Cette these se compose de quatre chapîtres et une annexe. Le premier chapître est consacre à des idées fondamentales de la theorie du flot de Ricci, qui montre comment nos travaux sont reliés a l'histoire entière. Dans le deuxième chapître, nous construisons une solution du flot de Ricci sur une variete a symétrie de rotation de telle sorte qu'il reste un collecteur complet a l'heure maximale. Nous dérivons également le non-effondrement pour certaines solutions anciennes à proximité de leur temps maximal. Chacun de ces deux resultats sont liés à la régularité des limites des solutions. Dans le troisième chapître, nous montrons qu'une estimation de type Shi d'ordre un est valable pour tenseur de Ricci sur des variétés qui satisfont l'inégalité Bianchi faibles. Le dernier chapître s'interesse aux gradient solitons de Ricci qui sont en expansion. Nous discutons du problème de classification et montrons que chaque cône tangent à l'infini d'un soliton expansion à "fast-than-quadratic-decay" courbure doit être $mathbb{R}^n$. / This thesis consists of four chapters and an appendix. The first chapter is dedicated to the fundamental ideas of the theory of Ricci flow, which shows how our works are connected to the whole story. In the second chapter, we construct a solution of Ricci flow on a rotationally symmetric manifold such that it remains a complete manifold at the maximal time. We also derive a noncollapsing property for certain ancient solutions near their maximal times. Both of these two results are related to the regularity of limits of solutions. In the third chapter, we show that a first order Shi-type estimate holds for Ricci tensor on manifolds which satisfy the weak Bianchi inequality. The last chapter is concerned with expanding gradient Ricci solitons. There we discuss the classification problem and show that every tangent cone at infinity of an expanding soliton with fast-than-quadratic-decay curvature must be $mathbb{R}^n$.

Cette these se compose de quatre chapîtres et une annexe. Le premier chapître est consacre à des idées fondamentales de la theorie du flot de Ricci, qui montre comment nos travaux sont reliés a l'histoire entière. Dans le deuxième chapître, nous construisons une solution du flot de Ricci sur une variete a symétrie de rotation de telle sorte qu'il reste un collecteur complet a l'heure maximale. Nous dérivons également le non-effondrement pour certaines solutions anciennes à proximité de leur temps maximal. Chacun de ces deux resultats sont liés à la régularité des limites des solutions. Dans le troisième chapître, nous montrons qu'une estimation de type Shi d'ordre un est valable pour tenseur de Ricci sur des variétés qui satisfont l'inégalité Bianchi faibles. Le dernier chapître s'interesse aux gradient solitons de Ricci qui sont en expansion. Nous discutons du problème de classification et montrons que chaque cône tangent à l'infini d'un soliton expansion à "fast-than-quadratic-decay" courbure doit être $mathbb{R}^n$.

Le flot de Ricci, introduit par Hamilton au début des années 80, a montré sa valeur pour étudier la topologie et la géométrie des variétés riemanniennes lisses. Il a ainsi permis de démontrer la conjecture de Poincaré (Perelman, 2003) et le théorème de la sphère différentiable (Brendle et Schoen, 2008). Cette thèse s'intéresse aux applications du flot de Ricci à des espaces métriques à courbure minorée peu lisses. On définit en particulier ce que signifie pour un flot de Ricci d'avoir pour condition initiale un espace métrique. Dans le Chapitre 2, on présente certains travaux de Simon permettant de construire un flot de Ricci pour certains espaces métriques de dimension 3. On démontre aussi deux applications de cette construction : un théorème de finitude en dimension 3 et une preuve alternative d'un théorème de Cheeger et Colding en dimension 3. Dans le Chapitre 3, on s'intéresse à la dimension 2. On montre que pour les surfaces singulières à courbure minorée (au sens d'Alexandrov), on peut définir un flot de Ricci et que celui-ci est unique. Ceci permet de montrer que l'application qui à une surface associe son flot de Ricci est continue par rapport aux perturbations Gromov-Hausdorff de la condition initiale. Le Chapitre 4 généralise une partie de ces méthodes en dimension quelconque. On doit y considérer des conditions de courbure autres que les usuelles minorations de la courbure de Ricci ou de la courbure sectionnelle. Les méthodes mises en place permettent de construire un flot de Ricci pour certains espaces métriques non effondrés limites de variétés dont l'opérateur de courbure est minoré. On montre aussi que sous certaines hypothèses de non-effondrement, les variétés à opérateur de courbure presque positif portent une métrique à opérateur de courbure positif ou nul.

