Un certain nombre de systèmes dans le monde réel, comprenant des agents interagissant, peut être utilement modélisé par des graphes, où les agents sont représentés par les sommets du graphe et les interactions par les arêtes. De tels systèmes peuvent être aussi divers et complexes que les réseaux sociaux (traditionnels ou virtuels), les réseaux d'interaction protéine-protéine, internet, réseaux de transport et les réseaux de prêts interbancaires. Une question importante qui se pose dans l'étude de ces réseaux est: dans quelle mesure, les statistiques locales d'un réseau déterminent sa topologie globale. Ce problème peut être approché par la construction d'un graphe aléatoire contraint d'avoir les mêmes statistiques locales que celles observées dans le graphe d'intérêt. Le modèle de configuration est un tel modèle de graphe aléatoire conçu de telle sorte qu'un sommet uniformément choisi présente une distribution de degré donnée. Il fournit le cadre sous-jacent à cette thèse. En premier lieu nous considérons un problème de propagation de l'influence sur le modèle de configuration, où chaque sommet peut être influencé par l'un de ses voisins, mais à son tour, il ne peut influencer qu'un sous-ensemble aléatoire de ses voisins. Notre modèle étendu est décrit par le degré total du sommet typique et le nombre de voisins il est capable d'influencer. Nous donnons une condition stricte sur la distribution conjointe de ces deux degrés, qui permet à l'influence de parvenir, avec une forte probabilité, à un ensemble non négligeable de sommets, essentiellement unique, appelé la composante géante influencée, à condition que le sommet de la source soit choisi à partir d'un ensemble de bons pionniers. Nous évaluons explicitement la taille relative asymptotique de la composant géante influencée, ainsi que de l'ensemble des bons pionniers, à condition qu'ils soient non-négligeable. Notre preuve utilise l'exploration conjointe du modèle de configuration et de la propagation de l'influence jusqu'au moment où une grande partie est influencée, une technique introduite dans Janson et Luczak (2008). Notre modèle peut être vu comme une généralisation de la percolation classique par arêtes ou par sites sur le modèle de configuration, avec la différence résultant de la conductivité orientée des arêtes dans notre modèle. Nous illustrons ces résultats en utilisant quelques exemples, en particulier, motivés par le marketing viral - un phénomène connu dans le contexte des réseaux sociaux… / A number of real-world systems consisting of interacting agents can be usefully modelled by graphs, where the agents are represented by the vertices of the graph and the interactions by the edges. Such systems can be as diverse and complex as social networks (traditional or online), protein-protein interaction networks, internet, transport network and inter-bank loan networks. One important question that arises in the study of these networks is: to what extent, the local statistics of a network determine its global topology. This problem can be approached by constructing a random graph constrained to have some of the same local statistics as those observed in the graph of interest. One such random graph model is configuration model, which is constructed in such a way that a uniformly chosen vertex has a given degree distribution. This is the random graph which provides the underlying framework for this thesis. As our first problem, we consider propagation of influence on configuration model, where each vertex can be influenced by any of its neighbours but in its turn, it can only influence a random subset of its neighbours. Our (enhanced) model is described by the total degree of the typical vertex and the number of neighbours it is able to influence. We give a tight condition, involving the joint distribution of these two degrees, which allows with high probability the influence to reach an essentially unique non-negligible set of the vertices, called a big influenced component, provided that the source vertex is chosen from a set of good pioneers. We explicitly evaluate the asymptotic relative size of the influenced component as well as of the set of good pioneers, provided it is non-negligible. Our proof uses the joint exploration of the configuration model and the propagation of the influence up to the time when a big influenced component is completed, a technique introduced in Janson and Luczak (2008). Our model can be seen as a generalization of the classical Bond and Node percolation on configuration model, with the difference stemming from the oriented conductivity of edges in our model. We illustrate these results using a few examples which are interesting from either theoretical or real-world perspective. The examples are, in particular, motivated by the viral marketing phenomenon in the context of social networks...

