Cette thèse a pour sujet l'étude qualitative de la dynamique des équations des ondes amorties sur un domaine borné Ω de R^d. Outre un chapitre de présentation des notions de stabilité de la dynamique et des travaux antérieurs, cette thèse s'articule autour de deux parties principales.<br />Dans la première partie, on démontre, en dimension d=1, que la propriété de Morse-Smale est générique par rapport à la non-linéarité, pour l'équation des ondes avec amortissement interne γ(x) (EOAI) et celle avec amortissement sur le bord g(x)δ_{x sur le bord} (EOAB). La démonstration utilise des propriétés fines du comportement asymptotique des fonctions t--->u(x_0,t), où u est une solution bornée des équations (EOAI), (EOAB) ou de leurs équations adjointes et où x_0 est un point fixé de Ω. Ce comportement asymptotique se déduit principalement des propriétés spectrales de l'opérateur linéarisé autour d'un point d'équilibre. En particulier, les vecteurs propres de cet opérateur forment une base de Riesz et ses valeurs propres sont génériquement simples.<br />La deuxième partie de cette thèse concerne l'étude de la convergence de la dynamique de l'équation (EOAI) vers celle de l'équation (EOAB) quand la suite d'amortissements internes γ_n(x) tend vers g(x)δ_{x sur le bord} au sens des distributions. En dimension d=1, on montre que la dynamique de (EOAI) converge vers celle de (EOAB). En dimension d>1, des résultats un peu plus faibles de convergence des attracteurs sont obtenus. La perturbation étudiée ici est irrégulière et on doit donc généraliser certains théorèmes classiques de stabilité. Pour obtenir les meilleurs résultats de convergence, il faut montrer que les semi-groupes linéaires associés à (EOAI) satisfont à une décroissance de type exponentiel ||e^{A_nt}||X

Ce document regroupe des travaux organisés autour de deux thèmes<br />de recherche.<br /><br />Le premier concerne la stabilisation-frontière de quelques systèmes<br />distribués, en présence de singularités. On s'intéresse principalement à l'équation des ondes et au système élastodynamique pour lesquels de nombreux auteurs ont obtenu des résultats de stabilisation en utilisant la méthode des multiplicateurs sous des conditions géométriques restrictives. Pour étendre ces résultats, on est amené à démontrer certaines propriétés de ``régularité cachée'' des solutions fortes, ce qui nécessite l'analyse des singularités d'un problème elliptique avec conditions aux limites mêlées. La connaissance de ces singularités permet de généraliser une relation de Rellich, cruciale dans l'obtentionédes estimations d'énergie conduisant aux résultats de stabilisation.<br /><br />Le second thème a pour objet l'étude des écoulements de Hele-Shaw à<br />source ponctuelle. Le modèle de Stokes-Leibenson fait apparaître<br />une équation elliptique dont le second membre est la distribution de Dirac au point-source. Ce problème est de plus intrinsèquement non linéaire du fait que le domaine lui-même évolue d'une manière inconnue. On utilise la méthode de Helmholtz-Kirchhoff pour reformuler le problème. Ceci permet de démontrer un résultat d'existence et d'unicité locales d'une solution classique. On construit ensuite un modèle numérique, dit ``modèle quasi-contour'', destiné à étudier certaines propriétés qualitatives de ces écoulements.

L'objet de cette thèse est l'étude de deux équations des ondes semi-linéaires présentant une non-linéarité de type cubique : <br /><br />(NLCR) \Box u =2\, u^3,<br /><br />et<br /><br />(NLCC)\Box u +\alpha \,\frac(\pa u)(\pa z)=2\, u|u|^2+\beta \,u,<br /><br />où $\alpha\in i\,\R$ et $\beta \in \R$.<br /> <br />On prouve d'abord, en s'appuyant sur les techniques de réduction Fuchsienne développées par S.~Kichenassamy et al., l'existence, pour plusieurs classes d'hypersurfaces de genre espace de $\R\times \R^n$ assez régulières, de solutions explosant exactement sur la surface considérée. Par ailleurs, l'aspect constructif des méthodes nous offre de nombreuses informations sur la forme de ces solutions au voisinage de leur surface d'explosion.<br /><br />La suite est consacrée à diverses applications des connaissances acquises : on exploite notamment celles concernant le comportement des solutions près de leur lieu d'explosion, pour répondre partiellement à trois questions:<br /> i) Comment se comporte, près de la surface d'explosion, une intégrale particulière construite sur le modèle de l'``intégrale d'énergie'' canoniquement associée avec l'équation (NLCR) ?<br /> ii) Dans quels espaces de type $L^p$, les solutions de l'équation (NLCR) --éventuellement un peu perturbée-- peuvent-elles exploser ou pas?<br /> iii) Dans quelle mesure peut-on mettre en oeuvre une étude numérique complète de l'équation (NLCR), prenant en compte les difficultés inhérentes à l'explosion ?

