Une part importante de l’activité en calcul scientifique et analyse numérique est consacrée aux problèmes de transport d’une quantité par un champ donné (ou lui-même calculé numériquement). Les questions de conservations étant essentielles dans ce domaine, on formule en général le problème de façon eulérienne sous la forme d’un bilan au niveau de chaque cellule élémentaire du maillage, et l’on gère l’évolution en suivant les valeurs moyennes dans ces cellules au cours du temps. Une autre approche consiste à suivre les caractéristiques du champ et à transporter les valeurs ponctuelles le long de ces caractéristiques. Cette approche est délicate à mettre en oeuvre, n’assure pas en général une parfaite conservation de la matière transportée, mais peut permettre dans certaines situations de transporter des quantités non régulières avec une grande précision, et sur des temps très longs (sans conditions restrictives sur le pas de temps comme dans le cas des méthodes eulériennes). Les travaux de thèse présentés ici partent de l’idée suivante : dans le cadre des méthodes utilisant un suivi de caractéristiques, transporter une quantité supplémentaire géométrique apportant plus d’informations sur le problème (on peut penser à un tenseur des contraintes dans le contexte de la mécanique des fluides, une métrique sous-jacente lors de l’adaptation de maillage, etc. ). Un premier pan du travail est la formulation théorique d’une méthode de transport de telles quantités. Elle repose sur le principe suivant : utiliser la différentielle du champ de transport pour calculer la différentielle du flot, nous donnant une information sur la déformation locale du domaine nous permettant de modifier nos quantités géométriques. Cette une approche a été explorée dans dans le contexte des méthodes particulaires plus particulièrement dans le domaine de la physique des plasmas. Ces premiers travaux amènent à travailler sur des densités paramétrées par un couple point/tenseur, comme les gaussiennes par exemple, qui sont un contexte d’applications assez naturelles de la méthode. En effet, on peut par la formulation établie transporter le point et le tenseur. La question qui se pose alors et qui constitue le second axe de notre travail est celle du choix d’une distance sur des espaces de densités, permettant par exemple d’étudier l’erreur commise entre la densité transportée et son approximation en fonction de la « concentration » au voisinage du point. On verra que les distances Lp montrent des limites par rapport au phénomène que nous souhaitons étudier. Cette étude repose principalement sur deux outils, les distances de Wasserstein, tirées de la théorie du transport optimal, et la distance de Fisher, au carrefour des statistiques et de la géométrie différentielle. / In applied mathematics, question of moving quantities by vector is an important question : fluid mechanics, kinetic theory… Using particle methods, we're going to move an additional quantity giving more information on the problem. First part of the work is the theorical formulation for this kind of transport. It's going to use the differential in space of the vector field to compute the differential of the flow. An immediate and natural application is density who are parametrized by and point and a tensor, like gaussians. We're going to move such densities by moving point and tensor. Natural question is now the accuracy of such approximation. It's second part of our work , which discuss of distance to estimate such type of densities.

Les phénomènes de croissance et de fragmentation des polymères jouent un rôle central dans le développement des maladies à prions. Pour les étudier, nous adoptons le formalisme des populations structurées et analysons l'équation intégro-différentielle de transport-fragmentation. Dans un premier temps, nous nous intéressons au problème aux valeurs propres pour l'opérateur de transport-fragmentation linéaire. Nous montrons l'existence et l'unicité de la valeur propre principale et des vecteurs propres associés sous des conditions générales incluant les cas dégénérés dans lesquels le coefficient de transport s'annule à l'origine. Nous analysons ensuite la dépendance de ces éléments propres par rapport aux paramètres de l'équation et mettons en évidence l'existence de comportements non monotones. Les résultats obtenus nous permettent d'aborder deux problèmes de natures différentes. La dépendance par rapport au transport est utilisée pour trouver les états d'équilibres et analyser le comportement en temps long de modèles non-linéaires, dont le " système du prion ". La dépendance par rapport à la fragmentation nous permet quant à elle d'étudier un problème d'optimisation. Celui-ci consiste à introduire un contrôle sur la fragmentation et à trouver la stratégie qui maximise la croissance de la population, ceci à des fins diagnostiques. Dans un dernier chapitre, nous présentons un schéma numérique conservatif pour des équations d'agrégation-fragmentation comprenant un terme de coagulation.

