La motivation principale de cette thèse est l'étude du comportement en temps grand des solutions non-bornées d'équations de Hamilton-Jacobi visqueuses dans RN en présence d'un terme d'Ornstein-Uhlenbeck. Nous considérons la même question dans le cas d'une équation de Hamilton-Jacobi du premier ordre. Dans le premier cas, qui constitue le cœur de la thèse, nous généralisons les résultats de Fujita, Ishii et Loreti (2006) dans plusieurs directions. La première est de considérer des opérateurs de diffusion plus généraux en remplaçant le Laplacien par une matrice de diffusion quelconque. Nous considérons ensuite des opérateurs non-locaux intégro-différentiels de type Laplacien fractionnaire. Le second type d'extension concerne le Hamiltonien qui peut dépendre de x et est seulement supposé sous-linéaire par rapport au gradient. / The main aim of this thesis is to study large time behavior of unbounded solutions of viscous Hamilton-Jacobi equations in RN in presence of an Ornstein-Uhlenbeck drift. We also consider the same issue for a first order Hamilton-Jacobi equation. In the first case, which is the core of the thesis, we generalize the results obtained by Fujita, Ishii and Loreti (2006) in several directions. The first one is to consider more general operators. We first replace the Laplacian by a general diffusion matrix and then consider a non-local integro-differential operator of fractional Laplacian type. The second kind of extension is to deal with more general Hamiltonians which are merely sublinear.

La première partie de cette thèse (articles I et II) est consacrée à l'étude du comportement asymptotique des solutions d'un système dynamique du second ordre avec dissipation évanescente. Le système dynamique est étudié dans sa version continue et dans sa version discrète via un algorithme.La deuxième partie de cette thèse (articles III à VI) est consacrée à l'étude de plusieurs algorithmes de type proximal. Nous montrons que ces algorithmes convergent vers des solutions de certains problèmes de minimisation. Dans chaque cas, une application est donnée dans le cadre de la décomposition de domaine pour les EDP. / The first part of this thesis is devoted to the study of the asymptotic behavior of solutions of a second order dynamic system with vanishing dissipation. The dynamic system is studied in its continuous version and in its discrete version via an algorithm.The second part is about the study of several proximal-type algorithms. We show that these algorithms converge to solutions of some minimization problems. In each case, an application is given in the area of domain decomposition for PDE's.

Dans cette thèse nous étudions l'influence de l'environnement sur le comportement d'une cellule dans deux situations différentes. Dans chacune de ces deux situations, apparaît un couplage non-linéaire sur le champ d'advection lié à un terme non-local provenant du bord du domaine. Dans une première partie, nous modélisons la polarisation cellulaire durant la conjugaison de la cellule de levure. Nous utilisons un modèle de type convection-diffusion avec un terme de convection non-linéaire et non-local. Ce modèle présente des similarités avec le modèle de Keller-Segel, la source du potentiel attractif étant sur le bord du domaine. Nous étudions le cas de la dimension un en utilisant des inégalités de Sobolev logarithmiques et HWI. En nous appuyant sur un raisonnement heuristique, nous ramenons l'étude de notre modèle en dimension deux au bord du domaine. Nous validons le modèle à l'aide des résultats expérimentaux obtenus par M. Piel en utilisant un bruit dynamique dans nos simulations numériques. Nous étudions ensuite le problème du dialogue cellulaire entre cellules de levure de sexe opposé. Dans une seconde partie, nous étudions la réaction immunitaire durant l'athérosclérose. Nous construisons puis développons un modèle structuré en âge pour décrire l'inflammation. Pour des paramètres particuliers, nous déterminons le comportement en temps long de notre système en utilisant une fonctionnelle de Lyapunov. / We investigate the influence of the environment on the behaviour of a cell in two different situations. In each of these situations, there is a non-linear coupling of the drift due to a non-local term coming from the boundary of the domain.The first part focuses on the modeling of cell polarisation during the mating of yeast. We use a convection-diffusion model with a non-linear and non-local drift. This model is similar to the Keller-Segel model, the source of the attractive potential comes from the boundary of the domain. We study the long time behaviour of the one-dimensional case by using logarithmic Sobolev and HWI inequalities.By relying on a heuristic, we reduce the study of our model in the two-dimensional case to the boundary of the domain. We validate the model with data provided by M. Piel. This validation requires adding a dynamical noise in our numerical simulations. We study then the cell discussion between yeast of opposite gender. In the second part we study the immune response in atherosclerosis. We build and then develop an age structured model in order to describe the inflammation. For specific parameters, we investigate the long time behaviour of our system by using a Lyapunov functional.