Mes travaux de recherche s'inscrivent dans l'imagerie sismique des premiers kilomètres du sous-sol, en particulier dans le domaine pétrolier. Il s'agit de reconstruire les propriétés de la sub-surface, par exemple la vitesse de propagation des ondes de compression, à partir d'enregistrements en surface de déplacements ou de variations de la pression liés au passage d'un train d'ondes acoustiques ou élastiques. Je me suis attaché, dans ce domaine, à regarder différemment les données sismiques. Les enregistrements sismiques dépendent de la position de source et d'un ensemble de récepteurs, ainsi que du temps d'enregistrement. Ils sont couramment analysés trace par trace, par exemple pour filtrer les données ou bien pour les migrer, c'est-à-dire retrouver en profondeur les perturbations du milieu, typiquement avec des migrations de type Kirchhoff. Dans le cas de la migration dite "reverse-time migration", les points de tir sont vus comme un ensemble : l'information de tous les récepteurs est rétro-propagée depuis la surface jusqu'en profondeur, également pour retrouver les propriétés du milieu. Je propose de considérer des groupes de traces adjacentes, autour d'une fenêtre en temps, et d'examiner différents algorithmes d'imagerie sous cet aspect. L'aspect cohérence locale est justifié dans le domaine pétrolier par les acquisitions actuelles qui sont de plus en plus denses, et aussi par la notion de zone de Fresnel. La cohérence latérale des signaux sismiques est traitée sous deux angles. Le premier donne une vision très épurée : les événements localement cohérents sont décrits en 2D par la position de la trace centrale, une position dans la trace, et une pente qui indique la cohérence. Je montre qu'à partir de ce type d'approche, il est possible de retrouver les grandes longueurs d'onde du modèle de vitesse par analyse de vitesse dans le domaine migré. J'ai pu aussi établir le lien entre cette méthode d'analyse de vitesse et la tomographie de pente. Le second angle d'attaque prend en compte la signature des données sismiques, et en particulier la bande passante limitée. Les applications sont alors beaucoup plus nombreuses : migration, analyse de vitesse, sensibilité de l'image migrée par rapport au modèle de vitesse, et d'autres tâches liées au pré-traitement comme le débruitage, la prédiction des multiples, ... Dans chacun des cas, j'analyse les avantages et limitations de l'utilisation de la cohérence locale. Il s'avère que le choix du code de décomposition en événements locaux (``curvelets'', ...) est étroitement lié à l'application qui en est faite : si l'objectif est de comprimer les données sismiques, alors les curvelets ne sont pas adaptées. S'il s'agit au contraire de savoir comment l'image migrée dépend du choix du modèle de vitesse pris pour la migration, alors les curvelets ont beaucoup d'avantages. Plus particulièrement, les curvelets offrent la flexibilité de la décomposition des données, très utile pour la suppression des bruits cohérents. De plus, elles diagonalisent presque l'opérateur de démigration/migration qui donne la sensibilité de l'image migrée par rapport au choix du modèle de vitesse. Enfin, elles permettent d'exploiter l'aspect multi-échelle des données, avec des applications sur la suppression de l'aliasing. Je montre aussi qu'il est possible de développer d'autres schémas de décomposition et de reconstruction, comme par exemple les ``circlets''. Dans les perspectives de recherche, je tiens à dépasser le cadre asymptotique hautes fréquences dans lequel les curvelets trouvent un cadre naturel. Je propose en particulier une nouvelle formulation du problème d'inversion des formes d'onde (DFWI, Differential Full WaveForm Inversion). Cette méthode se veut générale pour retrouver les propriétés du sous-sol et permettre une optimisation locale, tout en s'affranchissant de la détermination d'un modèle de départ très proche de la solution. Cette idée doit être approfondie. Elle exploite la cohérence locale des données sismiques et suppose que le signal est bien échantillonné en temps et en espace. Les applications sont très nombreuses et touchent le domaine pétrolier, la géotechnique, la sismologie globale et régionale.

