Une part importante de l’activité en calcul scientifique et analyse numérique est consacrée aux problèmes de transport d’une quantité par un champ donné (ou lui-même calculé numériquement). Les questions de conservations étant essentielles dans ce domaine, on formule en général le problème de façon eulérienne sous la forme d’un bilan au niveau de chaque cellule élémentaire du maillage, et l’on gère l’évolution en suivant les valeurs moyennes dans ces cellules au cours du temps. Une autre approche consiste à suivre les caractéristiques du champ et à transporter les valeurs ponctuelles le long de ces caractéristiques. Cette approche est délicate à mettre en oeuvre, n’assure pas en général une parfaite conservation de la matière transportée, mais peut permettre dans certaines situations de transporter des quantités non régulières avec une grande précision, et sur des temps très longs (sans conditions restrictives sur le pas de temps comme dans le cas des méthodes eulériennes). Les travaux de thèse présentés ici partent de l’idée suivante : dans le cadre des méthodes utilisant un suivi de caractéristiques, transporter une quantité supplémentaire géométrique apportant plus d’informations sur le problème (on peut penser à un tenseur des contraintes dans le contexte de la mécanique des fluides, une métrique sous-jacente lors de l’adaptation de maillage, etc. ). Un premier pan du travail est la formulation théorique d’une méthode de transport de telles quantités. Elle repose sur le principe suivant : utiliser la différentielle du champ de transport pour calculer la différentielle du flot, nous donnant une information sur la déformation locale du domaine nous permettant de modifier nos quantités géométriques. Cette une approche a été explorée dans dans le contexte des méthodes particulaires plus particulièrement dans le domaine de la physique des plasmas. Ces premiers travaux amènent à travailler sur des densités paramétrées par un couple point/tenseur, comme les gaussiennes par exemple, qui sont un contexte d’applications assez naturelles de la méthode. En effet, on peut par la formulation établie transporter le point et le tenseur. La question qui se pose alors et qui constitue le second axe de notre travail est celle du choix d’une distance sur des espaces de densités, permettant par exemple d’étudier l’erreur commise entre la densité transportée et son approximation en fonction de la « concentration » au voisinage du point. On verra que les distances Lp montrent des limites par rapport au phénomène que nous souhaitons étudier. Cette étude repose principalement sur deux outils, les distances de Wasserstein, tirées de la théorie du transport optimal, et la distance de Fisher, au carrefour des statistiques et de la géométrie différentielle. / In applied mathematics, question of moving quantities by vector is an important question : fluid mechanics, kinetic theory… Using particle methods, we're going to move an additional quantity giving more information on the problem. First part of the work is the theorical formulation for this kind of transport. It's going to use the differential in space of the vector field to compute the differential of the flow. An immediate and natural application is density who are parametrized by and point and a tensor, like gaussians. We're going to move such densities by moving point and tensor. Natural question is now the accuracy of such approximation. It's second part of our work , which discuss of distance to estimate such type of densities.

Ce travail est consacré au développement des méthodes particulaires pour la résolution des équations de Navier-Stokes incompressibles en dimension 3. L'évaluation des formules de Biot-Savart ayant un coût de calcul prohibitif en dimension trois, on utilise un couplage grille-particules. On applique alors cette technique à la simulation et au contrôle de sillages produits par un cylindre. La première partie est consacrée à la méthode numérique proprement dite. On commence par présenter le modèle lagrangien et la méthode utilisée pour calculer le champ de vitesse, qui est la clef de voûte du schéma. On décrit ensuite, au chapitre 2 comment sont calculées les couches limites. Enfin, on présente au chapitre 3 l'algorithme à pas fractionnaire utilisé, ainsi que les méthodes de transfert entre jeux de particules et grilles sous-jacentes, et le calcul de la diffusion. Le code est alors validé par des simulations d'anneaux tourbillonnaires qui se propulsent sur un obstacle cylindrique, pour des nombres de Reynolds modérés (entre 400 et 2000).La seconde partie utilise la méthode numérique décrite précédemment, en l'appliquant dans un premier temps à la simulation des sillages turbulents qui se développent derrière un cylindre circulaire (chapitre 4), puis au contrôle de ces écoulements au chapitre 4.Il est connu que les solutions bidimensionnelles sont instables pour des nombres de Reynolds suffisamment élevés. Les instabilités tridimensionnelles sont identifiée grâce à leur profil spectral. Elles ont un effet important sur les forces de traînée et sur la fréquence propre de l'écoulement.Le chapitre 5, relatif au contrôle, se propose de mettre en évidence plusieurs phénomènes. On considère un contrôle en boucle ouverte, réalisé par une rotation à pulsation et amplitude constante. On étudie des rotations basse et haute fréquences. Le coefficient de traînée est alors diminué de 43% par le contrôle à haute fréquence, pour un nombre de Reynolds de 550. De plus, on montre que l'écoulement turbulent revient à un état bidimensionnel si l'amplitude de rotation est suffisamment élevée.

