Si l'importance de mécanismes physiques dans la morphogenèse et la régulation du développement animal est bien établie, ils ont reçu moins d'attention dans le cas des plantes, en dépit du rôle que jouent les contraintes mécaniques et le transport de l'eau dans leur croissance. Nous nous sommes attaché à étudier la possibilité de tels mécanismes, en nous intéressant notamment aux réseaux de nervures, et en nous appuyant sur différents modèles de la croissance des tissus végétaux. Nous avons ainsi examiné l'hypothèse d'un couplage entre contraintes mécaniques et différenciation des tissus vasculaires, suggérée par l'analogie entre leur structure et celle des réseaux de fractures. Les résultats d'un modèle de prolifération cellulaire suggèrent par ailleurs que certains aspects de leur géométrie résultent d'une réorganisation au cours de leur croissance, et reflètent un équilibre de forces. Nous nous sommes également intéressé à la forme des cellules dans les tissus végétaux, qui s'apparente à celle des bulles dans les mousses liquides. L'examen des conditions requises pour qu'une telle géométrie se développe laisse entrevoir une forme particulière de la régulation de la croissance végétale. Nous proposons par ailleurs une analyse fonctionnelle des réseaux de nervures, en suggérant une interprétation de la présence de boucles dans ces réseaux, là où les réseaux de transport optimaux ont typiquement une structure arborescente. Nous montrons que la structure d'un réseau optimal soumis à des fluctuations contient des boucles.

Thèse de doctorat : Mathématiques : Lyon, École normale supérieure (sciences) : 2005. / Bibliogr. p. 257-263.

