Cette étude propose une application innovante de deux concepts très étudiés par la communauté mathématique, le fibré des k-repères et la connexion de Cartan. D'une part, l'utilisation d'une connexion de Cartan particulière sur le fibré des 2-repères nous permet de proposer une généralisation de la notion de dérivée de Schwarz en dimension arbitraire, pour les difféomorphismes projectifs et conformes. D'autre part, nous avons pu élaborer une structure de BRS permettant de reproduire infinitésimalement l'action des difféomorphismes sur des champs de jauge à un terme de courbure près. Ainsi, la notion de connexion de Cartan sur le fibré des 2-repères a permis de résoudre un problème ouvert, originellement formulé par A.M. Polyakov en 1990 qui obtient formellement l'action de difféomorphismes (symétrie de l'espace-temps) à partir d'une transformation de jauge (symétrie interne). Les symétries d'espace-temps et les symétries internes peuvent ainsi être exprimées dans un formalisme similaire.

Dans cette thèse nous nous intéressons aux propriétés qualitatives et quantitatives des solutions de quelques équations d'ondes en milieux dispersifs ou dispersifs-dissipatifs. Dans une première partie, nous étudions le problème de Cauchy associé aux équations de Benjamin-Ono généralisées. A l'aide de transformées de jauge, combinées avec des outils d'analyse harmonique, nous prouvons des résultats concernant le caractère localement bien posé pour des données initiales de régularité minimale dans l'échelle des espaces de Sobolev. Dans une seconde partie, nous étudions le problème de Cauchy pour des versions dissipatives des équations de Benjamin-Ono et de Korteweg-de Vries. Nous mettons en évidence l'influence des effets dissipatifs sur ces équations en donnant des résultats optimaux sur leur caractère bien ou mal posé. Ceux-ci sont obtenus en travaillant dans des espaces de type Bourgain adaptés à la partie dispersive-dissipative. Pour finir nous étudions le comportement asymptotique des solutions des équations de KdV dissipatives, lorsque celles-ci existent pour tout temps, en calculant explicitement les premiers termes du développement asymptotique dans de nombreux espaces de Sobolev

Dans cette thèse nous nous intéressons aux propriétés qualitatives et quantitatives des solutions de quelques équations d'ondes en milieux dispersifs ou dispersifs-dissipatifs. Dans une première partie, nous étudions le problème de Cauchy associé aux équations de Benjamin-Ono généralisées. A l'aide de transformées de jauge, combinées avec des outils d'analyse harmonique, nous prouvons des résultats concernant le caractère localement bien posé pour des données initiales de régularité minimale dans l'échelle des espaces de Sobolev. Dans une seconde partie, nous étudions le problème de Cauchy pour des versions dissipatives des équations de Benjamin-Ono et de Korteweg-de Vries. Nous mettons en évidence l'influence des effets dissipatifs sur ces équations en donnant des résultats optimaux sur leur caractère bien ou mal posé. Ceux-ci sont obtenus en travaillant dans des espaces de type Bourgain adaptés à la partie dispersive-dissipative. Pour finir nous étudions le comportement asymptotique des solutions des équations de KdV dissipatives, lorsque celles-ci existent pour tout temps, en calculant explicitement les premiers termes du développement asymptotique dans de nombreux espaces de Sobolev / This thesis deals with the qualitative and quantitative properties of solutions to some wave equations in dispersive or dispersive-dissipative media. In the first part, we study the Cauchy problem for the generalized Benjamin-Ono equations. By means of gauge transforms combined with some harmonic analysis tools, we prove some local well-posedness results for initial data with minimal regularity in Sobolev spaces. In the second part, we study the Cauchy problem for some dissipative versions of the Benjamin-Ono and Korteweg-de Vries equations. We show the influence of the dissipative effects and prove sharp well and ill-posedness results. This is obtained by working in suitable Bourgain's spaces, adapted to the dispersive-dissipative part of the equation. Finally, we study the asymptotic behavior of solutions to the dissipative KdV equations. We explicitly compute the first terms of the asymptotic expansion in Sobolev spaces