Dans cette thèse, nous étudions l'approximation et la stabilisation de certaines équations d'évolution, en utilisant la théorie des semi-groups et l'analyse spectrale. Cette thèse est divisée en deux parties principales. Dans la première partie, comme dans [3, 4], nous considérons l'approximation des équations d'évolution du deuxième ordre modélisant les vibrations de structures élastiques. Il est bien connu que le système approché par éléments finis ou différences finies n'est pas uniformément exponentiellement ou polynomialement stable par rapport au paramètre de discrétisation, même si le système continu a cette propriété. Dans la première partie, notre objectif est d'amortir les modes parasites à haute fréquence en introduisant des termes de viscosité numérique dans le schéma d'approximation. Avec ces termes de viscosité, nous montrons la décroissance exponentielle ou polynomiale du schéma discret lorsque le problème continu a une telle décroissance et quand le spectre de l'opérateur spatial associé au problème conservatif satisfait la condition du gap généralisée. En utilisant le Théorème de Trotter-Kato, nous montrons la convergence de la solution discrète vers la solution continue. Quelques exemples sont également présentés. / In this thesis, we study the approximation and stabilization of some evolution equations, using semigroup theory and some spectral analysis. This Ph.D. thesis is divided into two main parts. In the first part, as in [3, 4], we consider the approximation of second order evolution equations modeling the vibrations of elastic structures. It is well known that the approximated system by finite elements or finite differences is not uniformly exponentially or polynomially stable with respect to the discretization parameter, even if the continuous system has this property. Therefore, our goal is to damp the spurious high frequency modes by introducing numerical viscosity terms in the approximation scheme. With these viscosity terms, we show the exponential or polynomial decay of the discrete scheme when the continuous problem has such a decay and when the spectrum of the spatial operator associated with the undamped problem satisfies the generalized gap condition. By using the Trotter-Kato Theorem, we further show the convergence of the discrete solution to the continuous one. Some illustrative examples are also presented.

L'urne de Polya est l'exemple typique de processus stochastique avec renforcement. La limite presque sûre (p.s.) en temps existe, est aléatoire et non dégénérée. L'urne de Friedman est une généralisation naturelle dont la limite (proportion asymptotique en temps) n'est plus aléatoire. De nombreux modèles aléatoires sont fondés sur des processus de renforcement comme pour la conception d'essais cliniques au design adaptatif, en économie, ou pour des algorithmes stochastiques à des fins d'optimisation ou d'estimation non paramétrique. Dans ce mémoire, inspirés par de nombreux articles récents, nous introduisons une nouvelle famille de systèmes (finis) de processus de renforcement où l'interaction se traduit par un phénomène de renforcement collectif additif, de type champ moyen. Les deux taux de renforcement (l'un spécifique à chaque composante, l'autre collectif et commun à toutes les composantes) sont possiblement différents. Nous prouvons deux types de résultats mathématiques. Différents régimes de paramètres doivent être considérés : type de la règle (brièvement, Polya/Friedman), taux du renforcement. Nous prouvons l'existence d'une limite p.s. coommune à toutes les composantes du système (synchronisation). La nature de la limite (aléatoire/déterministe) est étudiée en fonction du régime de paramètres. Nous étudions également les fluctuations en prouvant des théorèmes centraux de la limite. Les changements d'échelle varient en fonction du régime considéré. Différentes vitesses de convergence sont ainsi établies. / The Polya urn is the paradigmatic example of a reinforced stochastic process. It leads to a random (non degenerated) almost sure (a.s.) time-limit.The Friedman urn is a natural generalization whose a.s. time-limit is not random anymore. Many stochastic models for applications are based on reinforced processes, like urns with their use in adaptive design for clinical trials or economy, stochastic algorithms with their use in non parametric estimation or optimisation. In this work, in the stream of previous recent works, we introduce a new family of (finite) systems of reinforced stochastic processes, interacting through an additional collective reinforcement of mean field type. The two reinforcement rules