L'étude présentée dans ce travail de thèse aborde deux aspects du problème de Cauchy caractéristique en relativité générale. D'une part, une formule intégrale pour le problème de Cauchy caractéristique pour l'équation de Dirac est établie, généralisant les travaux de Penrose en espace-temps courbe. Ayant adapté le cadre fonctionnel pour obtenir une théorie des distributions adaptée à la structure algébriques des spineurs, le formalisme Geroch-Held-Penrose est utilisé pour décrire de la manière la plus précise possible la formule intégrale. La formule de Penrose en spin arbitraire sur l'espace-temps de Minkowski est retrouvée. D'autre part, une théorie de scattering conforme pour une équation des ondes non linéaire conformément invariante sur un espace asymptotiquement simple est construite. En effectuant un rééchelonnement conforme, l'espace-temps est complété en lui ajoutant une frontière constituée de deux hypersurfaces caractéristiques représentant respectivement les extrémités passées et futures des géodésiques de type lumière. Le comportement asymptotique des champs s'obtient alors en considérant les traces des solutions de l'équation conforme sur ces bords. L'inversibilité des opérateurs de trace s'obtient alors en résolvant un problème de Cauchy caractéristique sur ce bord et l'opérateur de scattering conforme par composition de ces opérateurs de trace.

Dans cette thèse nous proposons une méthode pour résoudre certains problèmes de Cauchy à données irrégulières ou caractéristiques en utilisant les récentes théories des fonctions généralisées. Nous étudions dans la première partie un problème de Cauchy et un problème de Goursat réguliers avec des données sur une courbe monotone. La deuxième partie est consacrée à la mise en place d'une algèbre adaptée à la résolution du problème de Cauchy généralisé. Dans la troisième partie nous donnons un sens à un problème de Cauchy généralisé et nous montrons qu'il admet une unique solution. Nous étudions de même un problème de Goursat généralisé. Dans la quatrième partie nous approchons un problème de Cauchy caractéristique par une famille de problèmes non caractéristiques. La famille de solutions est un représentant d'une fonction généralisée que nous considérons comme la solution généralisée du problème dans une algèbre appropriée. Nous donnons un sens au problème de Cauchy caractéristique dans le cas de données irrégulières en le remplaçant par une famille de problèmes non caractéristiques dans une algèbre convenable dépendant de deux paramètres. Le premier paramètre permet de se ramener à un problème non caractéristique que le second rend régulier. La famille de solutions est un représentant d'une fonction généralisée que nous considérons comme la solution du problème.