Dans cette thèse, nous étudions la stabilisation de certaines équations d’évolution par des lois de rétroaction. Dans le premier chapitre nous étudions l’équation des ondes dans R avec conditions aux limites dynamiques appliquées sur une partie du bord et une condition de Dirichlet sur la partie restante. Nous fournissons des conditions suffisantes qui garantissent une stabilité polynomiale en utilisant une méthode qui combine une inégalité d’observabilité pour le problème non amorti associé avec des résultats de régularité du problème non amorti. L’optimalité de la décroissance est montrée dans certains cas à l’aide des résultats spectraux précis de l’opérateur associé. Dans le deuxième chapitre nous considérons le système sur un domaine de Rd, d ≥ 2. On trouve des conditions suffisantes qui permettent la stabilité forte. Ensuite, nous discutons de la stabilité non uniforme ainsi que de la stabilité polynomiale. L’approche en domaine fréquentiel nous permet d’établir une décroissance polynomiale sur des domaines pour lesquels l’équation des ondes avec l’amortissement standard est exponentiellement ou polynomialement stable. Dans le troisième chapitre nous considérons un cadre général d’équations d’évolution avec une dissipation dynamique. Sous une hypothèse de régularité, nous montrons que les propriétés d’observabilité pour le problème non amorti impliquent des estimations de décroissance pour le problème amorti. / In this thesis, we study the stabilization of some evolution equations by feedback laws. In the first chapter we study the wave equation in R with dynamical boundary control applied on a part of the boundary and a Dirichlet boundary condition on the remaining part. We furnish sufficient conditions that guarantee a polynomial stability proved using a method that combines an observability inequality for the associated undamped problem with regularity results of the solution of the undamped problem. In addition, the optimality of the decay is shown in some cases with the help of precise spectral results of the operator associated with the damped problem. Then in the second chapter we consider the system on a domain of Rd, d ≥ 2. In this case, the domain of the associated operator is not compactly embedded into the energy space. Nevertheless, we find sufficient conditions that give the strong stability. Then, we discuss the non uniform stability as well as the polynomial stability by two methods. The frequency domain approach allows us to establish a polynomial decay on some domains for which the wave equation with the standard damping is exponentially or polynomially stable. Finally, in the third chapter we consider a general framework of second order evolution equations with dynamical feedbacks. Under a regularity assumption we show that observability properties for the undamped problem imply decay estimates for the damped problem. We finally illustrate our general results by a variety of examples.

Dans cette thèse, nous étudions l'approximation et la stabilisation de certaines équations d'évolution, en utilisant la théorie des semi-groups et l'analyse spectrale. Cette thèse est divisée en deux parties principales. Dans la première partie, comme dans [3, 4], nous considérons l'approximation des équations d'évolution du deuxième ordre modélisant les vibrations de structures élastiques. Il est bien connu que le système approché par éléments finis ou différences finies n'est pas uniformément exponentiellement ou polynomialement stable par rapport au paramètre de discrétisation, même si le système continu a cette propriété. Dans la première partie, notre objectif est d'amortir les modes parasites à haute fréquence en introduisant des termes de viscosité numérique dans le schéma d'approximation. Avec ces termes de viscosité, nous montrons la décroissance exponentielle ou polynomiale du schéma discret lorsque le problème continu a une telle décroissance et quand le spectre de l'opérateur spatial associé au problème conservatif satisfait la condition du gap généralisée. En utilisant le Théorème de Trotter-Kato, nous montrons la convergence de la solution discrète vers la solution continue. Quelques exemples sont également présentés. / In this thesis, we study the approximation and stabilization of some evolution equations, using semigroup theory and some spectral analysis. This Ph.D. thesis is divided into two main parts. In the first part, as in [3, 4], we consider the approximation of second order evolution equations modeling the vibrations of elastic structures. It is well known that the approximated system by finite elements or finite differences is not uniformly exponentially or polynomially stable with respect to the discretization parameter, even if the continuous system has this property. Therefore, our goal is to damp the spurious high frequency modes by introducing numerical viscosity terms in the approximation scheme. With these viscosity terms, we show the exponential or polynomial decay of the discrete scheme when the continuous problem has such a decay and when the spectrum of the spatial operator associated with the undamped problem satisfies the generalized gap condition. By using the Trotter-Kato Theorem, we further show the convergence of the discrete solution to the continuous one. Some illustrative examples are also presented.

Cette thèse est consacrée à l’étude de la stabilisation de certains systèmes distribués avec contrôle frontière de type dynamique. Nous considérons, d’abord, la stabilisation de l’équation de la poutre de Rayleigh avec un seul contrôle frontière dynamique moment ou force. Nous montrons que le système n’est pas uniformément (autrement dit exponentiellement) stable; mais par une méthode spectrale, nous établissons le taux polynomial optimal de décroissance de l’énergie du système. Ensuite, nous étudions la stabilisation indirecte de l’équation des ondes avec un amortissement frontière de type dynamique fractionnel. Nous montrons que le taux de décroissance de l’énergie dépend de la nature géométrique du domaine. En utilisant la méthode fréquentielle et une méthode spectrale, nous montrons la non stabilité exponentielle et nous établissons, plusieurs résultats de stabilité polynomiale. Enfin, nous considérons l’approximation de l’équation des ondes mono-dimensionnelle avec un seul amortissement frontière de type dynamique par un schéma de différence finie. Par une méthode spectrale, nous montrons que l’énergie discrétisée ne décroit pas uniformément (par rapport au pas du maillage) polynomialement vers zéro comme l’énergie du système continu. Nous introduisons, alors, un terme de viscosité numérique et nous montrons la décroissance polynomiale uniforme de l’énergie de notre schéma discret avec ce terme de viscosité. / This thesis is devoted to the study of the stabilization of some distributed systems with dynamic boundary control. First, we consider the stabilization of the Rayleigh beam equation with only one dynamic boundary control moment or force. We show that the system is not uniformly (exponentially) stable. However, using a spectral method, we establish the optimal polynomial decay rate of the energy of the system. Next, we study the indirect stability of the wave equation with a fractional dynamic boundary control. We show that the decay rate of the energy depends on the nature of the geometry of the domain. Using a frequency approach and a spectral method, we show the non exponential stability of the system and we establish, different polynomial stability results. Finally, we consider the finite difference space discretization of the 1-d wave equation with dynamic boundary control. First, using a spectral approach, we show that the polynomial decay of the discretized energy is not uniform with respect to the mesh size, as the energy of the continuous system. Next, we introduce a viscosity term and we establish the uniform (with respect to the mesh size) polynomial energy decay of our discrete scheme.