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Since Mclntosh's introduction of the H^∞-calculus for sectorial operators, the topic has been studied by many authors. Haase has constructed a similar functional calculus for strip-type operators, and has also developed an abstract framework which unifies both of these examples and more. In this thesis we use this abstract functional calculus setting to study two particular problems in operator theory. The first of these is concerned with operator sums. We ask the question of when the sum log A+log B is closed, where A and B are a pair of injective sectorial operators whose resolvents commute. We show that the sum is always closable and, when A and B are invertible, we determine sufficient conditions for the sum to be closed. These conditions are of Kalton-Weis type, and in fact ensure that AB is sectorial and that the identity log A + log B = log(AB) holds. We then identify an interpolation space on which these conditions are automatically satisfied. Our second problem is connected to the exponential of a strip-type operator B</e>, specifically the question of whether e^B is sectorial. When -1 ∈ p(e^B), the spectrum of e^B lies in a sector, and we obtain an estimate on the resolvent outside this sector. This estimate becomes closer to sectoriality as more restrictions are placed on the resolvents of B itself. This leads us to introduce the ideas of F-sectorial and F-strong strip-type operators, whose spectra are contained in a sector or strip, but which satisfy a different resolvent estimate from that of a sectorial or strong striptype operator. In some cases it is possible to define the logarithm of an F-sectorial operator or the exponential of an F-strong strip-type operator. We prove resolvent estimates for the resulting logarithms and exponentials, and explore the relationships between the various classes of operators considered.

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Cette thèse est consacrée à l'étude des opérateurs de composition sur les espaces modèles. Soit [Phi] une fonction analytique du disque unité dans lui-même et soit [Théta] une fonction intérieure, c'est à  dire une fonction holomorphe et bornée par 1 dont les limites radiales sur le cercle sont de module 1 presque partout par rapport à la mesure de Lebesgue. A cette fonction [Théta], on associe l'espace modèle K[Théta], défini comme l'ensemble des fonctions f ∈ H² qui sont orthogonales au sous-espace [Théta]H². Ici H² est l'espace de Hardy du disque unité. Ces sous-espaces sont importants en théorie des opérateurs car ils servent à modéliser une large classe de contractions sur un espace de Hilbert. Le premier problème auquel nous nous intéressons concerne la compacité d'un opérateur de composition C[Phi] vu comme opérateur de K[Théta], dans H². Récemment, Lyubarskii et Malinnikova ont obtenu un joli critère de compacité pour ces opérateurs qui fait intervenir la fonction de comptage de Nevanlinna du symbole [Phi]. Ce critère généralise le critère classique de Shapiro. Dans une première partie de la thèse, nous généralisons ce résultat de Lyubarskii-Malinnikova à une classe plus générale de sous-espaces, à savoir les espaces de de Branges-Rovnyak ou certains de leurs sous-espaces. Les techniques utilisées sont en particulier des inégalités  fines de type Bernstein pour ces espaces. Le deuxième problème auquel nous nous intéressons dans cette thèse concerne l'invariance de K[Théta] sous l'action de C [Phi]. Ce problème nous amène à considérer une structure de groupe sur le disque  unité du plan complexe via les automorphismes qui fixent le point 1. A travers cette action de groupe, chaque point du disque produit une classe d'équivalence qui se trouve être une suite de Blaschke. On montre alors que les produits de Blaschke correspondant sont des solutions "minimales" d'une équation fonctionnelle [Psi]°[Phi]=[Lambda][Psi], où [Lambda] est une constante unimodulaire et [Phi] un automorphisme du disque unité. Ces résultats sont ensuite appliqués au problème d'invariance d'un espace modèle par un opérateur de composition. / This thesis concerns the study of composition operators on model spaces. Let [Phi] be an analytic function on the unit disk into itself and let [Théta] be an inner function, that is a holomorphic function bounded by 1 such that the radial limits on the unit circle are of modulus 1 almost everywhere with respect to Lebesgue measure. With this function [Théta], we associate the model space K[Théta], defined as the set of functions f ∈ H², which are orthogonal to the subspace [Théta]H². Here H² is the Hardy space on the unit disc. These subspaces are important in operator theory because they are used to model a large class of contractions on Hilbert space. The first problem which we are interested in concerns the compactness of the composition operator C[Phi] as an operator on H² into H². Recently, Lyubarskii and Malinnikova have obtained a nice criterion for the compactness of these operators which is related to the Nevanlinna counting function. This criterion generalizes the classical criterion of Shapiro. In the first part of the thesis, we generalize this result of Lyubarskii-Malinnikova to a more general class of subspaces, known as de Branges-Rovnyak spaces or some subspaces of them. The techniques that are used are particular Bernstein type inequalities of these spaces.The second problem in which we are interested in this thesis concerns the invariance of K[Théta] under C[Phi]. We present a group structure on the unit disc via the automorphisms which fix the point 1. Then, through theinduced group action, each point of the unit disc produces an equivalence class which turns out to be a Blaschke sequence. Moreover, the corresponding Blaschke products are minimal solutions of the functional equation [Psi]°[Phi]=[Lambda][Psi] where [Lambda] is a unimodular constant and is an automorphism of the unit disc. These results are applied in the invariance problem of the model spaces by the composition operator.