Une première partie de cette thèse est dédiée à l’étude de la régularité de la densité de transport sigma dans le problème de Monge entre deux mesures f^+ et f^- sur un domaine Omega. Tout d’abord, on étudie la question de la sommabilité L^p de cette densité de transport entre une mesure f^+ et sa projection sur le bord (P)# f^+, qui ne découle pas en fait des résultats connus (dus à De Pascale - Evans - Pratelli - Santambrogio) sur la densité de transport entre deux densités L^p, comme dans notre cas la mesure cible est singulière. Par une méthode de symétrisation, dès que Omega est convexe ou satisfait une condition de boule uniforme extérieure, nous prouvons les estimations L^p (si f^+ in L^p, alors sigma in L^p). En plus, nous analysons le cas où on paye des coûts supplémentaires g^± sur le bord, en prouvant que la densité de transport est dans L^p dès que f^± in L^p, Omega satisfait une condition de boule uniforme extérieure et, g^± sont lambda^± Lipschitiziens avec lambda^± < 1 et semi-concaves. Ensuite, on s’attaque à la régularité d’ordre supérieur (W^{1,p}, C^{0,alpha}, BV · · ·) de la densité de transport sigma entre deux densités régulières f^+ et f^-. Plus précisément, nous fournissons une famille de contre-exemples à la régularité supérieure: nous prouvons que la régularité W^{1,p} des mesures source et cible, f^+ et f^-, n’implique pas que la densité de transport est W^{1,p}, de même pour la régularité BV, et même f^± in C^infty n’implique pas que sigma est dans W^{1,p}, pour p grand. Ensuite, nous étudions la sommabilité L^p de la densité de transport entre deux mesures f^+ et f^- concentrées sur le bord. Plus précisément, nous prouvons que si f^+ et f^- sont dans L^p(partialOmega), alors la densité de transport sigma entre eux est dans L^p(Omega) dès que Omega est uniformément convexe et p leq 2; de plus, nous introduisons un contre-exemple montrant que ce résultat n’est plus vrai si p > 2. Cela fournit des résultats de régularité W^{1,p} sur la solution u du problème de gradient minimal avec donnée au bord g dans des domaines uniformément convexes (si g in W^{1,p}(partialOmega) alors u in W^{1,p}(Omega)).Dans une deuxième partie, nous étudions un problème de contrôle optimal motivé par un modèle de jeux à champ moyen. D’abord, nous montrons des résultats de différentiabilité et semi-concavité sur la fonction valeur associée au problème de contrôle (le résultat de semi-concavité est optimal en ce qui concerne les hypothèses sur la régularité en temps). Ensuite, nous démontrons que la densité des agents rho_t, dans le modèle MFG considéré, est dans L^p dès que la densité initiale rho_0 in L^p. En plus, nous arrivons à prouver l’existence d’un équilibre pour le problème MFG considéré dans un cas où la dynamique n’est pas régulière.Dernièrement, nous considérons le problème stationnaire associé au problème MFG. Nous montrons que la densité d’équilibre n’est rien d’autre que la densité de transport entre une densité source f et sa projection sur le bord en utilisant une métrique Riemannienne non-uniforme comme coût de transport. Cela nous permet de démontrer que la densité d’équilibre rho est dans L^p dès que la densité source f in L^p. Par conséquent, nous arrivons à prouver aussi l’existence d’un équilibre stationnaire dans un cas où la dynamique n’est pas régulière. / A first part of this thesis is dedicated to the study of the regularity of the transport density sigma in the Monge problem between two measures f^+ and f^- on a domain Omega. First, we study the question of L^p summability of this transport density between a measure f^+ and its projection on the boundary (P)# f^+, which does not actually follow from the known results (due to De Pascale, Evans, Pratelli, Santambrogio) on the transport density between two L^p densities, as in our case the target measure is singular. By a symmetrization trick, if Omega is convex or satisfies a uniform exterior ball condition, we prove the L^p estimates (if f^+ in L^p, then sigma in L^p). In addition, we analyze the case where we pay additional costs g^± on the boundary, proving that the transport density sigma is in L^p as soon as f^± in L^p, Omega satisfies a uniform exterior ball condition and, g^± are lambda^± Lip with lambda^± < 1 and semi-concave. Then we attack the higher-order regularity (W^{1,p}, C^{0,alpha}, BV · · ·) of the transport density sigma between two regular densities f^+ and f^-. More precisely, we provide a family of counter-examples to the higher regularity: we prove that the W^{1,p} regularity of the source and target measures, f^+ and f^-, does not imply that the transport density is in W^{1,p}, the same for the BV regularity, and even f^± in C^infty does not imply that sigma is in W^{1,p}, for large p. Next, we study the L^p summability of the transport density between two measures, f^+ and f^-, concentrated on the boundary. More precisely, we prove that if f^+ and f^- are in L^p(partialOmega), then the transport density sigma between them is in L^p(Omega) as soon as Omega is uniformly convex and p leq 2; moreover, we introduce a counter-example showing that this result is no longer true if p > 2. This provides W^{1,p} regularity results on the solution u of the least gradient problem with boundary datum g in uniformly convex domains (if g in W^{1,p}(partialOmega) then u in W^{1,p}(Omega)).In a second part, we study an optimal control problem motivated by a model of mean field games. First, we show differentiability and semi-concavity results on the value function associated with the control problem (the semi-concavity result will be sharp in regards to the hypotheses on the regularity in time). Then we show that the density of agents rho_t, in the considered MFG model, is in L^p as soon as the initial density rho_0 in L^p. In addition, we prove existence of an equilibrium for the considered MFG problem in a case where the dynamic is non-regular.Lastly, we consider the stationary problem associated with the MFG model. We show that the equilibrium density is nothing but the transport density between a source density f and its projection on the boundary using a non-uniform Riemannian metric as a transport cost. This allows us to show that the equilibrium density rho is in L^p as soon as the source density f in L^p. Therefore, we also prove existence of a stationary equilibrium in a case where the dynamic is non-regular.

