Cette thèse se donne comme ambition de montrer que la simulation numérique de transfert de chaleur et de masse dans un milieu poreux, peut être traitée de manière efficace par un programme de calcul basé sur une discrétisation spatiale de type spectral. La méthode spectrale s'avère optimale en ce sens que l'erreur obtenue n'est limitée que par la régularité de la solution. Le point de départ de cette étude est le système des équations de Darcy non linéaire et non stationnaire qui modélise l'écoulement instationnaire d'un fluide visqueux dans un milieu poreux quand la perméabilité du milieu dépend de la pression. Le deuxième problème proposé est le transfert de la chaleur dans un milieu poreux décrit par un couplage des équations de Darcy avec l'équation de la chaleur. Dans la dernière partie, la concentration de masse est prise en compte dans le milieu, nous décrivons un problème non linéaire instationnaire qui modélise le transfert de chaleur et de masse dans un milieu poreux.Dans les trois problèmes proposés, les résultats d'existence et unicité sont établis. Puis les problèmes discrets correspondants sont décrits. Nous avons prouvé des estimations d'erreur a priori et nous avons confirmé l'étude théorique par des résultats numériques. / This thesis aims to show that the numerical simulation of heat and mass transfer in porous media can be effectively treated by a numerical program which is based on a space discretization of spectral type. The spectral method is optimal in the sense that the error obtained is only limited by the regularity of the solution. The starting point of this study is the system of nonlinear unsteady Darcy equations that models the unsteady flow of a viscous fluid in a porous medium when the permeability of the medium depends on the pressure. The second problem which we study models transfer of heat in a porous medium which is described by Darcy equations coupling with the heat equation. In the last part, the concentration of mass is taken into account in the medium, we describe a nonlinear problem that models unsteady transfer of heat and mass in porous media. In the three proposed problems, the results of the existence and the uniqueness are established. Then the corresponding discrete problems are described. We prove the error a priori estimates and we confirm the theoretical study with numerical results.

Dans cette thèse nous nous intéressons à l'analyse d'erreur a priori et a posteriori de méthodes d'éléments finis mixtes et non-conformes. Nous considérons en particulier les équations de Darcy à perméabilité fortement variable et les équations de convection-diffusion-réaction en régime de convection dominante. Nous discrétisons les équations de Darcy par une méthode d'éléments finis mixtes non-conformes de type Petrov-Galerkin appelée schéma boîte. Les techniques d'estimations d'erreur a posteriori par résidu et hiérarchique conduisent à des estimateurs d'erreur a posteriori fiables et optimaux indépendamment des fluctuations de la perméabilité. Les résultats théoriques sont validés numériquement sur différents cas tests présentant de forts contrastes de perméabilité. Enfin, nous montrons comment les indicateurs d'erreur obtenus permettent de générer des maillages adaptatifs. Nous discrétisons les équations de convection-diffusion-réaction par des éléments finis nonconformes. Deux méthodes de stabilisation sont étudiées: la stabilisation par viscosité de sous-maille, conduisant à un schéma boîte et la méthode de pénalisation sur les faces. Nous montrons que les deux schémas ainsi obtenus ont les mêmes propriétés de convergence que les approximations par éléments finis conformes. Grâce aux techniques d'estimations d'erreur par résidu nous obtenons des estimateurs d'erreur a posteriori fiables et optimaux. Certains des indicateurs d'erreur sont robustes au sens de Verfürth, c'est à dire que le rapport des constantes intervenant dans les inégalités de fiabilité et d'optimalité explose en au plus l'inverse du nombre de Péclet. Les résultats théoriques sont validés numériquement et les indicateurs d'erreur a posteriori obtenus permettent de générer des maillages adaptatifs sur des problèmes présentant des couches intérieures.

