Cette thèse porte sur l'approximation des équations aux dérivées partielles, en particulier l'équation de diffusion en tomographie optique. Elle peut se présenter en deux parties essentielles. Dans la première partie on discute le problème direct alors que le problème inverse est abordé dans la seconde partie. Pour le problème direct, on suppose que les paramètres optiques et les fonctions sources sont donnés. On résout alors le problème de diffusion dans un domaine où la densité du flux lumineux est considérée comme une fonction inconnue à approcher numériquement. Le plus souvent, pour reconstruire le signal numérique dans ce genre de problème, une discrétisation dans le temps est nécessaire. Nous avons proposé d'utiliser la transformée de Fourier et son inverse afin d'éviter une telle discrétisation. Les techniques que nous avons utilisées sont la quadrature de Gauss-Hermite ainsi que la méthode de Galerkin basée sur les B-splines ou les B-splines tensorielles ainsi que sur les fonctions radiales. Les B-splines sont utilisées en dimension un alors que les B-splines tensorielles sont utilisées lorsque le domaine est rectangulaire avec un maillage uniforme. Lorsque le domaine n'est plus rectangulaire, nous avons proposé de remplacer la base des B-splines tensorielles par les fonctions à base radiale construites à partir d'un nuage de points dispersés dans le domaine. Du point de vue théorique, nous avons étudié l'existence, l'unicité et la régularité de la solution puis nous avons proposé quelques résultats sur l'estimation de l'erreur dans les espaces de type Sobolev ainsi que sur la convergence de la méthode. Dans la seconde partie de notre travail, nous nous sommes intéressés au problème inverse. Il s'agit d'un problème inverse non-linéaire dont la non-linéarité est liée aux paramètres optiques. On suppose qu'on dispose des mesures du flux lumineux aux bords du domaine étudié et des fonctions sources. On veut alors résoudre le problème inverse de façon à simuler numériquement l'indice de réfraction ainsi que les coefficients de diffusion et d'absorption. Du point de vue théorique, nous avons discuté certains résultats tels que la continuité et la dérivabilité, au sens de Fréchet, de l'opérateur mesurant le flux lumineux reçu aux bords. Nous avons établi les propriétés lipschitzienne de la dérivée de Fréchet en fonction des paramètres optiques. Du point de vue numérique nous nous somme intéressés au problème discret dans la base des B-splines et la base des fonctions radiales. En suite, nous avons abordé la résolution du problème inverse non-linéaire par la méthode de Newton-Gauss.

L'helium est le seul materiau qui reste dans son etat liquide sous sa pression de vapeur saturante aux plus basses temperatures. Il est ainsi le systeme ou les proprietes quantiques de l'etat liquide sont les plus evidentes. En effet, l'helium liquide sous sa pression de vapeur saturante au dessous d'une temperature Tl = 2.17 K presente des proprietes macroscopiques spectaculaires qui ont une nature quantique. On dit que l'helium presentant ces proprietes est dans la phase superfluide. De plus, ce systeme a T ~ 0 K presente un condense de Bose-Einstein en mesure du 10% environ des particules. La condensation de Bose-Einstein semble avoir lieu a la meme temperature ou se presente la superfluidite. L'etude de l'helium liquide confine dans des materiaux poreux devrait permettre de mieux comprendre le lien entre superfluidite et condensation de Bose-Einstein, qui, a l'heure actuelle, manque d'une description theorique satisfaisante. La realisation des experiences sur des echantillons d'helium confine est plutot difficile a cause de trois types de difficultes : la caracterisation des materiaux utilise s pour le confinement, la determination de l'etat thermodynamique de l'echantillon d'helium une fois confine et l'utilisation des systemes cryogeniques necessaires a la rea lisation des tres basses temperatures. Il faut d'abord choisir un materiau apte au confinement, c'est a dire avec des pores presentant une distribution de taille etroite autour d'une valeur petite. Il existent desormais des materiaux avec ces caracteristiques et on peut les obtenir avec une caracterisation par isothermes d'adsorption d'azote et diffraction de rayons X. Ensuite, il faut controler l'etat de remplissage du solide poreux. Pour cela, on a introduit une etape experimental supplementaire par rapport aux etudes conduites jusqu'a present: chaque materiau susceptible d'etre utilise pour le confine ment a ete etudie avec la technique des isothermes d'adsorption d'helium. De cette maniere on peut connaitre avec precision la quantite d'helium necessaire au remplissage des echantillon poreux, et on obtient aussi des information sur les phenomenes macroscopiques intervenant pendant le remplissage. En particulier il est possible de detecter la formation d'une phase liquide remplissant les pores, une fois que une ou deux couches d'helium ont ete adsorbees sur les surfaces. Ce phenomene s'appelle condensation capillaire. Cette phase est precisement celle qui nous interesse: une phase liquide confinee. Enfin, la realisation d'experiences aux tres basses temperatures peut entrainer la condensation d'helium liquide dans le tube d'injection. Quand ce phenomene se produit, on ne connait plus l'etat de remplissage des pores. L'utilisation d'une cellule speciale a permis de se passer du capillaire d'injection pour les etudes en fonction de la temperature: il s'agit d'une cellule remplie a conditions ambia ntes avec la correcte quantite d'helium. Deux techniques de diffusion inelastique de neutrons ont ete utilisees pour acceder respectivement a l'energie cinetique moyenne par particule et au spectre des excitations e lementaires. Les mesures d'energie cinetique ont ete menees avec le spectrometre eVS qui est un spectrometre a geometrie inverse utilisant des neutrons epithermiques (E ~ 10 eV). Dans les conditions experimentales, l'energie echangee est E ~ 5 eV et le vecteur d'onde echange est q ~ 100 A-1. Dans ces conditions, il s'avere valable l'approximation d'impulsion qui lie le facteur de structure dynamique (qui est la quantite mesuree) directement a la fonction de distribution des vitesses de l'echantillon. Ces mesures ont ete menees sur un echantillon d'helium confine dans le Vycor et ont montre une augmentation de l'energie cinetique moyenne par particule due au confinement. Ces mesures suggerent aussi que la condensation de Bose-Einstein se verifie a la meme temperature que la superfluidite dans le cas de l'helium confine dans le Vycor. Cela est en contraste avec ce qui avait ete suggere par une autre equipe qui avait conduit des mesures sur un echantillon de Vycor surrempli d'helium. L'effet observe par cette equipe peut etre du a la presence d'helium en volume autour de l'echantillon. Les mesures des excitations elementaires ont ete menees avec les spectrometres MIBEMOL et IN6 qui sont des spectrometres a geometrie directe, sur un echantillon d'helium confine dans des MCM-41. Les MCM-41 sont des materiaux presentant des pores cylindriques dont le diametre peut etre fait varier de facon controlee selon la methode de preparation entre 20 A et 10 0 A. Les MCM-41 choisis ont un diametre d'environ 32 A. Avec le spectrometre MIBEMOL on a etudie les excitations elementaires en fonction du remplissage et on a mis en evidence la correspondance entre le phenomene de condensation capillaire (detecte par isotherme d'adsorption) et la presence d'excitations typiques de l'etat liquide (les excitations appelees phonon-maxon-roton). Avec le spectrometre IN6 on a etudie les excitations elementaires en fonction de la temperature (0.4 < T < 1.8 K). Les excitations elementaires aux grandes longueur d'onde sont perturbees par le confinement d'une maniere compatible avec la geometrie du systeme. En particulier on peut mettre en relation les modes observes avec les fluctuations de densite longitudinales se propageant le long des pores cylindriques des MCM-41. Enfin, on observe aussi une largeur intrinseque (presente a la temperature de 0.4 K) du pic correspondant au ``roton''.

