Soit G un groupe de Lie connexe. On montre qu'une structure complexe sur l'espace total TG du fibré tangent de G, invariante à gauche, et telle qu'une G-orbite quelconque par rapport à translation à gauche soit totalement réelle, est induite par une immersion lisse de TG dans le complexifié de G. Pour G compact et connexe, on caractérise ensuite les structures complexes invariantes à gauche et également les structures complexes biinvariantes sur l'espace total T*G du fibré cotangent de G qui, combinées avec la structure symplectique tautologique, munissent T*G d'une structure kählérienne. On étudie enfin les courbures de Ricci de ces structures kählériennes. / Let G be a connected Lie group. We show that every complex structure on the total space TG of the tangent bundle of G which is left invariant and such that an orbit with respect to the left translation action is totally real, is induced by a smooth immersion of TG into the complexifixed group of G. For G compact and connected, we also characterize the right invariant complex structures and the biinvariant complex structures on the total space T*G of the cotangent bundle of G which, combined with the tautological symplectic structure, endow T*G with a Kaehler structure. Finally, we study the Ricci curvature of these Kaehler structures.

On considère le groupe de Heisenberg $\He_n=\R^{2n+1}$ avec la distance de Carnot-Carathéodory $d_c$ et la mesure de Lebegue $\Lg^{2n+1}$. Dans le premier chapitre, dans le cadre du problème du voyageur de commerce géométrique de $\Hei$, on construit une courbe de longueur finie qui ne vérifie pas le critère de Ferrari, Franchi et Pajot au sujet des ensembles contenus dans une courbe rectifiable. On montre aussi une inégalité sur le déterminant jacobien des applications de contraction sur un point qui suivent les géodésiques. Cette inégalité est essentiellement équivalente à la Propriété de Contraction de Mesure $MCP(0,2n+3)$. Grâce à cette proprété on répond positivement au Chapitre 2 à une question d'Ambrosio et Rigot à propos du transport de mesure dans $\He_n$ (travail en commun avec Figalli). Il s'avère en effet que les mesures traversées par une géodésique de l'espace de Wasserstein sont absolument continues dès qu'une extrémité de la géodésique l'est. Au Chapitre 3 on démontre que la Courbure-Dimension $CD(K,N)$ définie par transport de mesure n'est pas vérifiée pour $\He_n$ et que cela vaut quels que soient les paramètres $K\in\R$ et $N\in[1,+\infty]$. On discute aussi d'autres propriétés de courbures dans le cas du groupe de Heisenberg. Le Chapitre 4 est dédié à la correspondance entre l'équation de la chaleur sous-elliptique et le flot de gradient de l'entropie de Bolzmann dans l'espace de Wassertein.

La courbure de Ricci grossière d'un processus markovien sur un espace polonais est définie comme un taux de contraction local de la distance de Wasserstein W1 entre les lois du processus partant de deux points distincts. La première partie de cette thèse traite de résultats valables dans le cas d'espaces polonais quelconques. On montre que l'infimum de la courbure de Ricci grossière est un taux de contraction global du semigroupe du processus pour la distance W1. Quoiqu'intuitif, ce résultat est difficile à démontrer en temps continu. La preuve de ce résultat, ses conséquences sur le trou spectral du générateur font l'objet du chapitre 1. Un autre résultat intéressant, faisant intervenir les valeurs de la courbure de Ricci grossière en différents points, et pas seulement son infimum, est un résultat de concentration des mesures d'équilibre, valable uniquement en temps discret. Il sera traité dans le chapitre 2. La seconde partie de cette thèse traite du cas particulier des diffusions sur les variétés riemanniennes. Une formule est donnée permettant d'obtenir la courbure de Ricci grossière à partir du générateur. Dans le cas où la métrique est adaptée à la diffusion, nous montrons l'existence d'un couplage entre les trajectoires tel que la courbure de Ricci grossière est exactement le taux de décroissance de la distance entre ces trajectoires. Le trou spectral du générateur de la diffusion est alors plus grand que la moyenne harmonique de la courbure de Ricci. Ce résultat peut être généralisé lorsque la métrique n'est pas celle induite par le générateur, mais il nécessite une hypothèse contraignante, et la courbure que l'on doit considérer est plus faible.