Le Transport Optimal régularisé par l’Entropie (TOE) permet de définir les Divergences de Sinkhorn (DS), une nouvelle classe de distance entre mesures de probabilités basées sur le TOE. Celles-ci permettentd’interpolerentredeuxautresdistancesconnues: leTransport Optimal(TO)etl’EcartMoyenMaximal(EMM).LesDSpeuventêtre utilisées pour apprendre des modèles probabilistes avec de meilleures performances que les algorithmes existants pour une régularisation adéquate. Ceci est justifié par un théorème sur l’approximation des SDpardeséchantillons, prouvantqu’unerégularisationsusantepermet de se débarrasser de la malédiction de la dimension du TO, et l’on retrouve à l’infini le taux de convergence des EMM. Enfin, nous présentons de nouveaux algorithmes de résolution pour le TOE basés surl’optimisationstochastique‘en-ligne’qui,contrairementàl’étatde l’art, ne se restreignent pas aux mesures discrètes et s’adaptent bien aux problèmes de grande dimension. / This thesis proposes theoretical and numerical contributions to use Entropy-regularized Optimal Transport (EOT) for machine learning. We introduce Sinkhorn Divergences (SD), a class of discrepancies betweenprobabilitymeasuresbasedonEOTwhichinterpolatesbetween two other well-known discrepancies: Optimal Transport (OT) and Maximum Mean Discrepancies (MMD). We develop an ecient numerical method to use SD for density fitting tasks, showing that a suitable choice of regularization can improve performance over existing methods. We derive a sample complexity theorem for SD which proves that choosing a large enough regularization parameter allows to break the curse of dimensionality from OT, and recover asymptotic ratessimilartoMMD.Weproposeandanalyzestochasticoptimization solvers for EOT, which yield online methods that can cope with arbitrary measures and are well suited to large scale problems, contrarily to existing discrete batch solvers.

Une part importante de l’activité en calcul scientifique et analyse numérique est consacrée aux problèmes de transport d’une quantité par un champ donné (ou lui-même calculé numériquement). Les questions de conservations étant essentielles dans ce domaine, on formule en général le problème de façon eulérienne sous la forme d’un bilan au niveau de chaque cellule élémentaire du maillage, et l’on gère l’évolution en suivant les valeurs moyennes dans ces cellules au cours du temps. Une autre approche consiste à suivre les caractéristiques du champ et à transporter les valeurs ponctuelles le long de ces caractéristiques. Cette approche est délicate à mettre en oeuvre, n’assure pas en général une parfaite conservation de la matière transportée, mais peut permettre dans certaines situations de transporter des quantités non régulières avec une grande précision, et sur des temps très longs (sans conditions restrictives sur le pas de temps comme dans le cas des méthodes eulériennes). Les travaux de thèse présentés ici partent de l’idée suivante : dans le cadre des méthodes utilisant un suivi de caractéristiques, transporter une quantité supplémentaire géométrique apportant plus d’informations sur le problème (on peut penser à un tenseur des contraintes dans le contexte de la mécanique des fluides, une métrique sous-jacente lors de l’adaptation de maillage, etc. ). Un premier pan du travail est la formulation théorique d’une méthode de transport de telles quantités. Elle repose sur le principe suivant : utiliser la différentielle du champ de transport pour calculer la différentielle du flot, nous donnant une information sur la déformation locale du domaine nous permettant de modifier nos quantités géométriques. Cette une approche a été explorée dans dans le contexte des méthodes particulaires plus particulièrement dans le domaine de la physique des plasmas. Ces premiers travaux amènent à travailler sur des densités paramétrées par un couple point/tenseur, comme les gaussiennes par exemple, qui sont un contexte d’applications assez naturelles de la méthode. En effet, on peut par la formulation établie transporter le point et le tenseur. La question qui se pose alors et qui constitue le second axe de notre travail est celle du choix d’une distance sur des espaces de densités, permettant par exemple d’étudier l’erreur commise entre la densité transportée et son approximation en fonction de la « concentration » au voisinage du point. On verra que les distances Lp montrent des limites par rapport au phénomène que nous souhaitons étudier. Cette étude repose principalement sur deux outils, les distances de Wasserstein, tirées de la théorie du transport optimal, et la distance de Fisher, au carrefour des statistiques et de la géométrie différentielle. / In applied mathematics, question of moving quantities by vector is an important question : fluid mechanics, kinetic theory… Using particle methods, we're going to move an additional quantity giving more information on the problem. First part of the work is the theorical formulation for this kind of transport. It's going to use the differential in space of the vector field to compute the differential of the flow. An immediate and natural application is density who are parametrized by and point and a tensor, like gaussians. We're going to move such densities by moving point and tensor. Natural question is now the accuracy of such approximation. It's second part of our work , which discuss of distance to estimate such type of densities.