Cette thèse porte sur l'approximation des équations aux dérivées partielles, en particulier l'équation de diffusion en tomographie optique. Elle peut se présenter en deux parties essentielles. Dans la première partie on discute le problème direct alors que le problème inverse est abordé dans la seconde partie. Pour le problème direct, on suppose que les paramètres optiques et les fonctions sources sont donnés. On résout alors le problème de diffusion dans un domaine où la densité du flux lumineux est considérée comme une fonction inconnue à approcher numériquement. Le plus souvent, pour reconstruire le signal numérique dans ce genre de problème, une discrétisation dans le temps est nécessaire. Nous avons proposé d'utiliser la transformée de Fourier et son inverse afin d'éviter une telle discrétisation. Les techniques que nous avons utilisées sont la quadrature de Gauss-Hermite ainsi que la méthode de Galerkin basée sur les B-splines ou les B-splines tensorielles ainsi que sur les fonctions radiales. Les B-splines sont utilisées en dimension un alors que les B-splines tensorielles sont utilisées lorsque le domaine est rectangulaire avec un maillage uniforme. Lorsque le domaine n'est plus rectangulaire, nous avons proposé de remplacer la base des B-splines tensorielles par les fonctions à base radiale construites à partir d'un nuage de points dispersés dans le domaine. Du point de vue théorique, nous avons étudié l'existence, l'unicité et la régularité de la solution puis nous avons proposé quelques résultats sur l'estimation de l'erreur dans les espaces de type Sobolev ainsi que sur la convergence de la méthode. Dans la seconde partie de notre travail, nous nous sommes intéressés au problème inverse. Il s'agit d'un problème inverse non-linéaire dont la non-linéarité est liée aux paramètres optiques. On suppose qu'on dispose des mesures du flux lumineux aux bords du domaine étudié et des fonctions sources. On veut alors résoudre le problème inverse de façon à simuler numériquement l'indice de réfraction ainsi que les coefficients de diffusion et d'absorption. Du point de vue théorique, nous avons discuté certains résultats tels que la continuité et la dérivabilité, au sens de Fréchet, de l'opérateur mesurant le flux lumineux reçu aux bords. Nous avons établi les propriétés lipschitzienne de la dérivée de Fréchet en fonction des paramètres optiques. Du point de vue numérique nous nous somme intéressés au problème discret dans la base des B-splines et la base des fonctions radiales. En suite, nous avons abordé la résolution du problème inverse non-linéaire par la méthode de Newton-Gauss.

Nous étudions des méthodes d'approximation particulaire de solutions d'équations aux dérivées partielles décrivant l'état macroscopique de certains systèmes physiques. Elles consistent en l'introduction d'un grand nombre N de particules fictives évoluant selon des équations différentielles couplées, ordinaires ou stochastiques, dans un sens plus simple à résoudre que l'équation macroscopique; l'état de ce système de particules est décrit par une mesure de probabilité, dite mesure empirique. La validité de la méthode est donnée par la convergence, quand N tend vers l'infini, de cette mesure empirique vers la solution macroscopique originale, appelée limite de champ moyen. Nous cherchons principalement à en donner des estimations explicites, quantifiant ainsi la précision de l'approximation.<br /><br />Dans ce cadre nous étudions l'approximation des équations de transport de Vlasov et d'Euler par des systèmes de particules déterministes en interaction. Le problème de la convergence de la méthode se ramène à un problème de stabilité de solutions que nous traitons par des propriétés de type contraction pour des distances (de Wasserstein) liées à la théorie du transport optimal de mesures. Nous établissons aussi une propriété analogue de contraction pour des lois de conservation scalaires. <br /><br />Nous étudions également l'approximation d'équations de diffusion de McKean-Vlasov par des systèmes de particules stochastiques. Nous en donnons l'erreur de manière quantitative à l'aide de techniques de couplage, d'estimations de propagation du chaos et d'inégalités de concentration ou de déviation.<br /><br />De façon plus systématique nous nous intéressons à de telles inégalités de concentration pour des mesures de probabilité et à leurs relations avec des inégalités de transport (liant distances de Wasserstein et entropie) et de Sobolev logarithmiques. En particulier nous établissons de telles inégalités pour certaines classes de lois de variables dépendantes.

