Nous étudions la dynamique hamiltonienne asymptotique de particules libres dans des gaz de Lorentz inélastiques, milieux possédant un nombre infini de degrés de liberté distribués dans l'espace de façon périodique ou aléatoire. On distingue deux types de comportement asymptotique, selon que le système soit dissipatif ou non. Dans le cas non-dissipatif, l'action des particules sur les degrés de liberté du gaz est négligée. Nous déterminons, numériquement et analytiquement, le comportement asymptotique en temps de l'énergie cinétique moyenne et de la variance du déplacement de particules rapides. L'analyse repose sur l'approximation du mouvement des particules par une marche aléatoire dont un pas correspond à une collision de la particule avec une particule du gaz de Lorentz. Nous montrons que les comportements sont différents suivant que la force exercée par le diffuseur dérive d'un potentiel ou non. Les résultats se démontrent par des arguments probabilistes, utilisant des théorèmes de convergence de chaînes de Markov et les processus de Bessel. Nous obtenons également le comportement asymptotique de la variance du déplacement dans ces différents cas. Dans les modèles dissipatifs, l'évolution des degrés de liberté du gaz de Lorentz est affectée par la particule et le système dynamique considéré est composé de la particule et du milieu. Nous démontrons, sur un espace des phases approprié, l'existence globale des solutions et nous construisons une mesure de Gibbs décrivant l'équilibre thermodynamique du système. Ces constructions nous permettent d'établir rigoureusement la relation d'Einstein à temps fini en présence d'une force constante extérieure / We study the hamiltonian dynamics of free particles in inelastic Lorentz gases, which are environments with an infinite number of degrees of freedom randomly or periodically distributed in space. We exhibit two differents asymptotic behaviours, depending on if the particles undergo dissipation or not.The model is called non-dissipative when the action of the particles on the degrees of freedom of the gas is neglected. We determine, numerically and analytically, the asymptotic behaviour in time of the averaged kinetic energy and the mean squared displacement of fast particles. The analysis is based on the approximation of the particles' dynamics by a random walk where one step corresponds to a unique collision of the particle with a particle of the Lorentz gas. We find different asymptotics, depending on whether the force exerted by the scatterer is or not a gradient field. These results are proved by probabilistic arguments, bringing into play convergence theorems of Markov chains and Bessel processes. We also derive the asymptotic behavior of the main squared displacement in these different cases.In dissipative models, the evolution of the degrees of freedom of the Lorentz gas is affected by the particle and the dynamical system considered is constituted of the particle and the environment. It then has an infinite number of degrees of freedom. We prove, on an appropriate phase space, the global existence of solutions and build a Gibbs measure describing the system's thermodynamic equilibrium. This enables us to prove the Einstein relation at finite time in the presence of an exterior force.

