Dans cette thèse nous nous intéressons aux propriétés qualitatives des solutions de quelques équations d’ondes en milieux dispersifs ou dispersifs-dissipatifs. Dans le premier chapitre, nous étudions l’explosion de solutions dans le régime log-log et l’existence globale pour le problème de Cauchy de l’équation de Schrödinger L2-critique amortie. Dans un second chapitre, nous considérons l’équation de Schrödinger L2-critique avec un amortissement non linéaire. Selon la puissance du terme d’amortissement, nous montrons l’existence globale ou l’explosion en régime log-log. Dans le troisième chapitre, nous étudions le problème de Cauchy pour l’équation de Kadomtsev-Petviashvili-Burgers-I (KPBI) en deux dimensions,nous montrons que le problème est localement bien posé dans Hs(R2) pour tout s > -½, et que l’existence est globale dans L2(R2) sans aucune condition sur la donnée initiale. Dans le dernier chapitre, nous considèrons l’équation d’Ostrovsky sur le cercle, et nous construisons des mesures invariantes par le flot selon les quantitées conservées par cette équation. / This thesis deals with the qualitative properties of solutions to some wave equations in dispersive or dispersive-dissipative media. In the first chapter, we study the blowup in the log-log regime and global existence of solutions to the Cauchy problem for the L2-critical damped nonlinear Schrödinger equation. In the second chapter, we consider the Cauchy problem for the L2-critical nonlinear Schrödinger equation with a nonlinear damping. According to the power of the damping term, we prove the global existence or the existence of finite time blowup dynamics with a log-log blow-up law. In the third chapter, we study the Cauchy problem for the Kadomtsev-Petviashvili-Burgers-I (KPBI) equations in two dimensions. We show that the problem is locally and globally well posed in Hs(R2) for any s > -½ , and that the existence is global in L2(R2) without any condition on the initial data. In the last chapter, we consider the Ostrovsky equation on the circle. We construct invariant measures under the flow for the conserved quantities of the equation.

Dans cette thèse nous nous intéressons aux propriétés qualitatives et quantitatives des solutions de quelques équations d'ondes en milieux dispersifs ou dispersifs-dissipatifs. Dans une première partie, nous étudions le problème de Cauchy associé aux équations de Benjamin-Ono généralisées. A l'aide de transformées de jauge, combinées avec des outils d'analyse harmonique, nous prouvons des résultats concernant le caractère localement bien posé pour des données initiales de régularité minimale dans l'échelle des espaces de Sobolev. Dans une seconde partie, nous étudions le problème de Cauchy pour des versions dissipatives des équations de Benjamin-Ono et de Korteweg-de Vries. Nous mettons en évidence l'influence des effets dissipatifs sur ces équations en donnant des résultats optimaux sur leur caractère bien ou mal posé. Ceux-ci sont obtenus en travaillant dans des espaces de type Bourgain adaptés à la partie dispersive-dissipative. Pour finir nous étudions le comportement asymptotique des solutions des équations de KdV dissipatives, lorsque celles-ci existent pour tout temps, en calculant explicitement les premiers termes du développement asymptotique dans de nombreux espaces de Sobolev / This thesis deals with the qualitative and quantitative properties of solutions to some wave equations in dispersive or dispersive-dissipative media. In the first part, we study the Cauchy problem for the generalized Benjamin-Ono equations. By means of gauge transforms combined with some harmonic analysis tools, we prove some local well-posedness results for initial data with minimal regularity in Sobolev spaces. In the second part, we study the Cauchy problem for some dissipative versions of the Benjamin-Ono and Korteweg-de Vries equations. We show the influence of the dissipative effects and prove sharp well and ill-posedness results. This is obtained by working in suitable Bourgain's spaces, adapted to the dispersive-dissipative part of the equation. Finally, we study the asymptotic behavior of solutions to the dissipative KdV equations. We explicitly compute the first terms of the asymptotic expansion in Sobolev spaces

