Cette thèse s'inscrit dans le cadre de l'étude de deux sujets concernant les problèmes d'évolution liés au p-laplacien. Le premier sujet concerne l'étude du comportement asymptotique des solutions bornées lorsque le temps $t\to+\infty$. Quant au deuxième sujet, il porte sur l'étude de la non existence des solutions positives non triviales. Cette thèse se répartit en trois chapitres. Le premier chapitre est consacré à une introduction générale. Le deuxième chapitre porte sur l'étude de la convergence, lorsque $t\to+\infty$, des solutions bornées d'une équation parabolique associée au p-laplacien dans un intervalle borné avec des conditions aux limites du type soit Dirichlet, Neumann ou Robin. Ce travail était l'objet d'un article \cite{hauer-convergence-2012} accepté pour publication dans « Nonlinear Differential Equations and Applications NoDea ». Le dernier chapitre concerne l'étude de la non existence des solutions positives des équations paraboliques associées au p-laplacien avec un terme de convection et un potentiel singulier. La deuxième et quatrième section du Chapitre 3 reprennent un article \cite{Hauer:2012fk} accepté pour publication dans le journal « Archiv der Mathematik ». La deuxième sous-section de la Section 4 du Chapitre 3 contient un résultat qui améliore le travail \cite{Goldstein-Rhandi-weighted-hardy-11} de G. Goldstein, J. Goldstein et A. Rhandi et le travail \cite{MR1616905} de J. P. García Azorero et I. Peral Alonso concernant la non existence des solutions positives. Ce résultat n'est pas encore publié / This thesis is dedicated to the study of two subjects in the field of evolution problems associated with the $p$-Laplace operator. The first subject is concerned with the study of long time behavior of bounded solutions and the second subject is devoted to the study of nonexistence of positive nontrivial solutions. The first chapter of this thesis is devoted to a general introduction to the p-Laplace operator and a résumé of this thesis. The first chapter is written in French. Chapter 2 is dedicated to the study of convergence as the time $t\to+\infty$ of bounded solutions of evolution problems associated with the p-Laplace operator on a bounded interval with homogeneous Dirichlet, Neumann, or Robin boundary conditions converges. The results of Chapter 2 are contained in article \cite{hauer-convergence-2012}, which was published in the journal « Nonlinear Differential Equations and Applications NoDea ». Chapter 3 is devoted to the study of nonexistence of positive nontrivial weak solutions of parabolic equations associated to the p-Laplace operator with a convection term and a singular potential. The results of Section 3.2 and Section 3.4.1 of Chapter 3 are contained in article \cite{Hauer:2012fk}, which was accepted for publication in the journal « Archiv der Mathematik ». The results of Section 3.4.2 of Chapter 3 are not yet published

Ce travail de thèse rassemble nos résultats d'étude sur l'utilisation des modes de résonance acoustique pour réaliser des capteurs répartis à base des fibres à cristaux photoniques (Photonic Crystal Fibres : PCF). Tout d'abord, nous avons démontré qu'à l'heure actuelle, il est difficile voire impossible de mesurer en rétrodiffusion les modes acoustiques transverses dans une fibre optique. Ces modes dont la fréquence est inférieure à 2 GHz, ont été mesurés dans une boucle non linéaire sur une PCF, une fibre conventionnelle et une fibre à dispersion décalée. Les différents spectres montrent une dépendance à la structure transverse des fibres. Ensuite, nous avons mis au point un réflectomètre Brillouin (Brillouin Optical Time Domain Reflectometer : BOTDR) permettant de suivre en temps réel le spectre Brillouin le long d'une fibre avec une résolution spatiale de l'ordre d'une dizaine de mètres. Il est particulièrement capable de discriminer différents modes présents dans le spectre Brillouin. La comparaison des spectrogrammes obtenus sur différentes structures transverses de fibres, confirme que l'existence de multipics Brillouin dans les PCF est liée au très petit coeur (dont le diamètre est de l'ordre de la longueur d'onde de mesure) de la fibre. Enfin, toujours dans l'optique de mieux observer le spectre Brillouin réparti, nous avons développé un outil d'analyse Brillouin vectorielle permettant de cartographier avec précision les modes Brillouin hybrides grâce à la complémentarité du spectrogramme de phase. Les mesures réalisées sur une PCF dont le diamètre varie linéairement de 3,5 μm à 2,6 μm montrent un second mode Brillouin dont la fréquence varie à raison de -118,2 MHz/ μm.