Ce mémoire de thèse concerne l’analyse mathématique et numérique du comportement asymptotique de certains modèles de type coagulation-fragmentation intervenant en physique ou en biologie.Dans la première partie, on considère le système d’équations de Lifshitz-Slyozov qui modélise l’immersion d’une population de macro-particules en interaction avec un bain de monomères. Ce modèle développe en temps long un comportement dépendant d’une manière très particulière de l’état initial et ses spécificités techniques en font un véritable challenge pour la simulation numérique.On introduit un nouveau schéma numérique de type volumes finis basé sur une stratégie anti-dissipative ; ce schéma parvient à capturer les profils asymptotiques attendus par la théorie et dépasse en performances les méthodes utilisées jusqu’alors. L’investigation numérique est poursuivie en prenant en compte dans le modèle des phénomènes de coalescence entremacro-particules à travers l’opérateur de Smoluchowski. La question est de déterminer par l’expérimentation numérique comment ces phénomènes influencent le comportement asymptotique. On envisage aussi une extension du modèle classique de Lifshitz-Slyozov qui prend en compte des effets spatiaux via la diffusion des monomères. On établit l’existence et l’unicité des solutions du système couplé hyperbolique-parabolique correspondant. La seconde partie de ce mémoire aborde des modèles d’agrégation fragmentation issus de la biologie. On s’intéresse en effet à des équations décrivant les phénomènes de croissance et de division pour une population de cellules caractérisée par sa densité de répartition en taille. Le comportement asymptotique de cette densité de répartition est accessible à l’expérience et peut être établi théoriquement. L’enjeu biologique consiste, à partir de données mesurées de la densité cellulaire, à estimer le taux de division cellulaire qui, lui, n’est pas expérimentalement mesurable. Ainsi, retrouver ce taux de division cellulaire fait appel à l’étude d’un problème inverse que nous abordons théoriquement et numériquement par des techniques de régularisations par quasi-reversibilité et par filtrage.La troisième partie de ce travail de thèse est consacrée à des systèmes couplés décrivant des interactions fluide-particules, avec des termes de coagulation–fragmentation, de type Becker–Döring. On étudie les propriétés de stabilité du modèle et on présente des résultats d’asymptotiques correspondant à des régimes de forte friction. / This thesis concerns the mathematical and numerical analysis of the asymptotic behavior of some coagulation-fragmentation type models arising in physics or in biology.In the first part we consider the Lifshitz-Slyozov system that models the dumping of a population of macro-particles in interaction with a bath of monomers. This model develops in long time a behavior depending in a very particular way on the initial data abd its technical specificities make a real challenge for the numerical simulation. We introduce a new numerical finite volume type scheme based on an anti-dissipative strategy; this scheme succeeds in capturing the asymptotic profiles waited by the theory and exceeds in performances the methods used before. The numerical investigation ispursued by taking into account in the model the phenomena of coalescence between macro-particles through the Smoluchowski operator. The question is to find by numerical experiment how these phenomena influence the asymptotic behavior. We also consider an extension of the classical Lifshitz-Slyozov model which takes into account the spatial effects via the diffusion of monomers. We establish the existence and the uniqueness of the solutions of the corresponding hyperbolic-parabolic coupled system.The second part of this thesis deals with approaches coagulation-fragmentation models stemming from biology. Indeed, we are interest in equations describing the phenomena of growth and division for a celles population caracterised by its size density repartition. The asymptotic behavior of this size density repartition is accessible to the experiment and can be established in theory. The biological stake consists, from measured data of the cellular density, to estimate the cellular division rate which is not experimentally measurable. So, to find this cellular division rate requires the study of an inverse problem which we approach numerically and theoretically by techniques of regularizations by quasi-reversibility and by filtering.This third part of this thesis work is devoted to coupled systems describing fluid-particles interactions with coagulation-fragmentation terms of Becker-Döring type. We study the stability properties of the model and we present some asymptotic results corresponding to the regime with strong friction force.