La simulation numérique des écoulements turbulents cavitants revêt de nombreuses difficultés tant dans la modélisation des phénomènes physiques que dans le développement de méthodes numériques robustes. En effet de tels écoulements sont caractérisés par un changement de phase associé à des gradients de la masse volumique, des variations du nombre de Mach causées par une chute de la vitesse du son, des zones de turbulence diphasique et la présence d'instationnarités.Les travaux de la présente thèse s'inscrivent dans la continuité des études expérimentales et numériques menées au sein du Laboratoire des Ecoulements Géophysiques et Industriels (LEGI),qui visent à améliorer la compréhension et la modélisation d'écoulements cavitants. Les simulations s'appuient sur un code compressible associé à une technique de pré-contionnement bas-Mach qui permet de traiter les zones incompressibles. Les écoulements diphasiques sont reproduits à l'aide d'un modèle de mélange homogène 1-fluide avec discrétisation implicite en pas de temps dual. Enfin la résolution adopte l'approche moyennée RANS qui couple le système des équations de conservation avec des modèles de turbulence du premier ordre basés sur la notion de viscosité turbulente.Dans les zones diphasiques, le calcul des variables thermodynamiques nécessite l'introduction d'équations d'état. La pression au sein du mélange est ainsi reliée aux grandeurs conservatives soit à partir d'une équation d'état de mélange des gaz raides, soit par une relation sinusoïdale incorporant la fraction volumique de vapeur (le taux de vide). La valeur ajoutée de ces travaux de thèse repose sur l'introduction d'une équation de transport pour le calcul du taux de vide. Celle-ci incorpore un terme source dont le transfert de masse entre les phases est fermé grâce à une hypothèse de proportionnalité à la divergence du champ de vitesse. Outre l'amélioration des phénomènes de convection, de dilatation et de collapse, cette équation supplémentaire permet de relaxer l'équilibre thermodynamique local et d'introduire un état métastable pour la phase vapeur.Les simulations 2D et 3D sont réalisées sur des géométries de type Venturi caractérisées par le développement de poches de cavitation partielle instables. L'objectif consiste à reproduire les instationnarités inhérentes à chaque profil telles que la formation d'un jet rentrant liquide à proximité de la paroi ou la production de nuages de vapeur convectés par l'écoulement principal.Les résultats numériques mettent en avant une variation de la fréquence des instationnarités en fonction du calcul de la vitesse du son en zone de mélange. D'autre part, la prise en compte de déséquilibre de la phase vapeur amplifie les phénomènes de propagation d'ondes de pression générées par le collapse des structures cavitantes et participe à la déstabilisation de la poche. Enfin, l'influence de l'équation de transport de taux de vide est analysée en confrontant les résultats des simulations à ceux obtenus ultérieurement à partir d'un modèle à seulement trois équations de conservation. / The computation of turbulent cavitating flows involves many difficulties both in modeling the physical phenomena and in the development of robust numerical methods. Indeed such flows are characterized by phase transitions and large density gradients, Mach number variation due to speed of sound decrease, two-phase turbulent areas and unsteadiness.This thesis follows experimental and numerical studies led at the Laboratoire des Ecoulements Géophysiques et Industriels which aim to improve the understanding and modeling of cavitating flows. Simulations are based on a compressible code coupled with a pre-conditionning technique which handles low-Mach number areas. The two-phase flows are reproduced using a one-fluid homogeneous model and temporal discretisation is performed using an implicit dual-time stepping method . The resolution is based on the RANS approach that couples conservation equations with firts-order closure models to compute eddy viscosity.In two-phase flows areas, the computation of thermodynamic quantities requires to close the system with equations of state (EOS). Thus, two formulations are investigated to determine the pressure in the mixture. The stiffened gas EOS is written with conservative quantities while a sinusoidal law deduces the pressure from the volume fraction of vapor (the void fraction). The present study improves the homogeneous equilibrium models by including a transport equation for the void