite susceptibility and macroscopic chaotic dynamical behavior.

Cette thèse présente une modélisation et commande passive des bioréacteurs continus isothermes. Une attention spéciale est portée à la recherche de fonctions de Lyapunov ayant un sens physique ou reliées à la structure du modèle. On montre que l’énergie libre de Gibbs est une fonction Hamiltonienne appropriée pour les réacteurs enzymatiques. Un modèle basé sur une représentation énergétique est proposé qui peut être considéré comme un système quasi-Port-Hamiltonien. Le modèle se décline en une représentation dans l’espace des concentrations (SPH) et une autre dans l’espace réactionnel (RPH). La commande basée sur la passivité par interconnexion et assignation d'amortissement est obtenue en donnant une forme appropriée à l’énergie désirée, que ce soient pour des modèles SPH ou RPH. Les résultats sont validés par simulation sur un modèle d’hydrolyse enzymatique de la cellulose. On propose ensuite un modèle passif d’un ensemble de réactions microbiennes dans un réacteur ouvert, avec un nouveau type de fonctions de stockage. Grâce à un changement de variables adéquat, le nombre d’´équations du système est réduit et les propriétés de passivité sont directement démontrées. A partir de ce modèle, il est possible de déterminer une commande passive de manière systématique. Les fonctions de Lyapunov candidates peuvent présenter une certaine analogie avec l’énergie libre de Gibbs introduite dans la représentation quasi Port-Hamiltonienne des réactions enzymatiques. Par la suite, une loi de commande adaptative basée sur le modèle présenté est proposée. La validation a été effectuée à partir de simulations d’une réaction élémentaire, puis d’une digestion anaérobie. Les résultats montrent la pertinence des nouvelles lois de commandes passive et adaptative. / This thesis proposes a passivity based formulation and control of a well-mixed CSTR model for a set of chemical and biochemical reactions taking place at constant pressure and temperature. Special care has been taken to not look loosely on the physical coherence of a system by using meaningful energy functions as Lyapunov functions and using the structure of the model while performing the control. It is made clear that Gibbs free energy is an apt Hamiltonian function for such cases. The Bond Graph models related to Port-Hamiltonian formulation for both types of reactions are given in order to show its ability of pictorial representation and intuitive solution. An energy based model of such systems is proposed which can be said as quasi Port-Hamiltonian system (PHS) based on physical grounds. The model is taking care of the concentration space and reaction space of a chemical reaction. Stoichiometric and Reaction interconnection and damping assignment passivity based controllers (IDA-PBC) are derived from the proposed Stoichiometric and Reaction energy based models respectively by physically giving the energy function a desired form. Real application of enzymatic hydrolysis of cellulose in continuous reactor is simulated.Then, a passivity based model of a general set of microbial reactions in open reactors with new Lyapunov functions is derived. A useful change of coordinates is done which simplifies the number of equations to be taken care of and shows directly the passivity of the system. The passivity based control is obtained from systematic controller design techniques. The Lyapunov functions can be said to be in close proximity with the Gibbs free energy function used in Port-Hamiltonian model of enzymatic reactions and are far from the traditional non-physical quadratic functions. A general method of generating an adaptive passivity based control law with the new model which is more physical and maintains the structure of the model has been generated. Application and validation of the model through simulations is done on single and multiple reaction examples. To explore the pseudo-energetic point of view towards modeling and control of microbial reactions in open reactors with parametric uncertainty, different candidate energy functions are being tested and an adaptive controller is designed to cope with uncertainties on the specific growth rate.

Le mémoire constitue un panorama sur l'évolution des variables d'action pour les systèmes presque intégrables. C'est le problème de la diffusion d'Arnold. J'aborde la construction d'Arnold, ainsi que les méthodes variationnelles issues des travaux plus récents de John Mather. J'explique ce qu'est le large gap problem, et j'introduis la relation d'équivalence sur les variables d'action qui m'a permis d'obtenir une solution à ce problème.

Dans un premier temps, on considère un hamiltonien complètement intégrable régulier sur une variété symplectique et on cherche à caractériser les perturbations de ce hamiltonien qui sont des déformations, i.e qui restent complètement intégrables après l'ajout de la perturbation. Après avoir explicité la classe d'hamiltoniens non-dégénérés considérée et conjecturé la forme générale des déformations régulières, on donne les conditions formelles dans le paramètre de perturbation pour que le hamiltonien reste complètement intégrable régulier ou singulier. Dans un deuxième temps, on considère un système complètement intégrable semi-classique décrit par un opérateur pseudo-différentiel sur le tore et on étudie le spectre d'une perturbation de cet opérateur. On utilise pour cela une méthode de forme normale qui met l'opérateur sous une forme simple près de chaque résonance. Cette forme normale est ensuite utilisée pour construire des quasimodes de l'opérateur perturbé