La courbure de Ricci grossière d’un processus markovien sur un espace polonais est définie comme un taux de contraction local de la distance de Wasserstein W1 entre les lois du processus partant de deux points distincts. La première partie de cette thèse traite de résultats valables dans le cas d’espaces polonais quelconques. On montre que l’infimum de la courbure de Ricci grossière est un taux de contraction global du semigroupe du processus pour la distance W1. Quoiqu’intuitif, ce résultat est difficile à démontrer en temps continu. La preuve de ce résultat, ses conséquences sur le trou spectral du générateur font l’objet du chapitre 1. Un autre résultat intéressant, faisant intervenir les valeurs de la courbure de Ricci grossière en différents points, et pas seulement son infimum, est un résultat de concentration des mesures d’équilibre, valable uniquement en temps discret. Il sera traité dans le chapitre 2. La seconde partie de cette thèse traite du cas particulier des diffusions sur les variétés riemanniennes. Une formule est donnée permettant d’obtenir la courbure de Ricci grossière à partir du générateur. Dans le cas où la métrique est adaptée à la diffusion, nous montrons l’existence d’un couplage entre les trajectoires tel que la courbure de Ricci grossière est exactement le taux de décroissance de la distance entre ces trajectoires. Le trou spectral du générateur de la diffusion est alors plus grand que la moyenne harmonique de la courbure de Ricci. Ce résultat peut être généralisé lorsque la métrique n’est pas celle induite par le générateur, mais il nécessite une hypothèse contraignante, et la courbure que l'on doit considérer est plus faible. / The coarse Ricci curvature of a Markov process on a Polish space is defined as a local contraction rate of the W1 Wasserstein distance between the laws of the process starting at two different points. The first part of this thesis deals with results holding in the case of general Polish spaces. The simplest of them is that the infimum of the coarse Ricci curvature is a global contraction rate of the semigroup of the process for the W1 distance between probability measures. Though intuitive, this result is diffucult to prove in continuous time. The proof of this result, and the following consequences for the spectral gap of the generator are the subject of Chapter 1. Another interesting result, using the values of the coarse Ricci curvature at different points, and not only its infimum, is a concentration result for the equilibrium measures, only holding in a discrete time framework. That will be the topic of Chapter 2. The second part of this thesis deals with the particular case of diffusions on Riemannian manifolds. A formula is given, allowing to get the coarse Ricci curvature from the generator of the diffusion. In the case when the metric is adapted to the diffusion, we show the existence of a coupling between the paths starting at two different points, such that the coarse Ricci curvature is exactly the decreasing rate of the distance between these paths. We can then show that the spectral gap of the generator is at least the harmonic mean of the Ricci curvature. This result can be generalized when the metric is not the one induced by the generator, but it needs a very restricting hypothesis, and the curvature we have to choose is smaller.

Le flot de Ricci est une équation aux dérivées partielles qui régit l’évolution d’une métrique riemannienne dépendant d’un paramètre de temps sur une variété différentielle. D’abord introduit et étudié par R. Hamilton, il est à l’origine de la solution de la conjecture de géométrisation des variétés compactes de dimension 3 par G. Perelman en 2001. La théorie classique concernant l’existence en temps court des solutions, due à Hamilton et à Shi, garantit (en dimension quelconque) l’existence d’un flot soit sur une variété compacte, soit lorsque la métrique initiale est complète avec une borne sur la norme du tenseur de courbure. En l’absence de cette borne, on conjecture qu’on peut trouver, à partir de la dimension 3, des données initiales pour lesquelles il n’existe pas de solution. Dans cette thèse, on démontre des théorèmes d’existence en temps court du flot sous des hypothèses plus faibles qu’une borne sur la norme du tenseur de courbure. Pour cela, on introduit une construction générale qui, pour une métrique riemannienne g quelconque sur une variété M, pas nécessairement complète, permet de produire une solution de l’équation du flot sur un domaine ouvert D de l’espace-temps M * [0,T] qui contient la tranche de temps initiale, avec g pour donnée initiale. On montre ensuite que sous des hypothèses adaptées sur la métrique g, on contrôle la forme du domaine D. En particulier, lorsque