ratio. The mass transfer between phases is assumed to be proportional to the divergence of the velocity. In addition to a better modeling of convection, expansion and collapse phenomenon, this added transport equation allows to relax the local thermodynamic equilibrium and to introduce a mestastable state to the vapor phase.2D and 3D simulations are performed on Venturi type geometries characterized by the development of unstable partial cavitation pockets. The goal is to reproduce unsteadiness linked to each profile such as the formation of a re-entrant jet or the quasi-periodic vapor clouds shedding. Numerical results highlight frequency variations of unsteadiness depending on the speed of sound computation. Moreover, the simulation conducted with a relaxed vapor density increase the pressure wave propagation magnitude generated by the collapse of cavitating structures. It contributes to the destabilization of the pocket. Finally, the role of the void ratio equation is analyzed by comparing the simulation results to those obtained subsequently from a model involving only three conservation equations.

Un coeur de pile à combustible est un système multi-physique couplant des phénomènes de transport de matière et de charges (dans les électrodes et l'électrolyte), et de cinétique électrochimique (au niveau des sites réactionnels) ; phénomènes auxquels s'ajoutent des problèmes de thermique et de distribution des gaz réactifs. De nombreux modèles permettent de décrire localement ces phénomènes, par le biais d'équations aux dérivées partielles faisant intervenir l'espace et le temps. Ces modèles, aussi précis soient-ils, ne sont en pratique guère utilisables dans une approche système, dès lors que l'on cherche à étudier un ensemble complexe dans lequel le coeur de pile n'est qu'un élément parmi d'autres. Il existe bien des modèles dynamiques semi-empiriques pour lesquels la cellule électrochimique est représentée par un circuit électrique équivalent dont certains paramètres sont déterminés expérimentalement, par des mesures spectroscopiques en particulier. L'inconvénient de cette approche vient de ce que les modèles obtenus, de type "petits signaux", ne sont en toute rigueur valables qu'autour d'un point de fonctionnement. Les travaux présentés dans ce mémoire traite du développement, de la validation expérimentale et de l'exploitation d'un modèle électrique local 1D de cellule de pile à combustible PEM, de type circuit pour une implantation directe dans les logiciels de simulation des systèmes électriques (Saber® dans notre cas), et dont les éléments sont calculés par analogie électrique à partir des phénomènes physiques dont la pile est le siège. Ce modèle est dynamique, il rend compte du phénomène de couche double électrique, et de l'influence des conditions opératoires, notamment l'alimentation en gaz (sur-alimentation, sous-alimentation transitoire), sur le comportement électrique et les performances de la cellule. Le premier chapitre fait un état des lieux des modèles de pile existants, et permet de situer notre travail dans ce contexte. Le chapitre 2 est consacré à la mise en équation traduisant les phénomènes : transport des gaz dans les couches de diffusion et de l'eau dans la membrane, transport des charges dans les électrodes et la membrane, cinétique électrochimique aux interfaces membrane-électrode, couche double électrique, conditions aux limites. Nous y détaillons également la représentation analogique permettant de traiter les équations de transport dans un environnement de calcul dédié à la simulation des systèmes électriques, ainsi que le modèle électrique complet. Une comparaison avec un modèle similaire implanté dans un logiciel utilisant la méthode des éléments finis, est proposée, de même qu'une validation expérimentale, en régime stationnaire et en régime transitoire. Le dernier chapitre traite de l'exploitation du modèle à des fins d'étude paramétrique (conditions opératoires, paramètres physiques), et de simulation "systèmes" (fonctionnements particuliers, mise en série, association avec un convertisseur) / A heart of a fuel cell is a multi-physics system that couples mass and charge transport phenomena (in electrodes and electrolyte), and electrochemical kinetics at reactive sites ; to these phenomena, are added thermal transfer, and gas distribution problems. Many mathematical models have already been developed in order to describe locally these phenomena, through partial differential equations involving space and time. Theses