La première partie de cette thèse (articles 1 et 2) est consacrée à l'étude du comportement asymptotique des solutions de dynamiques du second ordre avec dissipation evanescente. La deuxième partie de cette thése (articles 3 à 6) est consacrée à l'étude de plusieurs algorithmes de type proximal. Nous montrons que ces algorithmes convergent vers des solutions de certains problèmes de minimisation. Dans chaque cas, une application est donnée dans le cadre de la décomposition de domaine pour les EDP.

L’étude des modèles de mélanges est un champ très vaste en statistique. Nous présentons dans la première partie de la thèse les phi-divergences et les méthodes existantes qui construisent des estimateurs robustes basés sur des phi-divergences. Nous nous intéressons en particulier à la forme duale des phi-divergences et nous construisons un nouvel estimateur robuste basant sur cette formule. Nous étudions les propriétés asymptotiques de cet estimateur et faisons une comparaison numérique avec les méthodes existantes. Dans un seconde temps, nous introduisons un algorithme proximal dont l’objectif est de calculer itérativement des estimateurs basés sur des critères de divergences statistiques. La convergence de l’algorithme est étudiée et illustrée par différents exemples théoriques et sur des données simulées. Dans la deuxième partie de la thèse, nous construisons une nouvelle structure pour les modèles de mélanges à deux composantes dont l’une est inconnue. La nouvelle approche permet d’incorporer une information a priori linéaire de type moments ou L-moments. Nous étudions les propriétés asymptotiques des estimateurs proposés. Des simulations numériques sont présentées afin de montrer l’avantage de la nouvelle approche en comparaison avec les méthodes existantes qui ne considèrent pas d’information a priori à part une hypothèse de symétrie sur la composante inconnue. / The study of mixture models constitutes a large domain of research in statistics. In the first part of this work, we present phi-divergences and the existing methods which produce robust estimators. We are more particularly interested in the so-called dual formula of phi-divergences. We build a new robust estimator based on this formula. We study its asymptotic properties and give a numerical comparison with existing methods on simulated data. We also introduce a proximal-point algorithm whose aim is to calculate divergence-based estimators. We give some of the convergence properties of this algorithm and illustrate them on theoretical and simulated examples. In the second part of this thesis, we build a new structure for two-component mixture models where one component is unknown. The new approach permits to incorporate a prior linear information about the unknown component such as moment-type and L-moments constraints. We study the asymptotic properties of the proposed estimators. Several experimental results on simulated data are illustrated showing the advantage of the novel approach and the gain from using the prior information in comparison to existing methods which do not incorporate any prior information except for a symmetry assumption over the unknown component.

Cette thèse porte sur les décompositions en ondelettes M-bandes en arbre dual ainsi que sur leur application à l'analyse et la restauration d'images. Ces décompositions permettent d'obtenir une analyse multi-échelles, directionnelle et locale des images. Elles s'inscrivent donc dans la perspective de travaux récents visant à mieux représenter les informations géométriques (textures, contours) et les préserver lors de traitements. Ce travail s'appuie sur les travaux antérieurs de N. Kingsbury et I. Selesnick portant sur la construction de décompositions en ondelettes formant des paires de Hilbert (approchées). Ces auteurs ont établi divers résultats concernant le cas dyadique et l'une de nos contributions a été de montrer qu'il était possible de généraliser leurs conclusions et de montrer de nouveaux résultats dans le cas M-bandes. Les représentations proposées présentent de nombreux avantages notamment en termes d'invariance par translation de l'analyse et de sélectivité directionnelle. Nous avons établi les conditions que doivent satisfaire les bancs de filtres en arbre dual servant à l'analyse et à la synthèse des signaux traités. Nous avons également étudié les pré-traitements qu'il est nécessaire d'appliquer à des données discrètes. Ces décompositions introduisant typiquement une redondance d'un facteur 2 (dans le cas réel, et de 4 dans le cas complexe), elles constituent des trames à partir desquelles on peut calculer une reconstruction optimale. Ces nouvelles transformées ont finalement été généralisées aux cadres biorthogonal et complexe. Notre volonté d'appliquer ces outils d'analyse au débruitage de signaux nous a conduit à l'étude des propriétés statistiques des coefficients issus de la décomposition M-bandes en arbre dual d'un processus aléatoire stationnaire au sens large. Nous avons tout d'abord calculé les statistiques au second ordre de ces coefficients et nous avons étudié le rôle du post-traitement dans le calcul des corrélations. Quelques résultats asymptotiques concernant les corrélations d'un couple de coefficients primal/dual ont également été obtenus. Les inter-corrélations entre les ondelettes primale et duale jouant un rôle clé dans notre étude, nous en avons fourni des expressions exactes pour quelques familles d'ondelettes usuelles. Des simulations numériques nous ont aussi permis de valider nos résultats théoriques ainsi que d'évaluer la zone d'influence de la dépendance statistique induite. Pour démontrer l'efficacité de ces décompositions, nous avons été amenés à nous intéresser à deux types de problèmes : le débruitage et la déconvolution d'images. En ce qui concerne le débruitage, nous avons poursuivi deux buts principaux liés au cheminement de la thèse. Dans un premier temps, nous nous sommes attachés à montrer que la décomposition en arbre dual M-bandes apporte un gain significatif en terme de qualité, à la fois objective et subjective, par rapport à une décomposition en ondelettes classique, voire une décomposition dyadique en arbre dual. Dans un second temps, nous avons considéré le débruitage d'images multi-canaux pour lesquelles nous avons mis en place un estimateur statistique original reposant sur l'emploi du principe de Stein et permettant notamment de prendre en compte des voisinages quelconques (spatial, intercomposantes, inter-échelles, ...). Les problèmes de déconvolution d'images ont été appréhendés dans le cadre de méthodes variationnelles, en mettant en place un algorithme itératif, utilisant des outils récemment développés en analyse convexe. L'approche proposée permet de résoudre des problèmes inverses associés à des modèles probabilistes variés et elle est applicable à l'analyse M-bandes en arbre dual ainsi qu'à tout autre type de représentation à l'aide d'une trame.