Les méthodes particulaires sont des méthodes numériques adaptées à la résolution d'équations de conservation. Leur principe consiste à introduire des particules ''numériques'' conservant localement l'inconnue sur un petit volume, puis à les transporter le long de leur trajectoire. Lorsqu'un terme source est présent dans les équations, l'évolution de la solution le long des caractéristiques est prise en compte par une intéraction entre les particules. Ces méthodes possèdent de bonnes propriétés de conservation et ne sont pas soumises aux conditions habituelles de CFL qui peuvent être contraignantes pour les méthodes Eulériennes. Cependant, une contrainte de recouvrement entre les particules doit être satisfaite pour vérifier des propriétés de convergence de la méthode. Pour satisfaire cette condition de recouvrement, un remaillage périodique des particules est souvent utilisé. Elle consiste à recréer régulièrement de nouvelles particules uniformément réparties, à partir de celles ayant été advectées à l'itération précédente. Quand cette étape de remaillage est effectuée à chaque pas de temps, l'analyse numérique de ces méthodes particulaires remaillées nécessite d'être reconsidérée, ce qui représente l'objectif de ces travaux de thèse. Pour mener à bien cette analyse, nous nous basons sur une analogie entre méthodes particulaires avec remaillage et schémas de grille. Nous montrons que pour des grands pas de temps les schémas numériques obtenus souffrent d'une perte de précision. Nous proposons des méthodes de correction, assurant la consistance des schémas en tout point de grille, le pas de temps étant contraint par une condition sur le gradient du champ de vitesse. Cette méthode est construite en dimension un. Des techniques de limitation sont aussi introduites de manière à remailler les particules sans créer d'oscillations en présence de fortes variations de la solution. Enfin, ces méthodes sont généralisées aux dimensions plus grandes que un en s'inspirant du principe de splitting d'opérateurs. Les applications numériques présentées dans cette thèse concernent la résolution de l'équation de transport sous forme conservative en dimension un à trois, dans des régimes linéaires ou non-linéaires.

Dans cette thèse nous explorons les possibilités offertes par l'implémentation de méthodes hybrides sur des machines de calcul hétérogènes dans le but de réaliser des simulations numériques de problèmes multiéchelles. La méthode hybride consiste à coupler des méthodes de diverses natures pour résoudre les différents aspects physiques et numériques des problèmes considérés. Elle repose sur une méthode particulaire avec remaillage qui combine les avantages des méthodes Lagrangiennes et Eulériennes. Les particules sont déplacées selon le champ de vitesse puis remaillées à chaque itération sur une grille en utilisant des formules de remaillage d'ordre élevés. Cette méthode semi-Lagrangienne bénéficie des avantages du maillage régulier mais n'est pas contrainte par une condition de CFL.Nous construisons une classe de méthodes d'ordre élevé pour lesquelles les preuves de convergence sont obtenues sous la seule contrainte de stabilité telle que les trajectoires des particules ne se croisent pas.Dans un contexte de calcul à haute performances, le développement du code de calcul a été axé sur la portabilité afin de supporter l'évolution rapide des architectures et leur nature hétérogène. Une étude des performances numériques de l'implémentation GPU de la méthode pour la résolution d'équations de transport est réalisée puis étendue au cas multi-GPU. La méthode hybride est appliquée à la simulation du transport d'un scalaire passif dans un écoulement turbulent 3D. Les deux sous-problèmes que sont l'écoulement turbulent et le transport du scalaire sont résolus simultanément sur des architectures multi-CPU et multi-GPU. / In this work, we investigate the implementation of hybrid methods on heterogeneous computers in order to achieve numerical simulations of multi-scale problems. The hybrid numerical method consists of coupling methods of different natures to solve the physical and numerical characteristics of the problem. It is based on a remeshed particle method that combines the advantages of Lagrangian and Eulerian methods. Particles are pushed by local velocities and remeshed at every time-step on a grid using high order interpolation formulas. This forward semi-lagrangian method takes advantage of the regular mesh on which particles are reinitialized but is not limited by CFL conditions.We derive a class of high order methods for which we are able to prove convergence results under the sole stability constraint that particle trajectories do not intersect.In the context of high performance computing, a strong portability constraint is applied to the code development in order to handle the rapid evolution of architectures and their heterogeneous nature. An analysis of the numerical efficiency of the GPU implementation of the method is performed and extended to multi-GPU platforms. The hybrid method is applied to the simulation of the transport of a passive scalar in a 3D turbulent flow. The two sub-problems of the flow and the scalar calculations are solved simultaneously on multi-CPU and multi-GPU architectures.

