Dans cette thèse, nous étudions la stabilisation de certaines équations d’évolution par des lois de rétroaction. Dans le premier chapitre nous étudions l’équation des ondes dans R avec conditions aux limites dynamiques appliquées sur une partie du bord et une condition de Dirichlet sur la partie restante. Nous fournissons des conditions suffisantes qui garantissent une stabilité polynomiale en utilisant une méthode qui combine une inégalité d’observabilité pour le problème non amorti associé avec des résultats de régularité du problème non amorti. L’optimalité de la décroissance est montrée dans certains cas à l’aide des résultats spectraux précis de l’opérateur associé. Dans le deuxième chapitre nous considérons le système sur un domaine de Rd, d ≥ 2. On trouve des conditions suffisantes qui permettent la stabilité forte. Ensuite, nous discutons de la stabilité non uniforme ainsi que de la stabilité polynomiale. L’approche en domaine fréquentiel nous permet d’établir une décroissance polynomiale sur des domaines pour lesquels l’équation des ondes avec l’amortissement standard est exponentiellement ou polynomialement stable. Dans le troisième chapitre nous considérons un cadre général d’équations d’évolution avec une dissipation dynamique. Sous une hypothèse de régularité, nous montrons que les propriétés d’observabilité pour le problème non amorti impliquent des estimations de décroissance pour le problème amorti. / In this thesis, we study the stabilization of some evolution equations by feedback laws. In the first chapter we study the wave equation in R with dynamical boundary control applied on a part of the boundary and a Dirichlet boundary condition on the remaining part. We furnish sufficient conditions that guarantee a polynomial stability proved using a method that combines an observability inequality for the associated undamped problem with regularity results of the solution of the undamped problem. In addition, the optimality of the decay is shown in some cases with the help of precise spectral results of the operator associated with the damped problem. Then in the second chapter we consider the system on a domain of Rd, d ≥ 2. In this case, the domain of the associated operator is not compactly embedded into the energy space. Nevertheless, we find sufficient conditions that give the strong stability. Then, we discuss the non uniform stability as well as the polynomial stability by two methods. The frequency domain approach allows us to establish a polynomial decay on some domains for which the wave equation with the standard damping is exponentially or polynomially stable. Finally, in the third chapter we consider a general framework of second order evolution equations with dynamical feedbacks. Under a regularity assumption we show that observability properties for the undamped problem imply decay estimates for the damped problem. We finally illustrate our general results by a variety of examples.

Le phénomène d’interférométrie par réinjection optique se produit lorsqu’une portion de la puissance optique du laser est rétrodiffusée par une cible distante puis réinjectée dans la cavité laser ce qui affecte les propriétés d’émission du laser (fréquence et puissance en particulier). Ce principe résulte alors en un capteur interférométrique compact, auto-aligné et sans contact. Des applications récentes des capteurs par réinjection optique dans les domaines de la microfluidique et de l’acoustique ont montré des résultats prometteurs et ouvert de nouveaux domaines de recherche. Pourtant, dans le cadre de ces applications, l’amplitude du signal est extrêmement faible à cause de la faible amplitude des variations de la puissance rétrodiffusée qui est mesurée. Dans cette thèse, un modèle analytique décrivant la dépendance de l’amplitude du signal issu d’une diode laser monomode au courant d’injection et à la température est développé à partir des équations d’évolution de Lang et Kobayashi. Le modèle a été développé pour toutes les méthodes connues d’acquisition du signal interférométrique par réinjection optique : par la photodiode de monitoring incluse dans le boîtier de la diode laser, par la captation de la puissance optique au moyen d’un photodétecteur externe et par l’amplification de la tension aux bornes de la diode laser elle-même. Le modèle démontre que les signaux des photodiodes et de la tension sont liés à l’efficacité externe de la diode laser, qui elle-même est fonction du courant injecté et de la température. Qui plus est, le modèle prédit une évolution très différente de l’amplitude de ces différents signaux en fonction du courant d’injection ou de la température. Un résultat remarquable, confirmé par une campagne de mesures pour ces trois types de signaux sur une large plage de courants d’injection et de températures. Ainsi ce modèle simple permet une compréhension nouvelle des stratégies de polarisation très différentes de la diode laser permettant d’obtenir une sensibilité optimale du capteur dans les différents schémas d’acquisition du signal. Par ailleurs, les relations entre la phase et l’amplitude des signaux issus des photodiodes externes et de monitoring ont été