Cette thèse étudie les propriétés de l'opérateur de propagation des ondes ultrasonores en milieu aléatoire. Le dispositif expérimental consiste en un réseau multi-éléments placé en vis-à-vis d'un milieu désordonné. L'opérateur de propagation est donné par la matrice des réponses inter-éléments mesurées entre chaque couple de transducteurs. En s'appuyant sur la théorie des matrices aléatoires, le comportement statistique de cet opérateur a été étudié en régime de diffusion simple et multiple. Une cohérence déterministe des signaux est ainsi mise en évidence en régime de diffusion simple, cohérence qui disparaît dès que la diffusion multiple prédomine. Cette différence de comportement a permis la mise au point d'un radar intelligent séparant les échos simplement et multiplement diffusés. On peut ainsi extraire l'écho direct d'une cible échogène enfouie dans un milieu hautement diffusant, bien que ce dernier soit source de diffusion multiple et d'aberration. Une deuxième approche consiste, au contraire, à extraire une contribution de diffusion multiple noyée dans une contribution de diffusion simple largement prédominante. L'étude de l'intensité multiplement diffusée permet de mesurer des paramètres de transport (p.ex. la constante de diffusion D) caractérisant la propagation de l'onde multiplement diffusée. Un passage en champ lointain (ondes planes) permet d'obtenir une mesure fiable de D en étudiant le cône de rétrodiffusion cohérente. Un passage en champ proche, via l'utilisation de faisceaux gaussiens, permet d'effectuer des mesures locales de D en étudiant la croissance du halo diffusif. Cette approche a été appliquée au cas de l'os trabéculaire humain autour de 3 MHz.

Cette thèse étudie les propriétés de l'opérateur de propagation des ondes ultrasonores en milieu aléatoire. Le dispositif expérimental consiste en un réseau multi-éléments placé en vis-à-vis d'un milieu désordonné. L'opérateur de propagation est donné par la matrice des réponses inter-éléments mesurées entre chaque couple de transducteurs. En s'appuyant sur la théorie des matrices aléatoires, le comportement statistique de cet opérateur a été étudié en régime de diffusion simple et multiple. Une cohérence déterministe des signaux est ainsi mise en évidence en régime de diffusion simple, cohérence qui disparaît dès que la diffusion multiple prédomine. Cette différence de comportement a permis la mise au point d'un radar intelligent séparant les échos simplement et multiplement diffusés. On peut ainsi extraire l'écho direct d'une cible échogène enfouie dans un milieu hautement diffusant, bien que ce dernier soit source de diffusion multiple et d'aberration. Une deuxième approche consiste, au contraire, à extraire une contribution de diffusion multiple noyée dans une contribution de diffusion simple largement prédominante. L'étude de l'intensité multiplement diffusée permet de mesurer des paramètres de transport (p.ex. la constante de diffusion D) caractérisant la propagation de l'onde multiplement diffusée. Un passage en champ lointain (ondes planes) permet d'obtenir une mesure fiable de D en étudiant le cône de rétrodiffusion cohérente. Un passage en champ proche, via l'utilisation de faisceaux gaussiens, permet d'effectuer des mesures locales de D en étudiant la croissance du halo diffusif. Cette approche a été appliquée au cas de l'os trabéculaire humain autour de 3 MHz