La première partie de cette thèse a consisté à proposer des modèles d'insertion de trafic sur une bretelle d'entrée d'autoroute. Deux types de modélisation ont été élaborés. Une approche statistique utilisant les techniques de régression logistique nous a permis de sélectionner les variables jouant un rôle dans le choix par les véhicules provenant de la voie d'accélération du lieu où ils s'insèrent. Dans un second temps, nous effectuons une modélisation comportementale basée sur le principe d'acceptation de créneaux. Les modèles proposés ont été validés à l'aide de données issues d'un site d'observations expérimentales situé près d'Angers, le site SAROT. La seconde partie est consacrée au développement d'une méthode particulaire probabiliste permettant de simuler un modèle mésoscopique de trafic : le modèle cinétique de Paveri-Fontana. La complexité algorithmique de cette méthode proposée comme alternative aux méthodes déterministes couramment utilisées est optimisée. La comparaison des résultats obtenus à ceux d'une méthode déterministe plus standard de différences finies sur des cas-tests bien choisis a permis de valider la méthode particulaire. Ces expériences numériques ont mis en valeur ses qualités notamment sa rapidité (coût numérique) par rapport à la méthode déterministe ainsi que sa capacité à mieux reproduire certains phénomènes observés dans le trafic / The first part of this thesis is dedicated to the optimization of the lengths of acceleration lanes using microscopic data collected from real traffic. The insertions on the highway junctions can indeed be especially dangerous considering the difference between the speeds on the on ramp merge lane and those on the highway lanes. We develop and analyse some microscopic merging models. We first propose a statistical model based on the logistic regression techniques. Statistical hypothesis tests allow to select the most significant descriptive variables in the merging decision process. A behavioural modelling taking those variables into account is next proposed to better capture the interactions by including some thresholds on the gaps between the merging vehicles and freeway vehicles. The models are validated using real traffic data collected at the SAROT site near Angers. Secondly, traffic simulation at the mesoscopic scale is mostly based on deterministic numerical schemes. However, these methods have a high computational cost. The objective of the second part of this thesis is to present a new method to simulate the Paveri-Fontana kinetic model through a probabilistic approach. We interpret the evolution equation in this model as a Fokker-Planck equation and deduce an approximation based on a system of interacting particles. The algorithmic complexity of this method is optimized. We have performed a numerical comparison between the probabilistic method and a deterministic method on some cases study. The qualitative analysis highlights the benefits of the particle method such as its computation cost and its ability to reproduce some typical traffic effects