On considère le groupe de Heisenberg $\He_n=\R^{2n+1}$ avec la distance de Carnot-Carathéodory $d_c$ et la mesure de Lebegue $\Lg^{2n+1}$. Dans le premier chapitre, dans le cadre du problème du voyageur de commerce géométrique de $\Hei$, on construit une courbe de longueur finie qui ne vérifie pas le critère de Ferrari, Franchi et Pajot au sujet des ensembles contenus dans une courbe rectifiable. On montre aussi une inégalité sur le déterminant jacobien des applications de contraction sur un point qui suivent les géodésiques. Cette inégalité est essentiellement équivalente à la Propriété de Contraction de Mesure $MCP(0,2n+3)$. Grâce à cette proprété on répond positivement au Chapitre 2 à une question d'Ambrosio et Rigot à propos du transport de mesure dans $\He_n$ (travail en commun avec Figalli). Il s'avère en effet que les mesures traversées par une géodésique de l'espace de Wasserstein sont absolument continues dès qu'une extrémité de la géodésique l'est. Au Chapitre 3 on démontre que la Courbure-Dimension $CD(K,N)$ définie par transport de mesure n'est pas vérifiée pour $\He_n$ et que cela vaut quels que soient les paramètres $K\in\R$ et $N\in[1,+\infty]$. On discute aussi d'autres propriétés de courbures dans le cas du groupe de Heisenberg. Le Chapitre 4 est dédié à la correspondance entre l'équation de la chaleur sous-elliptique et le flot de gradient de l'entropie de Bolzmann dans l'espace de Wassertein.

Nous étudions dans ce travail les mouvements de foule intervenant dans les situa- tions d'urgence. Nous proposons un modèle macroscopique (la foule est représentée par une densité de personnes) obéissant à deux principes très simples. Tout d'abord, chaque personne possède une vitesse souhaitée (typiquement celle qui la mène vers la sortie), qu'elle adopterait en l'absence des autres. Ensuite, la foule doit respecter une contrainte de congestion, et la densité de personnes doit rester inférieure à une valeur fixée. Cette contrainte impose une vitesse de déplacement différente de la vitesse souhaitée. Nous choisissons de prendre comme vitesse réelle celle qui est la plus proche, au sens des moindres carrés, de la vitesse souhaitée, parmi les champs de vitesses admissibles, au sens où ils respectent la contrainte de densité maximale. Le modèle obtenu s'écrit sous la forme d'une équation de transport impliquant une vitesse peu régulière a priori, et qui ne peut être étudiée par des méthodes classiques. Nous démontrons un résultat d'existence grâce à la théorie du transport optimal, tout d'abord dans le cas d'une vitesse donnée comme le gradient d'une fonction, puis dans le cas général. Nous mettons également en œuvre un schéma numérique de type catching-up : à chaque pas de temps, la densité est déplacée selon le champ de vitesse souhaitée, puis est projetée sur l'ensemble des densités admissibles. Les résultats obtenus fournissent des temps d'évacuation dont l'ordre de grandeur est proche de la réalité.

L'objet de cette thèse est de modéliser et d'étudier des structures d'irrigation telles les nervures des feuilles, réseau sanguin, poumons,etc. Un modèle généralisant le problème de Gilbert Steiner est introduit ; on étudie alors les propriétés d'existence, de stabilité et régularité. Des algorithmes sont alors proposés pour la simulation.

Plusieurs problèmes d'optimisation liés à la théorie du transport optimal, concernant aussi des critères de concentration, sont étudiés. Il s'agit, pour ce qui est des primiers chapitres, de la minimization de fonctionnelles definies sur les mesures marginales du porblème de transport, en demandant que l'une soit concentrée et l'autre diffusée, alors que les deux doivent être proche au sense du transport de masse. D'autres chapitres portent sur des modèles différentes qui considèrent la concentration des parcours suivis par les particules lors du mouvement, en donnant des effets de congestion ou branchement. Plusieurs problèmes font apparaître des structures de dimension 1 (reseaux, supports rectifiables de mesures vectorielles, ensemble sous contraintes de longueur...) et leur régularité (blow-up) est étudiée dans les deux derniers chapitres. Les modèles viennent dans la majorité des cas de possibles applications à la planification urbaine, la biologie (arbres, feuilles et système sanguin), la géophysique (bassins fluviaux) et la mécanique des fluides. La thèse a été écrite sous la direction du Prof. Buttazzo et soutenue à l'Ecole Normale Supérieure de Pise.

Texte remanié de : Thèse de doctorat : Mathématiques : Lyon, École normale supérieure (sciences) : 2007. / Bibliogr. p. [243]-251.