models are often accurate, but they are hardly used in a system approach, since one aims to study a complex system in which the fuel cell is only one element among others. Many semi-empirical dynamics models have also been developed, with an electrochemical cell represented by an equivalent electrical circuit, the parameters of which are often determined experimentally, by spectroscopy measurements in particular. The main drawback of this approach is that it results in small signal models, which are theoretically only available around an operating point. The works presented in this thesis deals with the development, the experimental validation and the use of a 1D local PEM fuel cell model, of circuit type for a direct implementation in simulation software commonly used in electrical engineering (Saber® in our case). The elements of the model are determined by using electrical analogy of physical phenomena that occur in the fuel cell. The model is dynamic, and takes into account electric double layer, and influence of operating conditions (notably gas supply effects, such as over-feeding or transient gas starvation) on fuel cell performances. The first chapter presents literature review on existing fuel cell models, and enable to situate our work in this context. We give in chapter 2 local equations on which our model is based: gas transport in diffusion layers, water transport in the membrane, charge transport in electrodes and membrane, electrochemical kinetics at the membrane-electrode interfaces, electric double layer, boundary conditions. Then we detail the analogy representation that allows to compute transport equations by means of electrical engineering simulation software, as well as to complete electrical model. A comparison with a similar model implemented in a software using the finite element method is proposed, then an experimental validation in steady and transient state is carried out. The last chapter deals with the exploitation of the model for parametric study purposes (operating conditions, physical parameters), and for system simulation purposes (specific operations of a single cell, multi-cells in series, association with a power electronic converter)

La communauté scientifique, en relation avec les gestionnaires forestiers, travaille depuis trente ans à l'élaboration d'outils d'aide à la décision. Cependant, aucune approche de modélisation ne permet une évaluation simultanée de l'impact sur la forêt des changements globaux et de la gestion des services écosystémiques. L'élaboration d'une nouvelle génération de modèles dédiés au couplage sol-plante est indispensable pour aider les gestionnaires forestiers à adapter leurs pratiques sylvicoles face aux changements globaux. Les modèles phénoménologiques issus de la dendrométrie proposent des estimations de croissance et de production tenant compte des pratiques sylvicoles. Leur utilisation est limitée par leur dépendance à un indice de fertilité combinant de manière indifférenciée l'influence du climat et des cycles biogéochimiques. La remise en jeu de la notion d'indice de fertilité nécessite de tirer avantage des concepts issus des modèles à base écophysiologiques et biogéochimiques. La modélisation de la dynamique mensuelle du renouvellement foliaire par le modèle Stand Leaf Canopy Dynamics a permis d'estimer: i) la dynamique de l'indice foliaire, ii) la production de litière foliaire. Ce modèle probabiliste tient compte de l'influence du climat, de la disponibilité en eau de l'écosystème et repose sur des hypothèses écologiques fortes sur les mécanismes impliqués dans la longévité des feuilles. Ce modèle pose les bases de l'intégration du cycle de l'eau aux modèles dendrométriques par couplage avec un modèle écophysiologique. Le modèle de décomposition de la matière organique le long d'un profil de sol vertical proposé par Bosatta et Ågren (1996) a été analysé mathématiquement afin d'étudier le devenir des chutes de litières dans le sol forestier. Nous avons proposé: i) une preuve d'existence et l'unicité de solutions à l'équation de transport intégro-différentielle du modèle, ii) des schémas de différences finies implicites-explicites convergents estimant les solutions du modèle et iii) une discussion autour des hypothèses sous-jacentes à une troncature du modèle proposée par Bosatta et Ågren. Ces deux étapes sont des leviers indispensables à l'étude des cycles biogéochimiques dans une approche à base dendrométrique. L'influence du climat et de la phénologie sur le