Dans cette thèse, nous étudions la stabilisation de certaines équations d’évolution par des lois de rétroaction. Dans le premier chapitre nous étudions l’équation des ondes dans R avec conditions aux limites dynamiques appliquées sur une partie du bord et une condition de Dirichlet sur la partie restante. Nous fournissons des conditions suffisantes qui garantissent une stabilité polynomiale en utilisant une méthode qui combine une inégalité d’observabilité pour le problème non amorti associé avec des résultats de régularité du problème non amorti. L’optimalité de la décroissance est montrée dans certains cas à l’aide des résultats spectraux précis de l’opérateur associé. Dans le deuxième chapitre nous considérons le système sur un domaine de Rd, d ≥ 2. On trouve des conditions suffisantes qui permettent la stabilité forte. Ensuite, nous discutons de la stabilité non uniforme ainsi que de la stabilité polynomiale. L’approche en domaine fréquentiel nous permet d’établir une décroissance polynomiale sur des domaines pour lesquels l’équation des ondes avec l’amortissement standard est exponentiellement ou polynomialement stable. Dans le troisième chapitre nous considérons un cadre général d’équations d’évolution avec une dissipation dynamique. Sous une hypothèse de régularité, nous montrons que les propriétés d’observabilité pour le problème non amorti impliquent des estimations de décroissance pour le problème amorti. / In this thesis, we study the stabilization of some evolution equations by feedback laws. In the first chapter we study the wave equation in R with dynamical boundary control applied on a part of the boundary and a Dirichlet boundary condition on the remaining part. We furnish sufficient conditions that guarantee a polynomial stability proved using a method that combines an observability inequality for the associated undamped problem with regularity results of the solution of the undamped problem. In addition, the optimality of the decay is shown in some cases with the help of precise spectral results of the operator associated with the damped problem. Then in the second chapter we consider the system on a domain of Rd, d ≥ 2. In this case, the domain of the associated operator is not compactly embedded into the energy space. Nevertheless, we find sufficient conditions that give the strong stability. Then, we discuss the non uniform stability as well as the polynomial stability by two methods. The frequency domain approach allows us to establish a polynomial decay on some domains for which the wave equation with the standard damping is exponentially or polynomially stable. Finally, in the third chapter we consider a general framework of second order evolution equations with dynamical feedbacks. Under a regularity assumption we show that observability properties for the undamped problem imply decay estimates for the damped problem. We finally illustrate our general results by a variety of examples.

Dans ce travail, nous allons établir des estimations de dispersion et des applications aux inégalités de Strichartz pour les solutions de l’équation des ondes dans un domaine cylindrique convexe Ω ⊂ R³ à bord C∞, ∂Ω ≠ ∅. Les estimations de dispersion sont classiquement utilisées pour prouver les estimations de Strichartz. Dans un domaine Ω général, des estimations de Strichartz ont été démontrées par Blair, Smith, Sogge [6,7]. Des estimations optimales ont été prouvées dans [29] lorsque Ω est strictement convexe. Le cas des domaines cylindriques que nous considérons ici généralise les resultats de [29] dans le cas où la courbure positive dépend de l'angle d'incidence et s'annule dans certaines directions. / In this work, we establish local in time dispersive estimates and its application to Strichartz estimates for solutions of the model case Dirichlet wave equation inside cylindrical convex domains Ω ⊂ R³ with smooth boundary ∂Ω ≠ ∅. Let us recall that dispersive estimates are key ingredients to prove Strichartz estimates. Strichartz estimates for waves inside an arbitrary domain Ω have been proved by Blair, Smith, Sogge [6,7]. Optimal estimates in strictly convex domains have been obtained in [29]. Our case of cylindrical domains is an extension of the result of [29] in the case where the nonnegative curvature radius depends on the incident angle and vanishes in some directions.

Mes travaux de thèse portent sur la construction de conditions aux limites absorbantes (CLAs) pour des problèmes de propagation d'ondes posés dans des milieux limités par des surfaces régulières. Ces conditions sont nouvelles car elles prennent en compte non seulement les ondes proagatives (comme la plupart des CLAs existantes) mais aussi les ondes évanescentes et rampantes. Elles sont donc plus performantes que les conditions existantes. De plus, elles sont facilement implémentables dans un schéma d'éléments finis de type Galerkine Discontinu (DG) et ne modifie pas la condition de stabilité de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL). Ces CLAs ont été implémentées dans un code simulant la propagation des ondes acoustiques ainsi que dans un code simulant la propagation des ondes en régime harmonique. Les comparaisons réalisées entre les nouvelles conditions et celles qui sont les plus utilisées dans la littérature montrent que prendre en compte les ondes évanescentes et les ondes rampantes permet de diminuer les réflexions issues de la frontière artificielle et donc de rapprocher la frontière artificielle du bord de l'obstacle. On limite ainsi les coûts de calcul, ce qui est un des avantages de mes travaux. De plus, compte tenu du fait que les nouvelles CLAs sont écrites pour des frontières quelconques, elles permettent de mieux adapter le domaine de calcul à la forme de l'obstacle et permettent ainsi de diminuer encore plus les coûts de calcul numérique. / In my PhD, I have worked on the construction of absorbing boundary conditions (ABCs) designed for wave propagation problems set in domains bounded by regular surfaces. These conditions are new since they take into account not only propagating waves (as most of the existing ABCs) but also evanescent and creeping waves. Therefore, they outperform the existing ABCs. Moreover, they can be easily implemented in a discontinuous Galerkin finite element scheme and they do not change the Courant-Friedrichs-Lewy stability condition. These ABCs have been implemented in two codes that respectively simulate the propagation of acoustic waves and harmonic waves. The comparisons performed between these ABCs and the ABCs mostly used in the litterature show that when we take into account evanescent and creeping waves, we reduce the reflections coming from the artificial boundary. Therefore, thanks to these new ABCs, the artificial boundary can get closer to the obstacle. Consequently, we reduce the computational costs which is one of the advantages of my work. Moreover, since these new ABCs are written for any kind of boundary, we can adapt the shape of the computational domain and thus we can reduce again the computational costs.