Nous établissons une nouvelle décomposition des surmartingales, additive dans l'algèbre Max-Plus. Elle consiste essentiellement à exprimer toute surmartingale quasi-continue à gauche de la classe (D) comme une espérance conditionnelle d'un certain processus de running supremum. Comme application, nous montrons comment la décomposition Max-Plus permet en particulier de résoudre le problème Américain d'arrêt optimal sans avoir à calculer le prix de l'option. Ensuite, nous donnons quelques exemples illustratifs basés sur des processus de diffusion uni-dimensionnels. Une autre application intéressante concerne l'assurance de portefeuille. Nous proposons en effet une nouvelle approche au problème classique de maximisation d'utilité, avec garantie Américaine. Pour cela, nous nous ramenons à un problème général de martingales, sous contrainte de dominer un obstacle, ou de façon équivalente son enveloppe de Snell, à toute date intermédiaire. L'optimisation est relative à l'ordre convexe sur la valeur terminale, de manière à minimiser le rôle de la fonction d'utilité. Nous montrons l'optimalité de la "martingale Max-Plus" et nous traitons un exemple explicite dans le cadre d'un Brownien géométrique. Par ailleurs, nous exploitons les liens entre les martingales d'Azéma-Yor et la décomposition Max-Plus pour résoudre certains problèmes d'optimisation de portefeuille sous contraintes d'état et d'autres relatifs aux options Américaines perpétuelles. Nous retrouvons en particulier, d'une manière élémentaire, la plupart des résultats classiques sur les frontières Américaines de processus de Lévy. Le dernier chapitre propose de nouvelles méthodes numériques pour valoriser les contrats Swing.

Ce travail de thèse porte principalement sur deux problématiques différentes mais qui ont pour point commun, la contribution à la modélisation et à la gestion du risque en actuariat. Dans le premier thème de recherche abordé dans cette thèse, on s'intéresse à la modélisation de la dépendance en assurance et en particulier, on propose une extension des modèles à facteurs communs qui sont utilisés en assurance. Dans le deuxième thème de recherche, on considère les distributions discrètes décroissantes et on s'intéresse à l'étude de l'effet de l'ajout de la contrainte de convexité sur les extrema convexes. Des applications en liaison avec la théorie de la ruine motivent notre intérêt pour ce sujet. Dans la première partie de la thèse, on considère un modèle de risque en temps discret dans lequel les variables aléatoires sont dépendantes mais conditionnellement indépendantes par rapport à un facteur commun. Dans ce cadre de dépendance on introduit un nouveau concept pour la modélisation de la dépendance temporelle entre les risques d'un portefeuille d'assurance. En effet, notre modélisation inclut des processus de mémoire non bornée. Plus précisément, le conditionnement se fait par rapport à un vecteur aléatoire de longueur variable au cours du temps. Sous des conditions de mélange du facteur et d'une structure de mélange conditionnel, nous avons obtenu des propriétés de mélanges pour les processus non conditionnels. Avec ces résultats on peut obtenir des propriétés asymptotiques intéressantes. On note que dans notre étude asymptotique c'est plutôt le temps qui tend vers l'infini que le nombre de risques. On donne des résultats asymptotiques pour le processus agrégé, ce qui permet de donner une approximation du risque d'une compagnie d'assurance lorsque le temps tend vers l'infini. La deuxième partie de la thèse porte sur l'effet de la contrainte de convexité sur les extrema convexes dans la classe des distributions discrètes dont les fonctions de masse de probabilité (f.m.p.) sont décroissantes sur un support fini. Les extrema convexes dans cette classe de distributions sont bien connus. Notre but est de souligner comment les contraintes de forme supplémentaires de type convexité modifient ces extrema. Deux cas sont considérés : la f.m.p. est globalement convexe sur N et la f.m.p. est convexe seulement à partir d'un point positif donné. Les extrema convexes correspondants sont calculés en utilisant de simples propriétés de croisement entre deux distributions. Plusieurs illustrations en théorie de la ruine sont présentées / In this thesis we focus on two different problems which have as common point the contribution to the modeling and to the risk management in insurance. In the first research theme, we are interested by the modeling of the dependence in insurance. In particular we propose an extension to model with common factor. In the second research theme we consider the class of nonincreasing discrete distributions and we are interested in studying the effect of additional constraint of convexity on the convex extrema. Some applications in ruin theory motivate our interest to this subject. The first part of this thesis is concerned with factor models for the modeling of the dependency in insurance. An interesting property of these models is that the random