strengths (one componentwise, one collective) are tuned through (possibly) different rates. In the case the reinforcement rates are like 1/n, these reinforcements are of Polya or Friedman type as in urn contexts and may thus lead to limits which may be random or not. We state two kind of mathematical results. Different parameter regimes needs to be considered: type of reinforcement rule (Polya/Friedman), strength of the reinforcement. We study the time-asymptotics and prove that a.s. convergence always holds. Moreover all the components share the same time-limit (synchronization). The nature of the limit (random/deterministic) according to the parameters' regime is considered. We then study fluctuations by proving central limit theorems. Scaling coefficients vary according to the regime considered. This gives insights into the different rates of convergence.

Cette thèse est consacrée à tester la présence de changements dans les paramètres d'un modèle de régression non-linéaire ainsi que dans un modèle de régression linéaire en très grande dimension. Tout d'abord, nous proposons une méthode basée sur la vraisemblance empirique pour tester la présence de changements dans les paramètres d'un modèle de régression non-linéaire. Sous l'hypothèse nulle, nous prouvons la consistance et la vitesse de convergence des estimateurs des paramètres de régression. La loi asymptotique de la statistique de test sous l'hypothèse nulle nous permet de trouver la valeur critique asymptotique. D'autre part, nous prouvons que la puissance asymptotique de la statistique de test proposée est égale à 1. Le modèle épidémique avec deux points de rupture est également étudié. Ensuite, on s'intéresse à construire les régions de confiance asymptotiques pour la différence entre les paramètres de deux phases d'un modèle non-linéaire avec des regresseurs aléatoires en utilisant la méthode de vraisemblance empirique. On montre que le rapport de la vraisemblance empirique a une distribution asymptotique χ2. La méthode de vraisemblance empirique est également utilisée pour construire les régions de confiance pour la différence entre les paramètres des deux phases d'un modèle non-linéaire avec des variables de réponse manquantes au hasard (Missing At Random (MAR)). Afin de construire les régions de confiance du paramètre en question, on propose trois statistiques de vraisemblance empirique : la vraisemblance empirique basée sur les données cas-complète, la vraisemblance empirique pondérée et la vraisemblance empirique par des valeurs imputées. On prouve que les trois rapports de vraisemblance empirique ont une distribution asymptotique χ2. Un autre but de cette thèse est de tester la présence d'un changement dans les coefficients d'un modèle linéaire en grande dimension, où le nombre des variables du modèle peut augmenter avec la taille de l'échantillon. Ce qui conduit à tester l'hypothèse nulle de non-changement contre l'hypothèse alternative d'un seul changement dans les coefficients de régression. Basée sur les comportements asymptotiques de la statistique de rapport de vraisemblance empirique, on propose une simple statistique de test qui sera utilisée facilement dans la pratique. La normalité asymptotique de la statistique de test proposée sous l'hypothèse nulle est prouvée. Sous l'hypothèse alternative, la statistique de test diverge / In this PHD thesis, we propose a nonparametric method based on the empirical likelihood for detecting the change in the parameters of nonlinear regression models and the change in the coefficient of linear regression models, when the number of model variables may increase as the sample size increases. Firstly, we test the null hypothesis of no-change against the alternative of one change in the regression parameters. Under null hypothesis, the consistency and the convergence rate of the regression parameter estimators are proved. The asymptotic distribution of the test statistic under the null hypothesis is obtained, which allows to find the asymptotic critical value. On the other hand, we prove that the proposed test statistic has the asymptotic power equal to 1. The epidemic model, a particular case of model with two change-points, under the alternative hypothesis, is also studied. Afterwards, we use the empirical likelihood method for constructing the confidence regions for the difference between the parameters of a two-phases nonlinear model with random design. We show that the empirical likelihood ratio has an asymptotic χ2 distribu- tion. Empirical likelihood method is also used to construct the confidence regions for the difference between the parameters