La modélisation et la simulation numérique des interfaces sont au coeur de nombreuses applications en mécanique des fluides et des solides, telles que la biologie cellulaire (déformation des globules rouges dans le sang), l'ingénierie pétrolière et la sismique (modélisation de réservoirs, présence de failles, propagation des ondes), l'aérospatiale (problème de rupture, de chocs) ou encore le génie civil. Cette thèse porte sur l'approximation des problèmes d'interface et d'interphase en mécanique des fluides par la méthode NXFEM, qui permet de prendre en compte de façon précise une discontinuité non alignée avec le maillage. Nous nous sommes d'abord intéressés au développement de la méthode NXFEM pour des éléments finis non-conformes pour prendre en compte une interface séparant deux milieux. Nous avons proposé deux approches pour les équations de Darcy et de Stokes. La première consiste à modifier les fonctions de base de Crouzeix-Raviart sur les cellules coupées et la deuxième consiste à rajouter des termes de stabilisation sur les arêtes coupées. Les résultats théoriques obtenus ont été ensuite validés numériquement. Par la suite, nous avons étudié la modélisation asymptotique et l'approximation numérique des problèmes d'interphase, faisant apparaître une couche mince. Nous avons considéré d'abord les équations de Darcy en présence d'une faille et, en passant à la limite dans la formulation faible, nous avons obtenu un modèle asymptotique où la faille est décrite par une interface, avec des conditions de transmission adéquates. Pour ce problème limite, nous avons développé une méthode numérique basée sur NXFEM avec éléments finis conformes, consistante et stable. Des tests numériques, incluant une comparaison avec la littérature, ont été réalisés. La modélisation asymptotique a été étendue aux équations de Stokes, pour lesquelles nous avons justifié le modèle limite obtenu. Enfin, nous nous sommes intéressés à la modélisation de la membrane d'un globule rouge par un fluide non-newtonien viscoélastique de Giesekus, afin d'appréhender la rhéologie du sang. Pour un problème d'interphase composé de deux fluides newtoniens (l'extérieur et l'intérieur du globule) et d'un liquide de Giesekus (la membrane du globule), nous avons dérivé formellement le problème limite, dans lequel les équations dans la membrane sont remplacées par des conditions de transmission sur une interface. / Numerical modelling and simulation of interfaces in fluid and solid mechanics are at the heart of many applications, such as cell biology (deformation of red blood cells), petroleum engineering and seismic (reservoir modelling, presence of faults, wave propagation), aerospace and civil engineering etc. This thesis focuses on the approximation of interface and interphase problems in fluid mechanics by means of the NXFEM method, which takes into account discontinuities on non-aligned meshes.We have first focused on the development of NXFEM for nonconforming finite elements in order to take into account the interface between two media. Two approaches have been proposed, for Darcy and Stokes equations. The first approach consists in modifying the basis functions of Crouzeix-Raviart on the cut cells and the second approach consists in adding some stabilization terms on each part of a cut edge. We have studied them from a theoretical and a numerical point of view. Then we have studied the asymptotic modelling and numerical approximation of interphase problems, involving a thin layer between two media. We have first considered the Darcy equations in the presence of a highly permeable fracture. By passing to the limit in the weak formulation, we have obtained an asymptotic model where the 2D fracture is described by an interface with adequate transmission conditions. A numerical method based on NXFEM with conforming finite elements has been developed for this limit problem, and its consistency and uniform stability have been proved. Numerical tests including a comparison with the literature have been presented. The asymptotic modelling has been finally extended to Stokes equations, for which we have justified the limit problem. Finally, we have considered the mechanical behaviour of red blood cells in order to better understand blood rheology. The last part of the thesis is devoted to the modelling of the membrane of a red blood cell by a non-Newtonian viscoelastic liquid, described by the Giesekus model. For an interphase problem composed of two Newtonian fluids (the exterior and the interior of the red blood cell) and a Giesekus liquid (the membrane), we formally derived the limit problem where the equations in the membrane are replaced by transmission conditions on an interface.