variables are conditionally independent with respect to a factor. We propose a new model in which the conditioning is with respect to the entire memory of the factor. In this case we give some mixing properties of risk process under conditions related to the mixing properties of the factor process and to the conditional mixing risk process. The law of the sum of random variables has a great interest in actuarial science. Therefore we give some conditions under which the law of the aggregated process converges to a normal distribution. In the second part of the thesis we consider the class of discrete distributions whose probability mass functions (p.m.f.) are nonincreasing on a finite support. Convex extrema in that class of distributions are well-known. Our purpose is to point out how additional shape constraints of convexity type modify these extrema. Two cases are considered : the p.m.f. is globally convex on N or it is convex only from a given positive point. The corresponding convex extrema are derived by using a simple crossing property between two distributions. Several applications to some ruin problems are presented for illustration

Dans cette thèse, nous nous intéressons à différents opérateurs d'inf-convolutions et à leurs applications à une classe d'inégalités de transport générales, plus spécifiquement sur les graphes. Notre objet de recherche s'inscrit donc dans les théories du transport de mesure et de l'analyse fonctionnelle. En introduisant une notion de gradient adapté au cadre discret (et plus généralement à tout espace métrique dont les boules sont compactes), nous prouvons que certains opérateurs d'inf-convolution sont solutions d'une inéquation d'Hamilton Jacobi sur les graphes. Ce résultat nous permet d'étendre au cadre discret un théorème classique de Bobkov, Gentil et Ledoux. Plus précisément nous montrons que des inégalités de transport faible (adaptées au cadre discret) sont équivalentes, sur un graphe, à l'hypercontractivité des opérateurs d'inf-convolutions. On en déduit plusieurs résultats concernant différentes inégalités fonctionnelles, dont celle de Sobolev logarithmique et de transport faible. Nous étudions par ailleurs les propriétés générales de différents opérateurs d'inf-convolutions, incluant le précédent, mais aussi un opérateur relié à un modèle issu de la physique (et au phénomène de grande déviation), toujours sur les graphes (dérivabilités, convexité, points extremum etc.). Dans un deuxième temps, nous nous intéressons aux liens entre différentes notions de courbure de Ricci sur les graphes -- proposées récemment par plusieurs auteurs -- et les inégalités fonctionnelles de type transport-entropie, ou transport-information associées à une chaîne de Markov. Nous obtenons également une borne supérieure sur le diamètre d'un graphe dont la courbure, en un certain sens, est minorée, un résultat à la Bonnet-Myers. Enfin, en nous restreignant au cas de la dimension 1, sur la droite réelle, nous obtenons une caractérisation d'une inégalité de transport faible et de l'inégalité de Sobolev logarithmique restreinte aux fonctions convexes. Ces résultats utilisent des propriétés géométriques liés à l'ordre convexe. / In this thesis, we interest in different inf-convolution operators and their applications to a class of general transportation inequalities, more specifically in the graphs. Therefore, our research topic fits in the theories of transportation and functional analysis. By introducing a gradient notion adapting to a discrete space (more generally to all space in which all closed balls are compact), we prove that some inf-convolution operators are solutions of a Hamilton-Jacobi's inequation. This result allows us to extend a classical theorem from Bobkov, Gentil and Ledoux. More precisely, we prove that, in a graph, some weak transport inequalities are equivalent to the hypercontractivity of inf-convolution operators. Thanks to this result, we deduce some properties concerning different functional inequalities, including Log-Sobolev inequalities and weak-transport inequalities. Besides, we study some general properties (differentiability, convexity, extreme points etc.) of different inf-convolution operators, including the one before, but also an operator related to a physical model (and to a large deviation phenomenon). We stay always in a graph. Secondly, we interest in connections between different notions of discrete Ricci curvature on the graphs which are proposed by several authors in the recent years, and functional inequalities of type transport-entropy, or transport-information related to a Markov chain. We also obtain an extension of Bonnet-Myers' result: an upper bound on the diameter of a graph of which the curvature is floored in some ways. Finally, restricting in the real line, we obtains a characterisation of a weak transport inequality and a log-Sobolev inequality restricted to convex functions. These results are from the geometrical properties related to the convex ordering.