la métrique g est complète, D contient un ensemble de la forme M * [0,t], avec t>0, ce qui revient à dire qu’il existe un flot au sens classique dont la donnée initiale est g. Les « hypothèses adaptées » qui conduisent à des théorèmes d’existence sont de trois types. Dans tout les cas, on suppose une minoration uniforme du volume des boules de rayon au plus 1, à quoi on ajoute : a) en dimension 3, une minoration du tenseur de Ricci, b) en dimension n, une minoration d’une notion de courbure dite « courbure isotrope I » ou bien c) en dimension n, une borne sur la norme du tenseur de Ricci et une hypothèse qui garantit la proximité au sens métrique des boules de rayon au plus 1 avec une boule de même rayon dans un espace métrique obtenu comme le produit cartésien d’un espace de dimension 3 et d’un facteur euclidien de dimension n-3. De plus, avec ces résultats d’existence viennent des estimations sur les propriétés de régularisation du flot quantifiées en fonction des hypothèses sur la donnée initiale. La possibilité ainsi offerte de régulariser, globalement ou localement, pour un temps et avec des estimations quantifiés, une métrique initiale a des conséquence sur les espaces métriques singuliers obtenus comme limites, pour la distance de Gromov-Hausdorff, de suites de variétés satisfaisant uniformément aux conditions a), b) ou c). En effet, des théorèmes de compacité classiques pour le flot de Ricci permettent d’extraire un flot limite, étant donnée une suite de métriques initiales satisfaisant uniformément à ces hypothèses, et possédant donc toutes un flot pour un temps contrôlé. Lorsque les métriques en question approchent, pour la topologie de Gromov-Hausdorff, un espace singulier, cette solution limite s’interprète comme un flot régularisant l’espace singulier en question, et son existence contraint la topologie de cet espace singulier. / The Ricci Flow is a partial differential equation governing the evolution of a Riemannian metric depending on a time parameter t on a differential manifold. It was first introduced and studied by R. Hamilton, and eventually led to the solution of the Geometrization conjecture for closed three-dimensional manifolds by G. Perelman in 2001. The classical short-time existence theory for the Ricci Flow, due to Hamilton and Shi, asserts, in any dimension, the existence of a flow starting from any initial metric when the underlying manifold in compact, or for any complete initial metric with a bound on the norm of the curvature tensor otherwise. In the absence of such a bound, though, the conjecture is that starting from dimension 3 one can find such initial data for which there is no solution. In this thesis, we prove short-time existence theorems under hypotheses weaker than a bound on the norm of the curvature tensor. To do this, we introduce a general construction which, for any Riemannian metric g (not necessarily complete) on a manifold M, allows us to produce a solution to the equation of the flow on an open domain D of the space-time M * [0,T] which contains the initial time slice, with g as an initial datum. We proceed to show that under suitable hypotheses on g, one can control the shape of the domain D, so that in particular, D contains a subset of the form M * [0,t] with t>0 if g is complete. By « suitable hypothesis », we mean one of the following. In any case, we assume a lower bound on the volume of balls of radius at most 1, plus a) in dimension 3, a lower bound on the Ricci tensor, b) in dimension n, a lower bound on the so-called « isotropic curvature I » or c) in dimension n, a bound on the norm of the Ricci tensor, as well as a hypothesis which garanties the metric proximity of every ball of radius at most $1$ with a ball of the same radius in a metric product between a three-dimensional metric space and a $n-3$ dimensional Euclidian factor. Moreover, with these existence results come estimates on the existence time and regularization properties of the flow, quantified in term of the hypotheses on the initial data. The possibility to regularize metrics, locally or globally, with such estimates has consequences in terms of the metric spaces obtained as limits, in the Gromov-Hausdorff topology, of sequences of manifolds uniformly satisfying a), b) or c). Indeed, the classical compactness theorems for the Ricci Flow allow for the extraction of a limit flow for any sequence of initial metrics uniformly satisfying the hypotheses and thus possessing a flow for a controlled amount of time. In the case when these metrics approach a singular space in the Gromov-Hausdorff topology, such a limit solution can be interpreted as a flow regularizing the singular limit space, the existence of which puts constraints on the topology of this space.