Nous étudions la convergence de systèmes dynamiques vers des équilibres. En particulier, nous nous intéressons à deux types d'équilibres. D'une part, les solutions d'inéquations variationnelles sous contraintes qui interviennent aussi dans la résolution de problèmes d'optimisation hiérarchique. D'autre part l'état stable d'un système dynamique, c'est à dire l'état où l'énergie du système est nulle. Cette thèse est divisée en deux parties principales, chacune focalisée sur la recherche d'un de ces équilibres. Dans la première partie nous étudions une classe d'algorithmes explicite-implicites pour résoudre certaines inéquations variationnelles sous contraintes. Nous introduisons un algorithme proximal-gradient pénalisé, "splitting forward-backward penalty scheme". Ensuite, nous prouvons sa convergence ergodique faible vers un équilibre dans le cas général d'un opérateur maximal monotone, et sa convergence forte vers l'unique équilibre si l'opérateur est de plus fortement monotone. Nous appliquons aussi notre algorithme pour résoudre des problèmes d'optimisation sous contrainte ou hiérarchique dont les fonctions objectif et de pénalisation sont formées d'une partie lisse et d'une autre non lisse. En effet, nous démontrons la convergence faible de l'algorithme vers un optimum hiérarchique lorsque l'opérateur est le sous-différentiel d'une fonction convexe semi-continue inférieurement et propre. Nous généralisons ainsi plusieurs algorithmes connus et nous retrouvons leurs résultats de convergence en affaiblissant les hypothèses utilisées dans nombre d'entre eux.Dans la deuxième partie, nous étudions l'action d'un contrôle interne local sur la stabilisation indirecte d'un système dynamique couplé formé de trois équations d'ondes, le système de Bresse. Sous la condition d'égalité des vitesses de propagation des ondes, nous montrons la stabilité exponentielle du système. En revanche, quand les vitesses sont différentes, nous prouvons sa stabilité polynomiale et nous établissons un nouveau taux de décroissance polynomial de l'énergie. Ceci étend des résultats présents dans la littérature au sens où le contrôle est localement distribué (et non pas appliqué à tout le domaine) et nous améliorons le taux de décroissance polynomial de l'énergie pour des conditions au bord de type Dirichlet et Dirichlet-Neumann. / We study the convergence of dynamical systems towards equilibria. In particular, we are interested in two types of equilibria. On one hand solutions of constrained variational inequations that are also involved in the resolution of hierarchical optimization problems. On the other hand the stable state of a dynamical system, i.e. the state when the energy of the system is zero. The thesis is divided into two parts, each focused on one of these equilibria. In the first part, we study a class of forward-backward algorithms for solving constrained variational inequalities. We consider a splitting forward-backward penalty scheme. We prove the weak ergodic convergence of the algorithm to an equilibrium for a general maximal monotone operator, and the strong convergence to the unique equilibrium if the operator is an addition strongly monotone. We also apply our algorithm for solving constrained or hierarchical optimization problems whose objective and penalization functions are formed of a smooth and a non-smooth part. In fact, we show the weak convergence to a hierarchical optimum when the operator is the subdifferential of a closed convex proper function. We then generalize several known algorithms and we find their convergence results by weakening assumptions used in a number of them. In the second part, we study the action of a locally internal dissipation law in the stabilization of a linear dynamical system coupling three wave equations, the Bresse system. Under the equal speed wave propagation condition we show that the system is exponentially stable. Otherwise, when the speeds are different, we prove the polynomial stability and establish a new polynomial energy decay rate. This extends results presented in the literature in the sense that the dissipation law is locally distributed (and not applied in the whole domain) and we improve the polynomial energy decay rate with both types of boundary conditions, Dirichlet and Dirichlet-Neumann.