Retracer l’histoire d’un bassin est un préalable essentiel à toute recherche d’hydrocarbures. Pour cela, on a recours à un modèle stratigraphique, qui simule l'évolution des bassins sédimentaires sur de grandes échelles de temps (millions d'années) et d'espace (centaines de kilomètres). Le logiciel Dionisos, développé à IFPEN depuis 1992 et très apprécié par les compagnies pétrolières, permet d’effectuer ce type de calculs en prenant en compte deux grands processus physiques : (1) le transport gravitaire des sédiments dû à l’inclinaison du sol ; (2) l’écoulement de l’eau provenant des fleuves et des précipitations. Le transport gravitaire est décrit par une équation de diffusion dans laquelle le flux de sédiments dépend de la pente du sol. Initialement, cette dépendance est linéaire. Pour mieux s’approcher des observations réelles, on souhaite la rendre non-linéaire par l’intermédiaire d’un p-Laplacien. Ce changement nécessite la conception d’une nouvelle méthode de résolution numérique, qui doit offrir non seulement une grande rapidité d’exécution, mais aussi des garanties de robustesse et de précision des résultats. De plus, elle doit être compatible avec une contrainte sur le taux d’érosion présente dans le modèle. L’ajout de l’écoulement de l’eau est aussi une sophistication récente du modèle physique de Dionisos. Il se traduit par l’introduction d’une nouvelle équation aux dérivées partielles, couplée à celle du transport. Là encore, il est important d’élaborer une stratégie de résolution numérique innovante, en ce sens qu’elle doit être à la fois performante et bien adaptée au fort couplage de ces deux phénomènes. L'objectif de cette thèse est de moderniser le cœur numérique de Dionisos afin de traiter plus adéquatement les processus physiques ci-dessus. On cherche notamment à élaborer un schéma implicite par rapport à toutes les inconnues qui étend et améliore le schéma actuel. Les méthodologies retenues serviront de base à la prochaine génération du calculateur. / An essential prerequisite to finding hydrocarbons is to trace back the history of a basin. To this end, geologists resort to a stratigraphic model, which simulates the evolution of sedimentary basins over large time scales (million years) and space (hundreds of kilometers). The Dionisos software, developed by IFPEN since 1992 and highly praised by oil companies, makes this type of calculation possible by accounting for two main physical processes: (1) the sediment transport due to gravity; (2) the flow of water from rivers and rains. The gravity transport is described by a diffusion equation in which the sediment flow depends on the slope of the ground. Initially, this dependence is linear. To better match experimental observations, we wish to make it nonlinear by means of a p-Laplacian. This upgrade requires to design a dedicated numerical method which should not only run fast but also provide guarantees of robustness and accuracy. In addition, it must be compatible with a constraint on the erosion rate in the present model. The water flow due to rivers and rains is also a recent enhancement brought to the physical model of Dionisos. This is achieved by introducing a new partial differential equation, coupled with that of sediment transport. Again, it is capital to work out an innovative numerical strategy, in the sense that it must be both efficient and well suited to the strong coupling of these two phenomena. The objective of this thesis is to rejuvenate the numerical schemes that lie at the heart of Dionisos in order to deal more adequately with the physical processes above. In particular, we look for an implicit scheme with respect to all the unknowns that extends and improves the current scheme. The methodologies investigated in this work will serve as a basis for the next generation of stratigraphic modelling softwares.