L'objectif principal de cette thèse concerne l'étude du comportement asymptotique des solutions globales de quelques équations, et systèmes couplés des équations, d'évolutions non linéaires avec différents types d'amortissements et des conditions sur le bord. Sous la condition basique que la non linéarité est analytique, on prouve que les énergies associées vérifient des inégalités de type Lojasiewicz et on obtient des résultats de convergence avec l'estimation de la vitesse de convergence. Pour tous les modèles étudiés dans cette thèse, on s'intéresse aux questions d'existence et d'unicité des solutions bornées à images relativement compactes dans leur espace d'énergie naturelles. Cette thèse est constituée de trois parties principales. Dans la première partie on prouve un résultat de convergence général avec l'estimation du taux de décroissance des solutions bornées d'une équation d'évolution abstraite non autonome avec dissipation linéaire. Le résultat permet de retrouver et généraliser de manière naturelle des résultats connus mais aussi il s'applique à une classe très générale des équations et des systèmes couplés avec divers types de couplages et avec diverses conditions sur le bord. La deuxième partie est consacrée à l'étude des équations du second ordre avec dissipation non linéaire et des conditions dynamiques classiques sur le bord. On prouve l'existence et l'unicité des solutions globales bornées à images relativement compactes et on montre la convergence vers un équilibre. Finalement, on s'intéresse à des équations d'évolution dégénérées de type hyperbolique-parabolique avec des conditions dynamiques de type mémoire sur le bord. On prouve l'existence et l'unicité des solutions globales bornées à images relativement compactes et on prouve la convergence avec l'estimation de la vitesse de convergence. Le premier chapitre de cette thèse consiste en une introduction préliminaire développant non seulement l'histoire des recherches reliées à nos modèles et leurs résultats décrits dans la littérature, mais aussi en présentant les énoncés de nos résultats obtenus avec les idées des démonstrations. On y discute la complexité de la problématique et l'on y présente la justification de l'étude / The main goal of this thesis is the study of the asymptotic behavior of global solutions to some nonlinear evolutions equations and coupled systems with different types of dissipation and boundary conditions. Under the assumption that the non-linear term is real analytic, we construct an appropriate Lyapunov energy and we use the Lojasiewicz-Simon inequality to show the convergence, and the convergence, and the convergence rate, of global weak solutions to single steady states. For all models studied in this thesis, we are in addition interested in the questions of the existence and uniqueness of global bounded solutions having relatively compact range in the natural energy space. This thesis consists of three main parts. In the first part, we present a unified approach to study the asymptotic behavior and the decay rate to a steady state of bounded weak solutions for an abstract non-autonomous nonlinear equation with linear dissipation. This result allows us to find and to generalize, in a natural way, known results but it applies to a quite general class of equations and coupled systems with different kinds of coupling and various boundary conditions. The second part is devoted to the study of a nonautonomous semilinear second order equation with nonlinear dissipation and a dynamical boundary condition. We prove the existence and uniqueness of global, bounded, weak solutions having relatively compact range in the natural energy space and we show that every weak solution converges to equilibrium. Finally, we consider a nonautonomous, semilinear, hyperbolic-parabolic equation subject to a dynamical boundary condition of memory type. We prove the existence and uniqueness of global bounded solutions having relatively compact range and we show the convergence of global weak solutions to single steady states. We prove also an estimate for the convergence rate. The first chapter of this thesis consist of a preliminary introduction developing not only the story of researches linked to our models and the results described in the literature, but presenting also our main results as well the ideas of their proofs. There we discuss the complexity of our problems and we present a justification for our studies

Cette thèse s'inscrit dans le cadre de l'étude de deux sujets concernant les problèmes d'évolution liés au p-laplacien. Le premier sujet concerne l'étude du comportement asymptotique des solutions bornées lorsque le temps $t\to+\infty$. Quant au deuxième sujet, il porte sur l'étude de la non existence des solutions positives non triviales. Cette thèse se répartit en trois chapitres. Le premier chapitre est consacré à une introduction générale. Le deuxième chapitre porte sur l'étude de la convergence, lorsque $t\to+\infty$, des solutions bornées d'une équation parabolique associée au p-laplacien dans un intervalle borné avec des conditions aux limites du type soit Dirichlet, Neumann ou Robin. Ce travail était l'objet d'un article \cite{hauer-convergence-2012} accepté pour publication dans « Nonlinear Differential Equations and Applications NoDea ». Le dernier chapitre concerne l'étude de la non existence des solutions positives des équations paraboliques associées au p-laplacien avec un terme de convection et un potentiel singulier. La deuxième et quatrième section du Chapitre 3 reprennent un article \cite{Hauer:2012fk} accepté pour publication dans le journal « Archiv der Mathematik ». La deuxième sous-section de la Section 4 du Chapitre 3 contient un résultat qui améliore le travail \cite{Goldstein-Rhandi-weighted-hardy-11} de G. Goldstein, J. Goldstein et A. Rhandi et le travail \cite{MR1616905} de J. P. García Azorero et I. Peral Alonso concernant la non existence des solutions positives. Ce résultat n'est pas encore publié / This thesis is dedicated to the study of two subjects in the field of evolution problems associated with the $p$-Laplace operator. The first subject is concerned with the study of long time behavior of bounded solutions and the second subject is devoted to the study of nonexistence of positive nontrivial solutions. The first chapter of this thesis is devoted to a general introduction to the p-Laplace operator and a résumé of this thesis. The first chapter is written in French. Chapter 2 is dedicated to the study of convergence as the time $t\to+\infty$ of bounded solutions of evolution problems associated with the p-Laplace operator on a bounded interval with homogeneous Dirichlet, Neumann, or Robin boundary conditions converges. The results of Chapter 2 are contained in article \cite{hauer-convergence-2012}, which was published in the journal « Nonlinear Differential Equations and Applications NoDea ». Chapter 3 is devoted to the study of nonexistence of positive nontrivial weak solutions of parabolic equations associated to the p-Laplace operator with a convection term and a singular potential. The results of Section 3.2 and Section 3.4.1 of Chapter 3 are contained in article \cite{Hauer:2012fk}, which was accepted for publication in the journal « Archiv der Mathematik ». The results of Section 3.4.2 of Chapter 3 are not yet published