of a two-phases nonlinear model with response variables missing at randoms (MAR). In order to construct the confidence regions of the parameter in question, we propose three empirical likelihood statistics : empirical likelihood based on complete-case data, weighted empirical likelihood and empirical likelihood with imputed va- lues. We prove that all three empirical likelihood ratios have asymptotically χ2 distributions. An another aim for this thesis is to test the change in the coefficient of linear regres- sion models for high-dimensional model. This amounts to testing the null hypothesis of no change against the alternative of one change in the regression coefficients. Based on the theoretical asymptotic behaviour of the empirical likelihood ratio statistic, we propose, for a deterministic design, a simpler test statistic, easier to use in practice. The asymptotic normality of the proposed test statistic under the null hypothesis is proved, a result which is different from the χ2 law for a model with a fixed variable number. Under alternative hypothesis, the test statistic diverges

Ce travail de thèse affronte l'étude de divers problèmes surgissant de la mécanique du milieu continu. La première partie du manuscrit est dédiée à l'étude mathématique de certains modèles à interfaces diffuses qui décrivent la séparation de phase de mixtures binaires (par exemple, le grossissement de la taille des grains dans un alliage ou bien l'écoulement des fluides polymériques bistables). La seconde partie examine le fonctionnement de certains dispositifs électroniques, comme les jonctions p-n, sous l'effet de déformations mécaniques. La troisième partie présente un model pour la prédiction de la durée de vie pour des métaux polycristallins en régime de chargement cyclique. Un modèle typique de séparation de phase est le modèle H, qui est constitué d'une équation de Cahn-Hilliard convective couplée avec le système de Navier-Stokes par la force dite de Korteweg. On considère des variations de ce modèle qui tiennent compte, par exemple, d'une viscosité du fluide dépendante du cisaillement ou de constituants réagissant chimiquement entre eux. Tout d'abord, on étudie des questions de base comme l'existence, l'unicité et la régularité des solutions. Par la suite, on analyse le comportement asymptotique des systèmes dynamiques infini-dimensionnels générés par les systèmes étudiés. Plus précisément, on démontre l'existence d'attracteurs globaux, d'attracteurs exponentiels, d'attracteurs pullback et d'attracteurs de trajectoires pour les systèmes dynamique correspondants. On discute aussi la robustesse de ces ensembles invariants par rapport à des perturbations de certains paramètres du modèle. Nos résultats constituent une extension naturelle des propriétés connues pour le cas de l'écoulement d'un fluide simple qui représentent le cas de référence pour toute nouvelle technique proposée en littérature. Enfin, comme description plus précise des phénomènes de séparation de phase, on considère une équation de Cahn-Hilliard modélisant des interactions non-locales à travers un noyau singulier. En ce cas, des résultats d'existence et de régularité sont donnés. La seconde partie de cette thèse est dédiée à l'étude des effets de couplage entre les propriétés mécaniques et électroniques des semi-conducteurs. La modélisation des dispositifs électroniques choisie se base sur le modèle de diffusion et transport pour les électrons et les trous. Le dispositif est décrit comme un continu macroscopique standard avec, pour objectif, la compréhension des effets des déformations sur les propriétés électroniques du semi-conducteur et, en particulier, sur la caractéristique d'une jonction p-n. Ceci permet de proposer une formulation variationelle du système classique de diffusion et transport et de dériver un modèle thermodynamiquement consistent pour les effets électromécaniques couplés. Les déformations ont des effets en particulier sur les coefficients de mobilité et sur le terme de génération et recombinaison des porteurs. Deux solutions approximées sont étudiées : une développé à partir d'hypothèses physiques et l'autre qui comporte une expansion asymptotique. Ces résultats constituent une étape préalable pour la compréhension des dispositifs électroniques flexibles. La dernière partie de la thèse présente une application de la théorie des systèmes dynamiques à la prédiction de la durée de vie des métaux polycristallins sous chargement périodique pour grand nombre de cycle de chargement. Un nouveaux model est proposé et ses prévisions comparées avec les résultats connus dans la littérature.