Mes travaux de thèse portent sur la construction de conditions aux limites absorbantes (CLAs) pour des problèmes de propagation d'ondes posés dans des milieux limités par des surfaces régulières. Ces conditions sont nouvelles car elles prennent en compte non seulement les ondes proagatives (comme la plupart des CLAs existantes) mais aussi les ondes évanescentes et rampantes. Elles sont donc plus performantes que les conditions existantes. De plus, elles sont facilement implémentables dans un schéma d'éléments finis de type Galerkine Discontinu (DG) et ne modifie pas la condition de stabilité de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL). Ces CLAs ont été implémentées dans un code simulant la propagation des ondes acoustiques ainsi que dans un code simulant la propagation des ondes en régime harmonique. Les comparaisons réalisées entre les nouvelles conditions et celles qui sont les plus utilisées dans la littérature montrent que prendre en compte les ondes évanescentes et les ondes rampantes permet de diminuer les réflexions issues de la frontière artificielle et donc de rapprocher la frontière artificielle du bord de l'obstacle. On limite ainsi les coûts de calcul, ce qui est un des avantages de mes travaux. De plus, compte tenu du fait que les nouvelles CLAs sont écrites pour des frontières quelconques, elles permettent de mieux adapter le domaine de calcul à la forme de l'obstacle et permettent ainsi de diminuer encore plus les coûts de calcul numérique.

Le but de cette thèse est la construction de schémas numériques pour la simulation de phénomènes de propagation d'ondes acoustiques et électromagnétiques basés sur des discrétisations en espace par éléments finis conformes, ces schémas ayant pour vocation à être d'ordre arbitrairement élevé et aussi efficaces que possible. Dans le cadre de l'équation des ondes scalaire nous reprenons le problème de la condensation de la matrice de masse issue des éléments finis de Lagrange (cf. Cohen-Joly-Tordjmann) pour en décrire un algorithme de construction général. Cet algorithme nous a permis de déterminer un nouvel élément fini avec condensation de masse de type $P_6$. Nous présentons aussi une nouvelle approche permettant une condensation partielle de la matrice de masse. Dans le cadre de la propagation d'ondes électromagnétiques modélisée par les équations de Maxwell, nous présentons une méthode de couplage conforme d'éléments finis d'arête rectangulaires (avec condensation de la matrice de masse) et triangulaires, permettant d'optimiser le profil de la matrice de masse (et donc d'en optimiser l'inversion) pour les simulations dans des domaines à géométrie complexe. Nous présentons aussi une discrétisation en temps d'ordre arbitrairement élevé, basée sur une procédure de type Cauchy-Kowalewski, que l'on a stabilisée. Toutes les discrétisations présentées ont été implémentées, testées de manière exhaustive et leur efficacité a été comparée, dans une série de tests numériques, à celle des discrétisations couramment utilisées pour ce type d'applications telles que les discrétisations en espace par éléments finis de Lagrange standards, et les discrétisations symplectiques ou de Runge-Kutta en temps

De nombreux ouvrages d'électromagnétisme ou d'acoustique classent les méthodes de résolution des problèmes de diffraction suivant le qualificatif d'analytique ou de numérique. Les premières donnent des formes explicites exactes ou asymptotiques des champs tandis que les secondes aboutissent à des expressions implicites en champ que l'on résout numériquement. Cette présentation se rapporte à certaines de nos publications relatives à la première catégorie. On y présente les solutions originales, exactes ou asymptotiques, de problèmes de diffraction d'une onde par des corps élémentaires comportant une ou plusieurs discontinuités de géométrie et/ou de matériau en 2D et 3D, en régime stationnaire ou instationnaire. Plusieurs de ces problèmes ainsi traités deviennent de nouveaux cas canoniques. On notera que les problèmes étudiés ne sont pas solubles par les méthodes classiques de séparation des variables.<br />Indiquons par ailleurs qu'étant donné la complexité des problèmes posés, nous avons proscrit les arguments heuristiques qui limitent trop souvent le domaine de validité de nombreuses méthodes analytiques.