Dans cette thèse nous présentons les résultats sur l'emploi des systèmes Hamiltoniens à port et des systèmes de contact commandés pour la modélisation et la commande de systèmes issus de la Thermodynamique Irréversible. Premièrement nous avons défini une classe de pseudo-systèmes Hamiltoniens à port, appelée systèmes Hamiltoniens à port irréversibles, qui permet de représenter simultanément le premier et le second principe de la Thermodynamique et inclut des modèles d'échangeurs thermiques ou de réacteurs chimiques. Ces systèmes ont été relevés sur l'espace des phases thermodynamiques muni d'une forme de contact, définissant ainsi une classe de systèmes de contact commandés, c'est-à-dire des systèmes commandés non-linéaires définis par des champs de contacts stricts. Deuxièmement, nous avons montré que seul un retour d'état constant préserve la forme de contact et avons alors résolu le problème d'assignation d'une forme de contact en boucle fermée. Ceci a mené à la définition de systèmes de contact entrée-sortie et l'analyse de leur équivalence par retour d'état. Troisièmement, nous avons montré que les champs de contact n'étaient en général pas stables en leur zéros et avons alors traité du problème de la stabilisation sur une sous-variété de Legendre en boucle fermée.

À l'aide de méthodes probabilistes, nous donnons des propriétés qualitatives de solutions d'équations aux dérivées partielles de type Schrödinger ou ondes. Nous tirons profit de l'aléa grâce à des propriétés de régularisation de séries aléatoires ou en éliminant un certain nombre de mauvaises valeurs d'un paramètre de l'équation. Ainsi, nous obtenons, sur un gros ensemble de paramètres, des résultats concernant la dynamique de l'équation. Notons que physiquement cette approche a un sens puisque les paramètres et les conditions initiales de l'équation ne peuvent être déterminés de façon absolue. De plus, dans chacune de nos méthodes employées, nous obtenons des résultats de stabilité de la dynamique par rapport aux conditions initiales. Enfin, nous montrons que l'approche précédente est pertinente en construisant, pour des choix particuliers de paramètres, des trajectoires exceptionnelles en utilisant des phénomènes de résonance.

L’Objectif de cette thèse est de développeré une théorie de l’identification spécifique pour les systèmes Hamiltonien à ports. Les raisons principales pour motiver cette théorie résident dans les propriétés remarquables de ces systèmes, notamment leur structure de Dirac et sa stabilité par interconnexion conservative de puissance (e.g. parallèle, séries ou feedback). Dans la première partie, les systèmes Hamiltoniens sont analysés en ce qui concerne leur identifiabilité structurelle, par par analyse de leur observabilité/commandabilité, par tests directs, par l’analyse en série de puissance de leur fonction de transfert ou par une nouvelle approche énergétique d’analyse d’une identifiabilité spécifique associée à un port. Dans la partie suivante, des modèles de perturbation par port d’interaction sont introduits et permettent l’analyse de l’identifiabilité « pratique » des systèmes hamiltoniens à ports. Le quatrième chapitre présente des schémas de discrétisation en temps qui préserve les bilans de puissance et d’énergie et leur application sur des exemples de système hamiltoniens à ports linéaires et non linéaires. L’erreur de discrétisation est analysée en introduisant la notion de représentation hamiltonienne de l’erreur de discrétisation. Dans la dernière partie de cette thèse, une approche d’identification dans l’espace d’état est développée pour les systèmes obtenus par discrétisation symplectique des systèmes hamiltoniens à ports. Les cas déterministe est analysé et une approche énergétique basée sur les résultats d’identifiabilité structurelle développé dans la première partie est proposée. Enfin, dans la dernière partie, les contributions du travail sont rappelées et quelques perspectives pour des travaux futurs sont présentées. / The objective of this thesis is to develop a specific identification theory for Port Controlled Hamiltonian (PCH) systems. The main reasons to develop this theory comes from their remarkable properties like power conservation and stability under power preserving interconnection (e.g. parallel, series or feedback interconnections). In a first part PCH systems are analysed for structural identifiability using some classical or new techniques: observability/controllability identifiability, direct test, power series expansion or a new power energy approach, defining also a new concept of port identifiability. Further it is proposed a perturbation model by means of the interaction port together with a practical identifiability analysis realized using the controllability and observability concepts. The fourth part presents a new framework for time-discretization of PCH systems in the nonlinear or linear case, by combined discretization of the flows and efforts preserving in the same time their characteristic properties. Also in this part it is proposed a discretization error Hamiltonian to distinguish the continuous-time PCH system from the discrete-time one. The fifth part of the thesis makes an analysis of PCH systems identifiability using the subspace identification approach in the deterministic case, proposing also a new power energy approach in direct connection with the structural identifiability results. In the end are presented the main conclusions, personal contributions and perspectives for future work.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.