L’objectif de cette thèse est la modélisation, l’analyse mathématique et la simulation numérique de quelques modèles de transmission du VIH-SIDA dans une population sexuellement active donnée en général et en particulier dans celle du Mali. Nous proposons de modèles basés sur les connaissances actuelles de la transmission du virus du VIH. A cet effet, nous présentons trois modèles : un modèle comportemental en épidémiologie, un modèle qui incorpore le rôle des campagnes de sensibilisation en santé publique et un modèle de co-circulation de deux formes recombinantes du VIH-1. Dans le premier modèle, des résultats d’existence et d’unicité de la solution d’un problème parabolique semi-linéaire décrivant l’évolution d’une population soumise à l’infection du VIH sont présentés. La population est divisée en individus dont le risque comportemental est faible et en individus dont les comportement sont très risqués et qui interagissent entre eux. Une variable continue représentant ce risque comportemental est introduit. Le comportement asymptotique en temps du problème est étudié. Certains résultats numériques concernant la répartition de la population selon la variable représentant le risque comportemental sont présentés dans le cas de l’infection du VIH-SIDA au Mali. Dans les deux derniers modèles, nous obtenons une analyse complète de la stabilité de ces modèles à l’aide des techniques de Lyapunov suivant la valeur du taux de reproduction de base . Nous proposons une méthode alternative au taux de reproduction de base qui permet de confiner l’évolution de la maladie dans des limites fixées. Nous illustrons ces modèles par des simulations numériques. Ces dernières sont faites à partir de nos modèles confrontés aux données du Mali concernant la propagation du VIH-SIDA. / The objective of this thesis is the modeling, mathematical analysis and numerical simulation of a few models of transmission of the HIV-AIDS in a sexually active population given in general and in particular in that of Mali. We propose models based on the epidemiology currently known from the transmission of the HIV virus. Thus, we present three models of the transmission of HIV: a individual behavior and epidemiological model, a model that incorporates the role of public health education program on HIV and a mathematical model for the co-circulating into two circulating recombinants forms of HIV-1. In the first model, Somé results of existence and uniqueness of solution of a semilinear,parabolic problem describing the evolution of a population subjected to a disease are presented. The population is divided into individuals whose behavioral risk is low and in individuals whose behavior are very risky and that interact between them. A continuous variable representing a behavioral risk is introduced. The asymptotic in time of the problem is studied, and the existence of a non zero stationary state is proved. Somé numerical results concerning the distribution of the population according to the variable representing a behavioral risk are presented within the disease of the HIV-AIDS in Mali. In the last two models, we obtain a thorough analysis of the stability of these models using the Lyapunov techniques according to the value of the basic reproduction ratio,R0. We propose an alternative method to the basic reproductive rate R0 which allows to confine the evolution of the disease in the fixed limits. Numerical simulations are done to illustrate the behaviour of the model, using data collected in the literature regarding the spread of HIV in Mali.

Les travaux présentés dans cette thèse concerne l'équation de Schrödinger avec puissance simple comme non-linéarité. Dans une première partie, on étudie des solutions globales en temps possédant un état de diffusion dans un espace de Sobolev à poids. Puisque le groupe de Schrödinger n'est pas une isométrie sur cet espace, on cherche à savoir si de telles solutions convergent vers leur état de diffusion. La réciproque est également étudiée. Dans une deuxième partie, on montre que la vitesse maximale de décroissance en temps des solutions est celle des solutions du problème linéaire associé. Une troisième partie traite de conditions suffisantes et de conditions nécessaires pour l'existence globale en temps de solutions dans le cas surcritique. Dans une quatrième partie, on simplifie la démonstration du résultat de Kenji Nakanishi qui montre que dans le cas dissipatif et sous des hypothèses adéquates sur la non-linéarité, on peut établir une théorie de la diffusion dans l'espace d'énergie en petite dimension d'espace. La simplification consiste à ne pas utiliser les espaces de Besov, puisque le résultat se produit dans l'espace d'énergie. Dans une dernière partie, on regarde la régularité de certaines solutions auto-similaires.