Le but principal de ce manuscrit est celui de présenter une nouvelle méthode d'interpolation entre des probabilités inspirée du problème de Schrödinger, problème de minimisation entropique ayant des liens très forts avec le transport optimal. À l'aide de solutions au problème de Schrödinger, nous obtenons un schéma d'approximation robuste jusqu'au deuxième ordre et différent de Brenier-McCann qui permet d'établir la formule de dérivation du deuxième ordre le long des géodésiques Wasserstein dans le cadre de espaces RCD* de dimension finie. Cette formule était inconnue même dans le cadre des espaces d'Alexandrov et nous en donnerons quelques applications. La démonstration utilise un ensemble remarquable de nouvelles propriétés pour les solutions au problème de Schrödinger dynamique :- une borne uniforme des densités le long des interpolations entropiques ;- la lipschitzianité uniforme des potentiels de Schrödinger ;- un contrôle L2 uniforme des accélérations. Ces outils sont indispensables pour explorer les informations géométriques encodées par les interpolations entropiques. Les techniques utilisées peuvent aussi être employées pour montrer que la solution visqueuse de l'équation d'Hamilton-Jacobi peut être récupérée à travers une méthode de « vanishing viscosity », comme dans le cas lisse.Dans tout le manuscrit, plusieurs remarques sur l'interprétation physique du problème de Schrödinger seront mises en lumière. Cela pourra aider le lecteur à mieux comprendre les motivations probabilistes et physiques du problème, ainsi qu'à les connecter avec la nature analytique et géométrique de la dissertation. / Main aim of this manuscript is to present a new interpolation technique for probability measures, which is strongly inspired by the Schrödinger problem, an entropy minimization problem deeply related to optimal transport. By means of the solutions to the Schrödinger problem, we build an efficient approximation scheme, robust up to the second order and different from Brenier-McCann's classical one. Such scheme allows us to prove the second order differentiation formula along geodesics in finite-dimensional RCD* spaces. This formula is new even in the context of Alexandrov spaces and we provide some applications.The proof relies on new, even in the smooth setting, estimates concerning entropic interpolations which we believe are interesting on their own. In particular we obtain:- equiboundedness of the densities along the entropic interpolations,- equi-Lipschitz continuity of the Schrödinger potentials,- a uniform weighted L2 control of the Hessian of such potentials. These tools are very useful in the investigation of the geometric information encoded in entropic interpolations. The techniques used in this work can be also used to show that the viscous solution of the Hamilton-Jacobi equation can be obtained via a vanishing viscosity method, in accordance with the smooth case. Throughout the whole manuscript, several remarks on the physical interpretation of the Schrödinger problem are pointed out. Hopefully, this will allow the reader to better understand the physical and probabilistic motivations of the problem as well as to connect them with the analytical and geometric nature of the dissertation.

Les trois chapitres, relativement indépendants, de la thèse étudient des variétés pseudo-riemanniennes (variétés munies d'une métrique non-dégénérée mais non définie) dont l'holonomie restreinte est indécomposable mais stabilise des sous-espaces totalement isotropes. Chapitre 1. Une variété riemanienne de courbure de Ricci parallèle est localement (globalement si elle est complète et simplement connexe) un produit de variétés d'Einstein. Cela résulte de la positivité de la métrique et n'est plus vrai dans le cas pseudo-riemannien. Cependant, en utilisant les propriétés classiques de l'holonomie ainsi qu'un travail de Klingenberg de 1954 sur les paires de formes bilinéaires symétriques le chapitre 1 montre un résultat proche : décomposition en produit de variétés d'Einstein et de deux autres types, <> et < pour les paires de formes réflexives, voir pp.96-100 de la thèse. Chapitre 3. Le plus significatif, il construit, sur une certaine classe de variétés pseudo-riemanniennes réductibles, indécomposables sous l'action de leur holonomie restreinte, des coordonnées privilégiées, <> en un sens qu'il précise (th. 1 p. 167). Ces coordonnées sont un outil pour une première compréhension de la géométrie locale, complexe, de ces variétés. Elles permettent en particulier de paramétrer l'espace des germes de métriques lorentziennes correspondant à chacun des quatre types d'holonomie lorentzienne possibles donnés par A. Ikemakhen et L. Bérard Bergery. (voir pp. 204--205 et 211).