Le but de cette thèse est de développer de nouvelles techniques d'éclatement d'opérateurs multivoques pour résoudre des problèmes d'inclusion monotone structurés dans des espaces hilbertiens. La dualité au sens des inclusions monotones tient une place essentielle dans ce travail et nous permet d'obtenir des décompositions qui ne seraient pas disponibles via une approche purement primale. Nous développons plusieurs algorithmes à métrique fixe ou variable dans un cadre unifié, et montrons en particulier que de nombreuses méthodes existantes sont des cas particuliers de la méthode explicite--implicite formulée dans des espaces produits adéquats. Les méthodes proposées sont appliquées aux problèmes d'inéquations variationnelles, aux problèmes de minimisation, aux problèmes inverses, aux problèmes de traitement du signal, aux problèmes d'admissibilité et aux problèmes de meilleure approximation. Dans un second temps, nous introduisons une notion de suite quasi-fejérienne à métrique variable et analysons ses propriétés asymptotiques. Ces résultats nous permettent d'obtenir des extensions de méthodes d'éclatement aux problèmes où la métrique varie à chaque itération.

La première partie de cette thèse (articles I et II) est consacrée à l'étude du comportement asymptotique des solutions d'un système dynamique du second ordre avec dissipation évanescente. Le système dynamique est étudié dans sa version continue et dans sa version discrète via un algorithme.La deuxième partie de cette thèse (articles III à VI) est consacrée à l'étude de plusieurs algorithmes de type proximal. Nous montrons que ces algorithmes convergent vers des solutions de certains problèmes de minimisation. Dans chaque cas, une application est donnée dans le cadre de la décomposition de domaine pour les EDP. / The first part of this thesis is devoted to the study of the asymptotic behavior of solutions of a second order dynamic system with vanishing dissipation. The dynamic system is studied in its continuous version and in its discrete version via an algorithm.The second part is about the study of several proximal-type algorithms. We show that these algorithms converge to solutions of some minimization problems. In each case, an application is given in the area of domain decomposition for PDE's.

L’estimation des matrices origine-destination (OD) est un sujet de recherche important depuis les années 1950. En effet, ces tableaux à deux entrées recensent la demande de transport d'une zone géographique donnée et sont de ce fait un élément clé de l'ingénierie du trafic. Historiquement, les seules données disponibles pour leur estimation par les statistiques étaient les comptages de véhicules par les boucles magnétiques. Ce travail s'inscrit alors dans le contexte de l'installation à Brisbane de plus de 600 détecteurs Bluetooth qui ont la capacité de détecter et d'identifier les appareils électroniques équipés de cette technologie.Dans un premier temps, il explore la possibilité offerte par ces détecteurs pour les applications en ingénierie du transport en caractérisant ces données et leurs bruits. Ce projet aboutit, à l'issue de cette étude, à une méthode de reconstruction des trajectoires des véhicules équipés du Bluetooth à partir de ces seules données. Dans un second temps, en partant de l'hypothèse que l'accès à des échantillons importants de trajectoires va se démocratiser, cette thèse propose d'étendre la notion de matrice OD à celle de matrice OD par lien afin de combiner la description de la demande avec celle de l'utilisation du réseau. Reposant sur les derniers outils méthodologies développés en optimisation convexe, nous proposons une méthode d'estimation de ces matrices à partir des trajectoires inférées par Bluetooth et des comptages routiers.A partir de peu d'hypothèses, il est possible d'inférer ces nouvelles matrices pour l'ensemble des utilisateurs d'un réseau routier (indépendamment de leur équipement en nouvelles technologies). Ce travail se distingue ainsi des méthodes traditionnelles d'estimation qui reposaient sur des étapes successives et indépendantes d'inférence et de modélisation. / Origin Destination matrix estimation is a critical problem of the Transportation field since the fifties. OD matrix is a two-entry table taking census of the zone-to-zone traffic of a geographic area. This traffic description tools is therefore paramount for traffic engineering applications. Traditionally, the OD matrix estimation has solely been based on traffic counts collected by networks of magnetic loops. This thesis takes place in a context with over 600 Bluetooth detectors installed in the City of Brisbane. These detectors permit in-car Bluetooth device detection and thus vehicle identification.This manuscript explores first, the potentialities of Bluetooth detectors for Transport Engineering applications by characterising the data, their noises and biases. This leads to propose a new methodology for Bluetooth equipped vehicle trajectory reconstruction. In a second step, based on the idea that probe trajectories will become more and more available by means of new technologies, this thesis proposes to extend the concept of OD matrix to the one of link dependent origin destination matrix that describes simultaneously both the traffic demand and the usage of the network. The problem of LOD matrix estimation is formulated as a minimisation problem based on probe trajectories and traffic counts and is then solved thanks to the latest advances in nonsmooth convex optimisation.This thesis demonstrates that, with few hypothesis, it is possible to retrieve the LOD matrix for the whole set of users in a road network. It is thus different from traditional OD matrix estimation approaches that relied on successive steps of modelling and of statistical inferences.