cycle de l'eau, la décomposition des litières foliaires et la chimie du sol constituera une prochaine étape de modélisation. / The scientific community, in collaboration with forestry managers, developed decision support tools since thirty years. However, current modelling approaches do not allow simultaneous estimations of global changes impact management policies on forests. The design of a new generation of models dedicated to soil-plant coupling is necessary to help forest managers to adapt forestry practices to face global changes. Phenomenological models arising from dendrometry estimate forest growth \& yield and take into account of silvicultural practices. Their use is limited by their dependence to a fertility index, which combines implicitly the influence of climate and biogeochemical cycles. A re-examination of fertility index concept is necessary to take advantage of concepts developed in ecophysiological and biogeochemical models. Modelling the monthly dynamics of foliar renewal with the Stand Leaf Canopy Dynamics model permited: i) to estimate leaf area index dynamics, ii) to model foliar litter production. This probabilistic model takes into account climate influence, ecosystem water availability and lies on strong ecological hypothesis on mechanisms involved in leaf longevity. This model, associated with an ecophysiological model, permits to integrate water cycle to dendrometric models. The soil organic matter decomposition along a vertical soil profile model introduced by Bosatta et Ågren (1996) was analyzed to study the future of litterfall in forest soil. We proposed: i) a proof of existence and uniqueness of solutions to the integro-differential transport equation of the model, ii) convergent implicit-explicit finite differences schemes estimating model solutions and iii) a discussion on hypothesis underlying a model truncation introduced by Bosatta et Ågren. These two modelling steps are essential to consider biogeochemical cycle with a dendrometric approach. Climate and phenology influence on water cycle, litterfall decomposition and soil chemistry are the elements of a future modelling phase.

Cette thèse porte sur le comportement en temps long de solutions d’équations de type Vlasov, principalement le modèle Vlasov-HMF. On s’intéresse en particulier au phénomène d’amortissement Landau, prouvé mathématiquement dans divers cadres, pour plusieurs équations de type Vlasov, comme l’équation de Vlasov-Poisson ou le modèle Vlasov-HMF, et présentant certaines analogies avec le phénomène d’amortissement non visqueux pour l’équation d’Euler 2D. Les résultats qui y sont décrits sont les suivants. Le premier est un théorème d’amortissement Landau pour des solutions numériques du modèle Vlasov-HMF, obtenues par discrétisation en temps de ce dernier via des méthodes de splitting. Nous prouvons en outre la convergence des schémas numériques. Le second est un théorème d’amortissment Landau pour des solutions du modéle Vlasov-HMF linéarisé autour d’états stationnaires inhomogènes. Ce théorème est accompagné de nombreuses simulations numériques destinées à étudier numériquement le cas non-linéaire, et semblant mettre en lumière de nouveaux phénomènes. Enfin, le dernier résultat porte sur la discrétisation en temps de l’équation d’Euler 2D par un intégrateur de Crouch-Grossman symplectique. Nous prouvons la convergence du schéma. / This thesis concerns the long time behavior of certain Vlasov equations, mainly the Vlasov- HMF model. We are in particular interested in the celebrated phenomenon of Landau damp- ing, proved mathematically in various frameworks, foar several Vlasov equations, such as the Vlasov-Poisson equation or the Vlasov-HMF model, and exhibiting certain analogies with the inviscid damping phenomenon for the 2D Euler equation. The results described in the document are the following.The first one is a Landau damping theorem for numerical solutions of the Vlasov-HMF model, constructed by means of time-discretizations by splitting methods. We prove more- over the convergence of the schemes. The second result is a Landau damping theorem for solutions of the Vlasov-HMF model linearized around inhomogeneous stationary states. We provide moreover a quite large amount of numerical simulations, which are designed to study numerically the nonlinear case, and which seem to show new phenomenons. The last result is the convergence of a scheme that discretizes in time the 2D Euler equation by means of a symplectic Crouch-Grossmann integrator.