Dans cette thèse, j'ai étudié le noyau et le semi-groupe de la chaleur ainsi que les inégalités fonctionnelles associées sur trois espaces modèles de la géométrie sous-elliptique. Cette étude a en fait pour principal objectif de développer et tester de nouvelles techniques et méthodes que l'on espère ensuite pouvoir étendre en géométrie sous-elliptique. Le but avoué est de comprendre en géométrie sous-elliptique une notion de courbure de Ricci minorée par une constante. Ici, les trois espaces modèles sont des groupes de Lie de dimension 3: le groupe de Heisenberg, le groupe SU(2) et le groupe SL(2,R), que l'on munit d'un sous-laplacien: un opérateur différentiel du second ordre invariant à gauche essentiellement auto-adjoint pour la mesure de Haar du groupe qui n'est pas elliptique mais hypoelliptique d'après des résultats de Hörmander. Mes résultats portent tout d'abord sur l'obtention de formules explicites pour les noyaux de la chaleur associés. J'ai ensuite introduit un critère de courbure-dimension de Bakry-Emery généralisé qui, sous certaines conditions d'antisymétrie vérifiées sur nos espaces modèles, permet l'obtention d'estimées du type de Li-Yau. Je me suis enfin intéressé à l'établissement et l'étude d'inégalités de sous-commutation entre le gradient et le semi-groupe de la chaleur. J'ai notamment donné deux nouvelles démonstrations de l'inégalité de H.Q.Li sur le groupe de Heisenberg.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à différents opérateurs d'inf-convolutions et à leurs applications à une classe d'inégalités de transport générales, plus spécifiquement sur les graphes. Notre objet de recherche s'inscrit donc dans les théories du transport de mesure et de l'analyse fonctionnelle. En introduisant une notion de gradient adapté au cadre discret (et plus généralement à tout espace métrique dont les boules sont compactes), nous prouvons que certains opérateurs d'inf-convolution sont solutions d'une inéquation d'Hamilton Jacobi sur les graphes. Ce résultat nous permet d'étendre au cadre discret un théorème classique de Bobkov, Gentil et Ledoux. Plus précisément nous montrons que des inégalités de transport faible (adaptées au cadre discret) sont équivalentes, sur un graphe, à l'hypercontractivité des opérateurs d'inf-convolutions. On en déduit plusieurs résultats concernant différentes inégalités fonctionnelles, dont celle de Sobolev logarithmique et de transport faible. Nous étudions par ailleurs les propriétés générales de différents opérateurs d'inf-convolutions, incluant le précédent, mais aussi un opérateur relié à un modèle issu de la physique (et au phénomène de grande déviation), toujours sur les graphes (dérivabilités, convexité, points extremum etc.). Dans un deuxième temps, nous nous intéressons aux liens entre différentes notions de courbure de Ricci sur les graphes -- proposées récemment par plusieurs auteurs -- et les inégalités fonctionnelles de type transport-entropie, ou transport-information associées à une chaîne de Markov. Nous obtenons également une borne supérieure sur le diamètre d'un graphe dont la courbure, en un certain sens, est minorée, un résultat à la Bonnet-Myers. Enfin, en nous restreignant au cas de la dimension 1, sur la droite réelle, nous obtenons une caractérisation d'une inégalité de transport faible et de l'inégalité de Sobolev logarithmique restreinte aux fonctions convexes. Ces résultats utilisent des propriétés géométriques liés à l'ordre convexe. / In this thesis, we interest in different inf-convolution operators and their applications to a class of general transportation inequalities, more specifically in the graphs. Therefore, our research topic fits in the theories of transportation and functional analysis. By introducing a gradient notion adapting to a discrete space (more generally to all space in which all closed balls are compact), we prove that some inf-convolution operators are solutions of a Hamilton-Jacobi's inequation. This result allows us to extend a classical theorem from Bobkov, Gentil and Ledoux. More precisely, we prove that, in a graph, some weak transport inequalities are equivalent to the hypercontractivity of inf-convolution operators. Thanks to this result, we deduce some properties concerning different functional inequalities, including Log-Sobolev inequalities and weak-transport inequalities. Besides, we study some general properties (differentiability, convexity, extreme points etc.) of different inf-convolution operators, including the one before, but also an operator related to a physical model (and to a large deviation phenomenon). We stay always in a graph. Secondly, we interest in connections between different notions of discrete Ricci curvature on the graphs which are proposed by several authors in the recent years, and functional inequalities of type transport-entropy, or transport-information related to a Markov chain. We also obtain an extension of Bonnet-Myers' result: an upper bound on the diameter of a graph of which the curvature is floored in some ways. Finally, restricting in the real line, we obtains a characterisation of a weak transport inequality and a log-Sobolev inequality restricted to convex functions. These results are from the geometrical properties related to the convex ordering.