étudiées sur le plan théorique et expérimental ce qui a permis de révéler des résultats inattendus. À partir du modèle et basé sur des observations expérimentales, une étude critique a été menée sur l’impact de la combinaison des trois signaux dans la stratégie de traitement du signal afin d’améliorer la sensibilité du capteur aux réinjections optiques de faible amplitude. / The optical feedback interferometry phenomenon occurs when a portion of the output optical power is back-scattered from a remote target and coupled into the laser cavity to vary the laser’s emission properties (frequency and power mostly). Thus, this scheme results in a compact, self-aligned and contact-less interferometric sensor. Recent applications of optical feedback interferometer in the domains of microfluidics or acoustics have shown promising results and open new fields of researches. However in these applications, the amplitude of the sensing signal is extremely small due to the weakness of the backscattered power changes that are measured. In this thesis, an analytical model that describes the laser injection current and temperature dependence of the optical feedback interferometry signal strength for a single-mode laser diode has been derived from the Lang and Kobayashi rate equations. The model has been developed for all the known signal acquisition methods of the optical feedback interferometry scheme: from the package included monitoring photodiode, by collection of the laser power with an external photodetector and by amplification of the variations in the laser junction voltage. The model shows that both the photodiodes and the voltage signals strengths are related to the laser slope efficiency, which itself is a function of the laser injection current and of the temperature. Moreover, the model predicts different behaviors of the photodiodes and the voltage signal strengths with the change of the laser injection current and the temperature; an important result that has been proven by conducting measurements on all three signals for a wide range of injection current and temperature. Therefore, this simple model provides important insights into the radically different biasing strategies required to achieve optimal sensor sensitivity for the different interferometric signal acquisition schemes. In addition, the phase and amplitude relationships between the external and the in-package photodiode signals have been investigated theoretically and experimentally demonstrating unexpected results. Based on our model and on experimental observations, a critical study has been performed on the impact of the combination of the three signals in the signal processing strategy in order to improve the sensor sensibility to low amplitude optical feedback.

Les travaux présentés dans cette thèse portent sur l’analyse mathématique de quelques équations intervenant en dynamique des populations et en cinétique des gaz. On s’est intéressé tout d’abord à une version non linéaire d’un modèle dû à Lebowitz et Rubinow en 1974 pour décrire une population cellulaire. On a établi des résultats d’existence et d’unicité aussi bien les solutions au sens de Bénilan que les solutions fortes du problème d’évolution correspondant. Cette analyse a été étendue ensuite à une perturbation de ce modèle par un opérateur non linéaire et pour des conditions aux limites locales et non locales. Cette partie a été complétée par l’étude des résultats d’existence des solutions du problème stationnaire correspondant. Le second volet de ce travail traite de l’existence des solutions d’une version non linéaire stationnaire d’un modèle dû à Rotenberg en 1983. Le dernier chapitre de ce travail à été consacré à l’analyse spectrale d’une équation de transport neutronique faisant intervenir des opérateurs de collision élastiques et inélastiques. Le problème d’évolution correspondant ainsi que le comportement asymptotique (pour les grands temps) de la solution ont été considéré pour des conditions aux limites périodiques. / The work presented in this thesis deals with the mathematical analysis of some equations arising in the dynamics of populations and the kinetic of gas. First, we focused on a non-linear version of a model introduced by Lebowitz and Rubinow in 1974 to describe a cells population. We discussed the existence and the uniqueness of solutions of both Bénilan’s solution and strong solutions to the corresponding evolution equation. This analysis was subsequently extended to a perturbation of this model by a nonlinear operator for local and non-local boundary conditions. This part was supplemented by the study of existence of solutions to the corresponding stationary problem. In chapter 5, we discuss the existence of solutions to a stationary nonlinear version of a model describing the evolution of a cells population introduced by Rotenberg in 1983. The last chapter of this work is devoted to the spectral analysis of a neutron transport equation involving elastic and inelastic collision operators. The corresponding evolution problem as well as the asymptotic behavior (for large times) of the solution was considered for periodic boundary conditions.