Ce mémoire est divisé en deux parties : Partie 1 : Nous obtenons des résultats d'existence pour des problèmes au limite mettant en jeu des opérateurs polyharmoniques conformément invariants. Nous nous plaçons indifféremment dans le cas d'une variété riemannienne avec ou sans bord. En particulier, nous montrons que la meilleure constante de Sobolev sur les variétés est exactement la constante euclidienne. En conséquence, nous montrons l'existence d'une solution d'énergie minimale lorsque la fonctionnelle descend en-dessous d'un seuil quantifié. Puis nous montrons l'existence de solutions de haute énergie en utilisant la méthode topologique de Coron. Nous généralisons la décomposition des suites de Palais-Smale comme somme de bulles sur une variété avec ou sans bord : il s'agit d'un résultat dans l'esprit du célèbre théorème de Struwe en 1984. Nous obtenons aussi une version du lemme de compacité-concentration de Pierre-Louis Lions sur les variétés. Partie 2 : Dans cette partie, nous effectuons une analyse de blow-up pour une équation de Hardy-Sobolev à croissance critique et à singularité évanescente au bord. En supposant que l'équation limite n'admet pas de solution minimisante, nous étudions le comportement asymptotique d’une suite de solutions de l'équation perturbée. Ici, la perturbation est la singularité à l'origine. Dans un premier temps, nous obtenons un contrôle ponctuel optimal de la suite de solutions. Dans un second temps, nous obtenons des informations précises sur le point d'explosion en utilisant une identité de Pohozaev / This memoir can be divided into two parts: Part 1: In this part we obtain some existence results for conformally invariant polyharmonic boundary value problems on a compact Riemannian manifold with or without boundary. In particular we show that the best constant of the Sobolev embedding on manifolds is same as the euclidean one, and as a consequence prove the existence of minimum energy solutions when the energy functionnal goes below a quantified threshold. Next we show the existence of high energy solution using the topological method of Coron. We generalize the decomposition of Palais Smale sequences as a sum of bubble on manifolds with or without boundary, a result in the spirit of Struwe's celebrated 1984 result and also an extension of PL Lions concentration compactness result on manifolds. Part2: In this part we do a blow-up analysis of the nonlinear elliptic Hardy-Sobolev equation with critical growth and vanishing boundary singularity. We assume that our equation does not admit minimising solutions, and study the asymptotic behaviour of a sequence of solution to the perturbed equation. Here the perturbation is the singularity at the origin. First we obtain optimal pointwise controlon the sequence and then obtain more precise informations on the localization of the blow-up point using the Pohozaev identity

Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés aux équations différentielles fractionnaires. Nous avons commencé par l'étude d'une équation différentielle fractionnaire en temps. Ensuite, nous avons étudié trois systèmes fractionnaires non linéaires ; le premier avec un Laplacien fractionnaire et les autres avec une dérivée fractionnaire en temps définie au sens de Caputo. Dans le premier chapitre, nous avons établi les propriétés qualitatives de la solution d'une équation différentielle fractionnaire en temps qui modélise l'évolution d'une certaine espèce. Plus précisément, l'existence et l'unicité de la solution globale sont démontrées pour certaines valeurs de la condition initiale. Dans ce cas, nous avons obtenu le comportement asymptotique de la solution en t^α. Sous une autre condition sur la donnée initiale, la solution explose en temps fini. Le profil de la solution et l'estimation du temps d'explosion sont établis et une confirmation numérique de ces résultats est présentée. Les chapitres 4, 5 et 6 sont consacrés à l'étude théorique de trois systèmes fractionnaires : un système de la diffusion anormale qui décrit la propagation d'une épidémie infectieuse de type SIR dans une population confinée, le Brusselator avec une dérivée fractionnaire en temps et un système fractionnaire en temps avec une loi de balance. Pour