Le flot de Ricci est une équation aux dérivées partielles qui régit l’évolution d’une métrique riemannienne dépendant d’un paramètre de temps sur une variété différentielle. D’abord introduit et étudié par R. Hamilton, il est à l’origine de la solution de la conjecture de géométrisation des variétés compactes de dimension 3 par G. Perelman en 2001. La théorie classique concernant l’existence en temps court des solutions, due à Hamilton et à Shi, garantit (en dimension quelconque) l’existence d’un flot soit sur une variété compacte, soit lorsque la métrique initiale est complète avec une borne sur la norme du tenseur de courbure. En l’absence de cette borne, on conjecture qu’on peut trouver, à partir de la dimension 3, des données initiales pour lesquelles il n’existe pas de solution. Dans cette thèse, on démontre des théorèmes d’existence en temps court du flot sous des hypothèses plus faibles qu’une borne sur la norme du tenseur de courbure. Pour cela, on introduit une construction générale qui, pour une métrique riemannienne g quelconque sur une variété M, pas nécessairement complète, permet de produire une solution de l’équation du flot sur un domaine ouvert D de l’espace-temps M * [0,T] qui contient la tranche de temps initiale, avec g pour donnée initiale. On montre ensuite que sous des hypothèses adaptées sur la métrique g, on contrôle la forme du domaine D. En particulier, lorsque la métrique g est complète, D contient un ensemble de la forme M * [0,t], avec t>0, ce qui revient à dire qu’il existe un flot au sens classique dont la donnée initiale est g. Les « hypothèses adaptées » qui conduisent à des théorèmes d’existence sont de trois types. Dans tout les cas, on suppose une minoration uniforme du volume des boules de rayon au plus 1, à quoi on ajoute : a) en dimension 3, une minoration du tenseur de Ricci, b) en dimension n, une minoration d’une notion de courbure dite « courbure isotrope I » ou bien c) en dimension n, une borne sur la norme du tenseur de Ricci et une hypothèse qui garantit la proximité au sens métrique des boules de rayon au plus 1 avec une boule de même rayon dans un espace métrique obtenu comme le produit cartésien d’un espace de dimension 3 et d’un facteur euclidien de dimension n-3. De plus, avec ces résultats d’existence viennent des estimations sur les propriétés de régularisation du flot quantifiées en fonction des hypothèses sur la donnée initiale. La possibilité ainsi offerte de régulariser, globalement ou localement, pour un temps et avec des estimations quantifiés, une métrique initiale a des conséquence sur les espaces métriques singuliers obtenus comme limites, pour la distance de Gromov-Hausdorff, de suites de variétés satisfaisant uniformément aux conditions a), b) ou c). En effet, des théorèmes de compacité classiques pour le flot de Ricci permettent d’extraire un flot limite, étant donnée une suite de métriques initiales satisfaisant uniformément à ces hypothèses, et possédant donc toutes un flot pour un temps contrôlé. Lorsque les métriques en question approchent, pour la topologie de Gromov-Hausdorff, un espace singulier, cette solution limite s’interprète comme un flot régularisant l’espace singulier en question, et son existence contraint la topologie de cet espace singulier. / The Ricci Flow is a partial differential equation governing the evolution of a Riemannian metric depending on a time parameter t on a differential manifold. It was first introduced and studied by R. Hamilton, and eventually led to the solution of the Geometrization conjecture for closed three-dimensional manifolds by G. Perelman in 2001. The classical short-time existence theory for the Ricci Flow, due to Hamilton and Shi, asserts, in any dimension, the existence of a flow starting from any initial metric when the underlying manifold in compact, or for any complete initial metric with a bound on the norm of the curvature tensor otherwise. In the absence of such a bound, though, the conjecture is that starting from dimension 3 one can find such initial data for which there is no solution. In this thesis, we prove short-time existence theorems under hypotheses weaker than a bound on the norm of the curvature tensor. To do this, we introduce a general construction which, for any Riemannian metric g (not necessarily complete) on a manifold M, allows us to produce a solution to the equation of the flow on an open domain D of the space-time M * [0,T] which contains the initial time slice, with g as an initial datum. We proceed to show that under suitable hypotheses on g, one can control the shape of the domain D, so that in particular, D contains a subset of the form M * [0,t] with t>0 if g is complete. By « suitable hypothesis », we mean one of the following. In any case, we assume a lower bound on the volume of balls of radius at most 1, plus a) in dimension 3, a lower bound on the Ricci tensor, b) in dimension n, a lower bound on the so-called « isotropic curvature I » or c) in dimension n, a bound on the norm of the Ricci tensor, as well as a hypothesis which garanties the metric proximity of every ball of radius at most $1$ with a ball of the same radius in a metric product between a three-dimensional metric space and a $n-3$ dimensional Euclidian factor. Moreover, with these existence results come estimates on the existence time and regularization properties of the flow, quantified in term of the hypotheses on the initial data. The possibility to regularize metrics, locally or globally, with such estimates has consequences in terms of the metric spaces obtained as limits, in the Gromov-Hausdorff topology, of sequences of manifolds uniformly satisfying a), b) or c). Indeed, the classical compactness theorems for the Ricci Flow allow for the extraction of a limit flow for any sequence of initial metrics uniformly satisfying the hypotheses and thus possessing a flow for a controlled amount of time. In the case when these metrics approach a singular space in the Gromov-Hausdorff topology, such a limit solution can be interpreted as a flow regularizing the singular limit space, the existence of which puts constraints on the topology of this space.