Les méthodes particulaires sont des méthodes numériques adaptées à la résolution d'équations de conservation. Leur principe consiste à introduire des particules ``numériques'' conservant localement l'inconnue sur un petit volume, puis à les transporter le long de leur trajectoire. Lorsqu'un terme source est présent dans les équations, l'évolution de la solution le long des caractéristiques est prise en compte par une intéraction entre les particules. Ces méthodes possèdent de bonnes propriétés de conservation et ne sont pas soumises aux conditions habituelles de CFL qui peuvent être contraignantes pour les méthodes Eulériennes. Cependant, une contrainte de recouvrement entre les particules doit être satisfaite pour vérifier des propriétés de convergence de la méthode. Pour satisfaire cette condition de recouvrement, un remaillage périodique des particules est souvent utilisé. Elle consiste à recréer régulièrement de nouvelles particules uniformément réparties, à partir de celles ayant été advectées à l'itération précédente. Quand cette étape de remaillage est effectuée à chaque pas de temps, l'analyse numérique de ces méthodes particulaires remaillées nécessite d'être reconsidérée, ce qui représente l'objectif de ces travaux de thèse. Pour mener à bien cette analyse, nous nous basons sur une analogie entre méthodes particulaires avec remaillage et schémas de grille. Nous montrons que pour des grands pas de temps les schémas numériques obtenus souffrent d'une perte de précision. Nous proposons des méthodes de correction, assurant la consistance des schémas en tout point de grille, le pas de temps étant contraint par une condition sur le gradient du champ de vitesse. Cette méthode est construite en dimension un. Des techniques de limitation sont aussi introduites de manière à remailler les particules sans créer d'oscillations en présence de fortes variations de la solution. Enfin, ces méthodes sont généralisées aux dimensions plus grandes que un en s'inspirant du principe de splitting d'opérateurs. Les applications numériques présentées dans cette thèse concernent la résolution de l'équation de transport sous forme conservative en dimension un à trois, dans des régimes linéaires ou non-linéaires. / Particle methods are numerical methods designed to solve advection dominated conservation equations. Their principle is to introduce ``numerical'' particles that concentrate the unknown locally on a small volume, and to transport them along their trajectories. These methods have good conservation properties and are not subject to the usual CFL conditions that can be binding for the Eulerian methods. However, an overlap condition must be satisfied between the particles to ensure convergence properties of the method. To satisfy this condition, a periodic remeshing of the particles is often used. New particles uniformly distributed are created on a regular mesh. When this remeshing step is performed at every time step, numerical analysis of particle methods needs to be revisited. This is the purpose of this thesis. To carry out this analysis, we rely on an analogy between remeshed particle methods and grid schemes. We show that for large time step the numerical schemes have a loss of accuracy. We propose correction methods wich ensure consistency at any grid point, provided the time step satisfies a condition based on the gradient of the velocity field. Limitation techniques are also introduced to remesh particles without creating any oscillations in the presence of strong variations of the solution. Finally, these methods are generalized to dimensions greater than one. Numerical example on various transport equations are given to illustrate the benefit of the proposed algorithms.

Dans ce travail, nous nous intéressons à des problèmes issus de la Mécanique des Fluides et plus particulièrement au cas des aérosols (ou sprays, c'est-à-dire un ensemble de particules en suspension dans un fluide environnant). Les phénomènes physiques mis en jeu sont modélisés par des équations aux dérivées partielles (EDP). La phase continue (fluide environnant) est décrite par des équations issues de la mécanique des milieux continus de type Navier-Stokes ou Euler. La phase dispersée est décrite par une équation cinétique de type Boltzmann.<br /><br />Le premier résultat que nous présentons est consacré à l'étude mathématique d'un couplage entre une équation cinétique de type Vlasov et les équations d'Euler isentropiques. Ces équations modélisent un spray fin. Nous démontrons l'existence en temps petit d'une solution régulière pour le couplage Vlasov-Euler isentropique.<br /><br />Ensuite, nous présentons les équations précises relatives à la modélisation des collisions, coalescences et fragmentations dans un spray.<br /><br />Nous décrivons par la suite la simulation numérique du couplage fluide-cinétique dans un code industriel (Commissariat à l'Énergie Atomique), en particulier l'ajout des phénomènes de collisions.<br /><br />Un deuxième modèle de fragmentation est également présenté. Ce modèle est plus pertinent dans les cas où les particules de la phase dispersée ont un grand nombre de Weber.<br /><br />Enfin, nous présentons un résultat concernant une estimation explicite de trou spectral pour l'opérateur de Boltzmann avec potentiels durs linéarisé, et pour l'opérateur de Landau avec potentiels durs linéarisé.

On étudie la pulvérisation numérique de jets et de nappes liquides. Dans la première partie une revue bibliographique du problème présente la théorie des instabilités de Kelvin-Helmholtz et différents résultats expérimentaux antérieurs. Dans le seconde partie on présente différentes méthodes numériques : technique de suivi d'interface (Volume of Fluid), de calculs des efforts de tension de surface (CSF) et de résolution des équations de Navier-Stokes (Mac Cormack). La dernière partie décrit une méthode particulaire (SPH) permettant de traiter des interactions d'écoulements liquides et gazeux. Les principaux phénomènes interfaciaux, tels que la tension de surface et la vaporisation sont pris en compte. Des calculs 2D et 3D de déformation de jets liquides dans les écoulements gazeux supersoniques sont analyses et comparés avec des résultats expérimentaux.