Ce travail est consacré à l'étude du comportement en temps grand d'équations aux dérivées partielles de type parabolique. Plus particulièrement, on s'intéresse à des équations non linéaires de type diffusion, qui interviennent dans de nombreux modèles issus de la physique (par exemple l'équation des milieux poreux) ou de la biologie (par exemple le modèle de Patlak-Keller-Segel pour la chimiotaxie). Dans les chapitres I et II on s'intéresse à une amélioration de l'inégalité de Sobolev à travers son inégalité duale, l'inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev, dans le cadre du laplacien ordinaire et du laplacien fractionnaire, respectivement. Le chapitre III est un passage en revue de l'inégalité d'Onofri, qui joue le rôle de l'inégalité de Sobolev pour la dimension deux. De nouveaux résultats sont apportés, dont certains sont étendus aux variétés riemanniennes au chapitre IV. Enfin, le chapitre V traite des états stationnaires de deux modèles paraboliques, utilisés pour l'étude du déplacement de foules et la modélisation en biologie (chimiotaxie). / This work is dedicated to the study of the large time behaviour of some parabolic type partial differential equations. More specifically, we look into non linear diffusion equations that appear in a number of models arising in physics (e.g. the porous medium equation) or biology (e.g. the Patlak-Keller-Segel model for chemotaxis)Chapters I and II deal with an improved Sobolev inequality by means of its dual, the Hardy-Littlewood-Sobolev inequality, in the framework of the standard and fractional Laplacian, respectively. Chapter III is a review of the Onofri inequality,which acts as the Sobolev inequality for dimension two. New results are provided, and some of them are extended to Riemannian manifolds in Chapter IV. Finally, Chapter V deals with the stationary states of two parabolic models, used for thestudy of crowd motion and modeling in biologie (chemotaxis).

L'étude porte sur la recherche systématique de solutions analytiques et numériques de l'équation de l'infiltration monodimensionnelle de l'eau dans le sol. Dans une premièere partie les différents approches quasianalytiques sont analysées. La solution en série PHILIP, retenue dans cette étude est améliorée et complétée. Elles est ensuite utilisée comme base de référence pour tester les solutions numériques. Dans une seconde partie, un grand nombre de modèles numériques sont comparés afin d'essayer de dégager un ou plusieurs schémas présentant un optimum vis à vis des critères de convergence , précision et coût économique.

Ce travail est consacré à l'étude du comportement en temps grand d'équations aux dérivées partielles de type parabolique. Plus particulièrement, on s'intéresse à des équations non linéaires de type diffusion, qui interviennent dans de nombreux modèles issus de la physique (par exemple l'équation des milieux poreux) ou de la biologie (par exemple le modèle de Patlak-Keller-Segel pour la chimiotaxie). Dans les chapitres I et II on s'intéresse à une amélioration de l'inégalité de Sobolev à travers son inégalité duale, l'inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev, dans le cadre du laplacien ordinaire et du laplacien fractionnaire, respectivement. Le chapitre III est un passage en revue de l'inégalité d'Onofri, qui joue le rôle de l'inégalité de Sobolev pour la dimension deux. De nouveaux résultats sont apportés, dont certains sont étendus aux variétés riemanniennes au chapitre IV. Enfin, le chapitre V traite des états stationnaires de deux modèles paraboliques, utilisés pour l'étude du déplacement de foules et la modélisation en biologie (chimiotaxie).

Ce travail de thèse s'intéresse à la préparation et à l'étude de systèmes limiteurs optiques avec des suspensions de nanotubes de carbone. Divers échantillons de nanotubes, sous forme de poudres et de suspensions, ont été caractérisés avec soin par différentes techniques spectroscopiques. Une étude Raman complète a en particulier été menée. Un décalage systématique des pics RBM<br />vers les hautes fréquences est mis en évidence lors de la mise en suspension. Ce décalage est attribué à une modification des interactions nanotubes-environnement.<br /><br />L'étude des propriétés de limitation optique des suspensions de nanotubes constitue le coeur de ce travail de thèse. Nous avons étudié l'influence de la structure des nano-objets sur les performances de limitation optique, démontrant l'importance du diamètre des nano-objets, ainsi que l'effet de la structure<br />électronique des nanotubes. Nous avons amélioré les performances des suspensions en proposant et validant un nouveau concept : la combinaison de deux matériaux non-linéaires, nanotubes et absorbeurs à deux photons au sein de la même cellule. Le système ainsi conçu présente des propriétés de limitation optique<br />large bande, spectrale et temporelle, fortement améliorées dans le régime nanoseconde, se rapprochant des performances requises pour une application opérationnelle.