Dans cette thèse, décomposée en deux parties, nous nous intéressons à l'étude des vecteurs propres associés aux valeurs propres de module 1 d'un opérateur linéaire borné sur un espace de Banach séparable. La première partie de la thèse fait suite à un travail réalisé par F. Bayart et S. Grivaux dans lequel ils donnent une condition portant sur les vecteurs propres associés aux valeurs propres de module 1 d'un opérateur sur un espace de Hilbert complexe séparable pour qu'il admette une mesure gaussienne non dégénérée pour laquelle il est fortement mélangeant. En exploitant cette condition sur les vecteurs propres, nous cherchons à estimer la vitesse de mélange de l'opérateur en question. Nous montrons qu'il n'y a pas de vitesse de mélange globale en général puis nous démontrons que si les vecteurs propres de l'opérateur sont paramétrés par des champs de vecteurs propres réguliers, alors on a une vitesse de mélange si on travaille avec des classes de fonctions suffisamment régulières. Dans la deuxième partie de la thèse, on étudie le spectre ponctuel unimodulaire d'un opérateur linéaire borné sur un espace de Banach séparable. En nous appuyant sur les résultats connus sur les suites de Jamison, nous étudions l'analogue de ces suites pour les semi-groupes d'opérateurs fortement continus et nous en donnons une carctérisation. Nous nous intéressons également à des problèmes de construction d'espaces de Banach et d'opérateurs sur ces espaces pour des suites qui ne sont pas des suites de Jamison. Nous généralisons ensuite la notion de suite de Jamison en étudiant le spectre ponctuel unimodulaire d'une représentation d'un groupe donné qui est borné par rapport à suite d'éléments de ce groupe. En particulier, on caractérise les suites de Jamison d'un groupe abélien de type fini. / In this thesis, we study into two different parts the eigenvectors associated to unimodular eigenvalues of an operator on a separable Banach space. The first part of the thesis follows a work of F. Bayart and S. Grivaux where they give condition on the eigenvectors associated to unimodular eigenvalues of an operator on a complex separable Hilbert space to admit a Gaussian measure for which the operator defines a strongly mixing transformation. With this condition on the eigenvectors, we investigate the subject of speed of mixing of the strongly mixing operator. We prove that there is no way to obtain a uniform speed of mixing in general. Then we prove that if the eigenvectors associated to unimodular eigenvalues of the operator are parametrized by a countable family of regular eigenvector fields then we have a speed of mixing by considering regular classes of functions. In the second part of the thesis, we study the unimodular point spectrum of an operator on a separable Banach space. By using the results on Jamison sequences, we give a characterization of Jamison sequences for strongly continuous semigroups. We are also concerned in the problem of construction of Banach space and operator on this space when the sequences are not Jamison sequences. Then we generalize the notion of Jamison sequence by studying the unimodular point spectrum of a group representation which is bounded with respect to some sequence of this group. In particular, we characterize Jamison sequences of a finitely generated abelian group.