On s'intéresse à la géométrie globale et asymptotique de certaines variétés riemanniennes non compactes. Dans une première partie, on étudie la topologie et la géométrie à l'infini des variétés riemanniennes à courbure (de Ricci) positive ayant un rapport asymptotique de courbure fini. On caractérise le cas non effondré via la notion de cône asymptotique et on donne des conditions suffisantes sur le groupe fondamental pour garantir un non effondrement. La seconde partie est dédiée à l'étude des solutions de Type III du flot de Ricci à courbure positive et aux solitons gradients de Ricci expansifs (points fixes de Type III) présentant une décroissance quadratique de la courbure. On montre l'existence et l'unicité des cônes asymptotiques de tels points fixes. On donne également des conditions suffisantes de nature algébrique et géométrique pour garantir une géométrie de révolution de tels solitons. Dans une troisième partie, on caractérise la géométrie des solitons gradients de Ricci stables à courbure positive et à croissance volumique linéaire. Puis, on s'intéresse au non effondrement des variétés riemanniennes de dimension trois à courbure de Ricci positive ayant un rapport asymptotique de courbure fini. / We study the global and asymptotic geometry of non-compact Riemannian manifolds. First, we study the topology and geometry at infinity of Riemannian manifolds with nonnegative (Ricci) curvature and finite asymptotic curvature ratio. We focus on the non-collapsed case with the help of asymptotic cones and we give sufficient conditions on the fundamental group to guarantee non-collapsing. The second part is dedicated to the study of (non-negatively curved) Type III Ricci flow solutions. We mainly analyze the asymptotic geometry of Type III self-similar solutions (expanding gradient Ricci soliton) with finite asymptotic curvature ratio. We prove the existence and uniqueness of their asymptotic cones. We also give algebraic and geometric sufficient conditions to guarantee rotational symmetry of such metrics. In the last part, we characterize the geometry of steady gradient Ricci solitons with nonnegative sectional curvature and linear volume growth. Finally, we study the non-collapsing of three dimensional Riemannian manifold with nonnegative Ricci curvature and finite asymptotic curvature ratio.

Le flot de Ricci, introduit par Hamilton au début des années 80, a montré sa valeur pour étudier la topologie et la géométrie des variétés riemanniennes lisses. Il a ainsi permis de démontrer la conjecture de Poincaré (Perelman, 2003) et le théorème de la sphère différentiable (Brendle et Schoen, 2008). Cette thèse s'intéresse aux applications du flot de Ricci à des espaces métriques à courbure minorée peu lisses. On définit en particulier ce que signifie pour un flot de Ricci d'avoir pour condition initiale un espace métrique. Dans le Chapitre 2, on présente certains travaux de Simon permettant de construire un flot de Ricci pour certains espaces métriques de dimension 3. On démontre aussi deux applications de cette construction : un théorème de finitude en dimension 3 et une preuve alternative d'un théorème de Cheeger et Colding en dimension 3. Dans le Chapitre 3, on s'intéresse à la dimension 2. On montre que pour les surfaces singulières à courbure minorée (au sens d'Alexandrov), on peut définir un flot de Ricci et que celui-ci est unique. Ceci permet de montrer que l'application qui à une surface associe son flot de Ricci est continue par rapport aux perturbations Gromov-Hausdorff de la condition initiale. Le Chapitre 4 généralise une partie de ces méthodes en dimension quelconque. On doit y considérer des conditions de courbure autres que les usuelles minorations de la courbure de Ricci ou de la courbure sectionnelle. Les méthodes mises en place permettent de construire un flot de Ricci pour certains espaces métriques non effondrés limites de variétés dont l'opérateur de courbure est minoré. On montre aussi que sous certaines hypothèses de non-effondrement, les variétés à opérateur de courbure presque positif portent une métrique à opérateur de courbure positif ou nul. / The Ricci flow was introduced by Hamilton in the beginning of the 90's. It has been a valuable tool to study the topology and the geometry of smooth Riemannian manifolds. For example, it was essential in the of the Poincaré conjecture (Perelman, 2003) and of the differentiable sphere theorem (Brendle and Schoen, 2008). In this thesis, we are interested in the applications of Ricci flow to metric spaces with curvature bounded from below which are not smooth. We define what it means for a Ricci flow to admit a metric space as initial condition. In Chapter 2, we present some works of Simon which allow to build a Ricci flow for some metric spaces of dimension 3. We also give two applications of this result : a finiteness theorem in dimension 3 and an alternative of a theorem of Cheeger and Colding in dimension 3. In Chapter 3, we treat the special case of dimension 2. We show that for singular surfaces whose curvature is boded from below (in the sense of Alexandrov), we can define a Ricci and it is unique. This allow to show that for surfaces with curvature bounded from below, the application which maps a surface to its Ricci flow is continuous with respect to Gromov-Hausdorff perturbations of the initial condition. Chapter 4 generalizes some of these methods in higher dimension. Here one needs to consider other conditions on the curvature than the usual "Ricci curvature bounded from below" and "sectional curvature bounded from below". The methods used there allow us to build a Ricci flow for some non-collapsed metric spaces which are limits of manifolds whose curvature operator is bounded from below. We also show that under some non-collapsing assumptions manifolds with almost non-negative curvature operator admit metrics with non-negative curvature operator.