Cette thèse est consacrée à l'inférence de modèles stochastiques d'évolution de l'ADN avec dépendance au contexte, l'étude portant spécifiquement sur la classe de modèles stochastiques RN95+YpR. Cette classe de modèles repose sur un renforcement des taux d'occurrence de certaines substitutions en fonction du contexte local, ce qui introduit des phénomènes de dépendance dans l'évolution des différents sites de la séquence d'ADN. Du fait de cette dépendance, le calcul direct de la vraisemblance des séquences observées met en jeu des matrices de dimensions importantes, et est en général impraticable. Au moyen d'encodages spécifiques à la classe RN95+YpR, nous mettons en évidence de nouvelles structures de dépendance spatiales pour ces modèles, qui sont associées à l'évolution des séquences d'ADN sur toute leur histoire évolutive. Ceci rend notamment possible l'utilisation de méthodes numériques particulaires, développées dans le cadre des modèles de Markov cachés, afin d'obtenir des approximations consistantes de la vraisemblance recherchée. Un autre type d'approximation de la vraisemblance, basé sur des vraisemblances composites, est également introduit. Ces méthodes d'approximation de la vraisemblance sont implémentées au moyen d'un code en C++. Elles sont mises en œuvre sur des données simulées afin d'étudier empiriquement certaines de leurs propriétés, et sur des données génomiques, notamment à des fins de comparaison de modèles d'évolution

Cette thèse consiste à explorer une nouvelle approche pour la simulation d'objets flexibles par la mécanique des milieux continus, dans le cadre d'applications graphiques interactives telles que le jeu vidéo ou l'entraînement aux gestes chirurgicaux. Elle s'inscrit en continuité d'un stage de M2-R sur ce même sujet. Il est important de pouvoir régler simplement un compromis entre précision et temps de calcul suivant la nature de l'application. Les approches actuelles de simulation utilisent principalement la méthode des éléments finis. Celle-ci repose sur un maillage volumique des objets qu'il est souvent difficile d'adapter dynamiquement aux besoins de l'application. La nouveauté introduite par cette thèse est d'utiliser des repères déformables comme primitives cinématiques, avec des champs de déplacements inspirés des méthodes de 'skinning' utilisées en informatique graphique. Le but est d'éviter ainsi les difficultés liées au maillage volumique, ainsi que de faciliter le raffinement et la simplification adaptatives par simple ajout ou suppression de repère déformable là où c'est souhaitable. Ce travail est financé par le projet européen 'Passport for Virtual Surgery', dont le but est de créer automatiquement des modèles physiques pour l'entraînement aux gestes de chirurgie hépatique, à partir de données médicales et anatomiques personnalisées. Dans ce contexte, Guillaume, en collaboration avec d'autres membres du projet, mettra en place les outils nécessaires pour construire la scène physique à partir d'images médicales segmentées et de connaissances anatomiques génériques. Le foie sera dans un premier temps représenté par des modèles physiques précédemment développés à EVASION et étendus aux opérations de découpe. Par la suite, il y appliquera son nouveau modèle mécanique basé sur des repères déformables. The aim of this thesis is to develop a new approach for the simulation of flexible objects based on the continous middle method, related with interactive graphics applications such as video games or training in surgery. It is a continuity of the M2 research internship on the same topic. It is important to simply settle a compromise between accuracy and time computing according to the application. Current simulation approaches mainly use the finite element method, which is based on a volumetric mesh of the simulated objects. It is often difficult to dynamically adapt the needs to the application. The novelty of this thesis is to use deformable reference frames as kinematic primitives, with displacement fields based on 'skinning' methods used in computer graphics. The aim is to avoid the difficulties associated with volumetric mesh, and make the refinement and the adaptive simplification easier by adding or deleting deformable reference frames if necessary. This work is funded by the European project 'Passport for Virtual Surgery', which aims to automatically create models for physical training in gestures of liver surgery, from medical and anatomical custom data. In this context, Guillaume, in collaboration with other members of the project, will develop the tools necessary to build the physical scene from segmented medical images and generic anatomical knowledge. The liver will initially be represented by physical models previously developed in the EVASION team and then extended to cutting operations. Thereafter, Guillaume will apply his new mechanical model based on deformable reference frames.