Pour optimiser la gestion des réseaux de télécommunication, nous considérons le système de file d'attente M^X / G / 1 avec rappels et clients impatients. En utilisant la méthode des variables supplémentaires, nous obtenons les fonctions génératrices partielles de l'état stationnaire conjointe de l'état du serveur et du nombre de clients dans le groupe de rappels. Pour compléter l'analyse du modèle considéré, nous calculons la distribution stationnaire de la chaîne de Markov induite, grâce à laquelle nous présentons la propriété de la décomposition stochastique. Cependant, la fonction génératrice de la distribution stationnaire du nombre de clients dans le groupe de rappels, est obtenue sous une forme explicite, très complexe et ne révèle pas la nature de la distribution en question. Alors, nous étudions le comportement asymptotique de la variable aléatoire représentant le nombre de clients en orbite et dans le système pour des valeurs limites des différents paramètres. Nous complétons notre travail par des exemples numériques.

La thèse est composée de deux parties indépendantes.<br />Dans la première partie, on étudie le comportement asymptotique de problèmes elliptiques et paraboliques à données $L^1+W^{-1,p'}$ (respectivement $L^1+L^p(0,T;W^{-1,p'})$ dans le cas parabolique), dans des domaines devenant infiniment grands. En utilisant le cadre des solutions renormalisées et les résultats de régularité des solutions pour de telles données, on prouve, sous certaines hypothèses structurelles sur les variables d'espace, des résultats de convergence dans les espaces de régularité des solutions.<br />Dans la seconde partie, dans le cas de la dimension $2$, on étudie des systèmes de type Boussinesq. Ces systèmes dérivent de modèles de mécanique des fluides et consistent en un couplage des équations de Navier-Stokes incompressibles et de l'équation de la chaleur. On s'intéresse essentiellement aux questions d'unicité de la solution, particulièrement délicate à prouver du fait du couplage très non linéaire entre les équations. On travaille dans le cadre des solutions faibles pour les équations de Navier-Stokes et dans le cadre des solutions renormalisées pour des problèmes paraboliques pour l'équation de la chaleur. On établit tout d'abord des résultats de régularité pour ces équations puis on montre plusieurs résultats d'existence et d'unicité de la solution du système pour de petites données.

Dans cette thèse nous nous intéressons aux propriétés qualitatives et quantitatives des solutions de quelques équations d'ondes en milieux dispersifs ou dispersifs-dissipatifs. Dans une première partie, nous étudions le problème de Cauchy associé aux équations de Benjamin-Ono généralisées. A l'aide de transformées de jauge, combinées avec des outils d'analyse harmonique, nous prouvons des résultats concernant le caractère localement bien posé pour des données initiales de régularité minimale dans l'échelle des espaces de Sobolev. Dans une seconde partie, nous étudions le problème de Cauchy pour des versions dissipatives des équations de Benjamin-Ono et de Korteweg-de Vries. Nous mettons en évidence l'influence des effets dissipatifs sur ces équations en donnant des résultats optimaux sur leur caractère bien ou mal posé. Ceux-ci sont obtenus en travaillant dans des espaces de type Bourgain adaptés à la partie dispersive-dissipative. Pour finir nous étudions le comportement asymptotique des solutions des équations de KdV dissipatives, lorsque celles-ci existent pour tout temps, en calculant explicitement les premiers termes du développement asymptotique dans de nombreux espaces de Sobolev

La première partie de cette thèse (articles 1 et 2) est consacrée à l'étude du comportement asymptotique des solutions de dynamiques du second ordre avec dissipation evanescente. La deuxième partie de cette thése (articles 3 à 6) est consacrée à l'étude de plusieurs algorithmes de type proximal. Nous montrons que ces algorithmes convergent vers des solutions de certains problèmes de minimisation. Dans chaque cas, une application est donnée dans le cadre de la décomposition de domaine pour les EDP.