Cette thèse concerne l’étude qualitative (existence locale, existence globale, explosion en temps fini) de quelques équations de Schrödinger non-linéaires non-locales. Dans le cas où les solutions explosent en temps fini, l’estimation du temps maximal d’existence des solutions sera présentée. Le chapitre 1 concerne l’étude d’une équation de Schrödinger non-linéaire sur RN. On s’intéresse à l’existence locale d’une solution pour toute condition initiale donnée dans L2(RN). De plus, on montre que la norme-L2 de la solution explose en temps fini T < 1. Les démonstrations reposent essentiellement sur le théorème de point fixe de Banach et les estimations de Strichartz, et aussi sur le choix convenable de la fonction test dans la formulation faible du problème. Dans le chapitre 2, on considère une équation de Schrödinger non-linéaire non-locale en temps, et on démontre que les solutions de notre problème explosent en temps fini ; ensuite on obtient des conditions nécessaires d’existence globale. Finalement, on obtient une borne inférieure du temps maximal d’existence de la solution. Le chapitre 3 porte sur la non-existence de solutions d’une équation de Schrödinger non-linéaire posée dans RN. Dans un premier temps, sous certaines conditions sur la donnée initiale, on montre qu’il n’existe pas de solution faible globale ; puis on donne une estimation du temps maximal d’existence de la solution. Enfin, on établit des conditions d’existence locale, ou globale de l’équation considérée. En plus, on généralise les résultats précédents au cas d’un système 2 _ 2. Le dernier chapitre traite une équation de Schrödinger non-linéaire non-locale en temps sur le groupe de Heisenberg H. En utilisant la méthode de la fonction test, on démontre que l’équation n’admet pas de solution faible globale. De plus, on obtient, sous certaines conditions sur les données initiales, une estimation inférieure du temps maximal d’existence de la solution. / Our objective in this thesis is to study the existence of local solutions, existence global and blow up of solutions at a finite time to some nonlinear nonlocal Schrödinger equations. In the case when a solution blows-up at a finite time T < 1, we obtain an upper estimate of the life span of solutions. In the first chapter, we consider a nonlinear Schrödinger equation on RN. We first prove local existence of solution for any initial condition in L2 space. Then we prove nonexistence of a nontrivial global weak solution. Furthermore, we prove that the L2-norm of the local intime L2-solution blows up at a finite time. The second chapter is dedicated to study an initial value problem for the nonlocal intime nonlinear Schrödinger equation. Using the test function method, we derive a blow-up result. Then based on integral inequalities, we estimate the life span of blowing-up solutions. In the chapter 3, we prove nonexistence result of a space higher-order nonlinear Schrödinger equation. Then, we obtain an upper bound of the life span of solutions. Furthermore, the necessary conditions for the existence of local or global solutions are provided. Next, we extend our results to the 2 _ 2-system. Our method of proof rests on a judicious choice of the test function in the weak formulation of the equation. Finally, we consider a nonlinear nonlocal in time Schrödinger equation on the Heisenberg group. We prove nonexistence of non-trivial global weak solution of our problem. Furthermore, we give an upper bound of the life span of blowing up solutions.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude de trois équations aux dérivées partielles et d'évolution non-locales en espace et en temps. Les solutions de ces trois solutions peuvent exploser en temps fini. Dans une première partie de cette thèse, nous considérons l'équation de la chaleur nonlinéaire avec une puissance fractionnaire du laplacien, et obtenons notamment que, dans le cas d'exposant sur-critique, le comportement asymptotique de la solution lorsque $t\rightarrow+\infty$ est déterminé par le terme de diffusion anormale. D'autre part, dans le cas d'exposant sous-critique, l'effet du terme non-linéaire domine. Dans une deuxième partie, nous étudions une équation parabolique avec le laplacien fractionnaire et un terme non-linéaire et non-local en temps. On montre que la solution est globale dans le cas sur-critique pour toute donnée initiale ayant une mesure assez petite, tandis que dans le cas sous-critique, on montre que la solution explose en temps fini $T_{\max}>0$ pour toute condition initiale positive et non-triviale. Dans ce dernier cas, on cherche le comportement de la norme $L^1$ de la solution en précisant le taux d'explosion lorsque $t$ s'approche du temps d'explosion $T_{\max}.$ Nous cherchons encore les conditions nécessaires à l'existence locale et globale de la solution. Une toisième partie est consacré à une généralisation de la deuxième partie au cas de systèmes $2\times 2$ avec le laplacien ordinaire. On étudie l'existence locale de la solution ainsi qu'un résultat sur l'explosion de la solution avec les mêmes propriétés étudiées dans le troisième chapitre. Dans la dernière partie, nous étudions une équation hyperbolique dans $\mathbb{R}^N,$ pour tout $N\geq2,$ avec un terme non-linéaire non-local en temps. Nous obtenons un résultat d'existence locale de la solution sous des conditions restrictives sur les données initiales, la dimension de l'espace et les exposants du terme non-linéaire. De plus on obtient, sous certaines conditions sur les exposants, que la solution explose en temps fini, pour toute condition initiale ayant de moyenne strictement positive.

Notre objectif dans cette thèse est l'étude des équations différentielles non linéaires comportant des dérivées fractionnaires en temps et/ou en espace. Nous nous sommes intéressés dans un premier temps à l'étude de deux systèmes non linéaires d'équations différentielles fractionnaires en temps et/ou en espace, puis à l'étude d'une équation différentielle fractionnaire en temps. Plus exactement pour la première partie, les questions concernant l'existence globale et le comportement asymptotique des solutions d'un système non linéaire d'équations différentielles comportant des dérivées fractionnaires en temps et en espace sont élucidées. Les techniques utilisées reposent sur des estimations obtenues pour les solutions fondamentales et la comparaison de certaines inégalités fractionnaires. Toujours dans la première partie, l'étude d'un système non linéaire d'équations de réaction-diffusion avec des dérivées fractionnaires en espace est abordée. L'existence locale et l'unicité des solutions sont prouvées à l'aide du théorème du point fixe de Banach. Nous montrons que les solutions sont bornées et analysons leur comportement à l'infini. La deuxième partie est consacrée à l'étude d'une équation différentielle fractionnaire non linéaire. Sous certaines conditions sur la donnée initiale, nous montrons que la solution est globale alors que sous d'autres, elle explose en temps fini. Dans ce dernier cas, nous donnons son profil ainsi que des estimations bilatérales du temps d'explosion. Alors que pour la solution globale nous étudions son comportement asymptotique. / Our objective in this thesis is the study of nonlinear differential equations involving fractional derivatives in time and/or in space. First, we are interested in the study of two nonlinear time and/or space fractional systems. Our second interest is devoted to the analysis of a time fractional differential equation. More exactly for the first part, the question concerning the global existence and the asymptotic behavior of a nonlinear system of differential equations involving time and space fractional derivatives is addressed. The used techniques rest on estimates obtained for the fundamental solutions and the comparison of some fractional inequalities. In addition, we study a nonlinear system of reaction-diffusion equations with space fractional derivatives. The local existence and the uniqueness of the solutions are proved using the Banach fixed point theorem. We show that the solutions are bounded and analyze their large time behavior. The second part is dedicated to the study of a nonlinear time fractional differential equation. Under some conditions on the initial data, we show that the solution is global while under others, it blows-up in a finite time. In this case, we give its profile as well as bilateral estimates of the blow-up time. While for the global solution we study its asymptotic behavior.