chaque système, on présente l'existence globale et le comportement asymptotique des solutions. L'existence et l'unicité de la solution locale pour les trois systèmes sont obtenues par le théorème de point fixe de Banach. Cependant, le comportement asymptotique est établi par des techniques différentes : le comportement asymptotique de la solution du premier système est démontré en se basant sur les estimations du semi-groupe et le théorème d'injection de Sobolev. Concernant le Brusselator fractionnaire, la technique utilisée s'appuie sur un argument de feedback. Finalement, un résultat de régularité maximale est utilisé pour l'étude du dernier système. / In this thesis, we are interested in fractional differential equations. We begin by studying a time fractional differential equation. Then we study three fractional nonlinear systems ; the first system contains a fractional Laplacian, while the others contain a time fractional derivative in the sense of Caputo. In the second chapter, we establish the qualitative properties of the solution of a time fractional equation which describes the evolution of certain species. The existence and uniqueness of the global solution are proved for certain values of the initial condition. In this case, the asymptotic behavior of the solution is dominated by t^α. Under another condition, the solution blows-up in a finite time. The solution profile and the blow-up time estimate are established and a numerical confirmation of these results is presented. The chapters 4, 5 and 6 are dedicated to the study of three fractional systems : an anomalous diffusion system which describes the propagation of an infectious disease in a confined population with a SIR type, the time fractional Brusselator and a time fractional reaction-diffusion system with a balance law. The study includes the global existence and the asymptotic behavior. The existence and uniqueness of the local solution for the three systems are obtained by the Banach fixed point theorem. However, the asymptotic behavior is investigated by different techniques. For the first system our results are proved using semi-group estimates and the Sobolev embedding theorem. Concerned the time fractional Brusselator, the used technique is based on an argument of feedback. Finally, a maximal regularity result is used for the last system.

Cette thèse porte sur l'analyse mathématique des modèles de compétition de plusieurs espèces microbiennes sur une seule ressource dans un chémostat. L'objectif est de modéliser et démontrer la coexistence des espèces par divers mécanismes pour mieux rendre compte de la biodiversité que l'on trouve dans la nature, ainsi que dans les bioréacteurs. Nous nous somme intéressés principalement à trois mécanismes de coexistence : 1. La compétition inter-spécifique entre les populations de micro-organismes et intra-spécifiques entre les individus de la même espèce. 2. La floculation où l'espèce la plus compétitive inhibe sa propre croissance par la formation des flocs pour pouvoir coexister avec les autres espèces. En fait, ces bactéries en flocs consomment moins du substrat que les bactéries isolées puisqu'elles ont un moins bon accès au substrat, étant donné que cet accès au substrat est proportionnel à la surface extérieur du floc. 3. La densité-dépendance dont le modèle peut être construit à partir du modèle de floculation, en supposant que la dynamique de floculation est plus rapide que la croissance des espèces. Dans ce modèle densité-dépendant le taux de croissance dépend non seulement de la densité du substrat, mais aussi, de la densité de la biomasse, et le taux de prélèvement de la biomasse n'est pas constant mais dépend aussi de la densité de la biomasse. Enfin, nous avons étudié un modèle de digestion anaérobie à trois étapes avec dégradation enzymatique du substrat (matière organique), dont une partie peut être sous forme particulaire. L'analyse mathématique montre que le modèle peut présenter la quadri-stabilité avec lessivage d'aucune, d'une ou de deux espèces selon la condition initiale. L'étude mathématique du comportement qualitatif de différents modèles du chémostat, nous a permis de mieux comprendre la compétition et la coexistence des espèces microbiennes.