Cette thèse s'inscrit dans le cadre de l'étude de deux sujets concernant les problèmes d'évolution liés au p-laplacien. Le premier sujet concerne l'étude du comportement asymptotique des solutions bornées lorsque le temps $t\to+\infty$. Quant au deuxième sujet, il porte sur l'étude de la non existence des solutions positives non triviales. Cette thèse se répartit en trois chapitres. Le premier chapitre est consacré à une introduction générale. Le deuxième chapitre porte sur l'étude de la convergence, lorsque $t\to+\infty$, des solutions bornées d'une équation parabolique associée au p-laplacien dans un intervalle borné avec des conditions aux limites du type soit Dirichlet, Neumann ou Robin. Ce travail était l'objet d'un article \cite{hauer-convergence-2012} accepté pour publication dans « Nonlinear Differential Equations and Applications NoDea ». Le dernier chapitre concerne l'étude de la non existence des solutions positives des équations paraboliques associées au p-laplacien avec un terme de convection et un potentiel singulier. La deuxième et quatrième section du Chapitre 3 reprennent un article \cite{Hauer:2012fk} accepté pour publication dans le journal « Archiv der Mathematik ». La deuxième sous-section de la Section 4 du Chapitre 3 contient un résultat qui améliore le travail \cite{Goldstein-Rhandi-weighted-hardy-11} de G. Goldstein, J. Goldstein et A. Rhandi et le travail \cite{MR1616905} de J. P. García Azorero et I. Peral Alonso concernant la non existence des solutions positives. Ce résultat n'est pas encore publié / This thesis is dedicated to the study of two subjects in the field of evolution problems associated with the $p$-Laplace operator. The first subject is concerned with the study of long time behavior of bounded solutions and the second subject is devoted to the study of nonexistence of positive nontrivial solutions. The first chapter of this thesis is devoted to a general introduction to the p-Laplace operator and a résumé of this thesis. The first chapter is written in French. Chapter 2 is dedicated to the study of convergence as the time $t\to+\infty$ of bounded solutions of evolution problems associated with the p-Laplace operator on a bounded interval with homogeneous Dirichlet, Neumann, or Robin boundary conditions converges. The results of Chapter 2 are contained in article \cite{hauer-convergence-2012}, which was published in the journal « Nonlinear Differential Equations and Applications NoDea ». Chapter 3 is devoted to the study of nonexistence of positive nontrivial weak solutions of parabolic equations associated to the p-Laplace operator with a convection term and a singular potential. The results of Section 3.2 and Section 3.4.1 of Chapter 3 are contained in article \cite{Hauer:2012fk}, which was accepted for publication in the journal « Archiv der Mathematik ». The results of Section 3.4.2 of Chapter 3 are not yet published

Dans cette thèse en théorie des opérateurs, on s’intéresse aux projections orthogonales, à l’image numérique d’un opérateur agissant sur un espace de Hilbert, au principe d’incertitude, au problème du sous-espace invariant et aux perturbations d’opérateurs diagonaux.Après un premier chapitre introductif, on s’intéresse à l’image numérique d’un produit de projections orthogonales et aux applications possibles. On donne une formule explicite de l’image numérique d’un produit de projections orthogonales en fonction de son spectre. On montre comment reconstruire une partie du spectre d’un produit de projections à partir de son image numérique. Comme conséquence, on donne de nouvelles caractérisations de vitesse de convergence dans la méthode des projections alternées (Théorème de von Neumann - Halperin), ainsi qu’une nouvelle caractérisation de paires annihilantes (qui est une formulation du principe d’incertitude). Dans le chapitre suivant, on s’intéresse aux différences de projections orthogonales. On discute de la caractérisation des opérateurs qui peuvent s’écrire comme différence de projections orthogonales. On applique ces résultats en écrivant certains opérateurs unitaires (dont l’opérateur de décalage bilatéral) comme combinaisons linéaires de projections orthogonales. Puis on applique encore ces résultats en établissant de nouveaux principes d’incertitudes pour des polynômes orthogonaux, ce qui améliore un résultat récent de W. Erb. Dans la dernière partie de cette thèse, on démontre l’existence des sous-espaces hyperinvariants pour certaines perturbations compactes d’opérateurs de multiplication. Ceci représente une généralisation des résultats antérieurs de Fang-Xia et de Foias-Jung-Ko-Pearcy. Enfin on construit des perturbations de rang un d’opérateurs diagonaux sans valeur propre, ce qui constitue une réponse à un problème ouvert dû à E. Ionascu. / In this PhD thesis in Operator Theory, we are interested in orthogonal projections, numerical ranges of operators acting on a Hilbert space, uncertainty principles, the invariant subspace problem and perturbations of diagonal operators. After an introductory chapter, we investigate the numerical range of a product of two orthogonal projections and possible applications. We give an explicit formula of the numerical range for a product of orthogonal projections depending on its spectrum. We show how to reconstruct some parts of the spectrum of the product of orthogonal projections from its numerical range. As a consequence, we give new characterizations of the speed of convergence in the method of alternating projections (von Neumann-Halperin like Theorems), and a new characterization of annihilating pairs (which is a formulation of the uncertainty principle). In the next chapter, we study differences of orthogonal projections. We give a caracterisation of operators that can be expressed as a difference of orthogonal projections. We apply these results to some unitary operators (including the bilateral shift) by writing them as linear combinations of orthogonal projections. Then we apply again these results by establishing a new uncertainty principle for orthogonal polynomials, improving recent results of W. Erb.In the last part of this thesis, we prove the exitence of hyperinvariant subspaces for some compact perturbations of multiplication operators. This generalize former results of Fang-Xia and Foias-Jung-Ko-Pearcy. Finally, we show the existence of rank-one perturbations of diagonal operators without eigenvalues, solving in this way an open problem of E. Ionascu.