Cette thèse a pour sujet l'étude qualitative de la dynamique des équations des ondes amorties sur un domaine borné Ω de R^d. Outre un chapitre de présentation des notions de stabilité de la dynamique et des travaux antérieurs, cette thèse s'articule autour de deux parties principales.<br />Dans la première partie, on démontre, en dimension d=1, que la propriété de Morse-Smale est générique par rapport à la non-linéarité, pour l'équation des ondes avec amortissement interne γ(x) (EOAI) et celle avec amortissement sur le bord g(x)δ_{x sur le bord} (EOAB). La démonstration utilise des propriétés fines du comportement asymptotique des fonctions t--->u(x_0,t), où u est une solution bornée des équations (EOAI), (EOAB) ou de leurs équations adjointes et où x_0 est un point fixé de Ω. Ce comportement asymptotique se déduit principalement des propriétés spectrales de l'opérateur linéarisé autour d'un point d'équilibre. En particulier, les vecteurs propres de cet opérateur forment une base de Riesz et ses valeurs propres sont génériquement simples.<br />La deuxième partie de cette thèse concerne l'étude de la convergence de la dynamique de l'équation (EOAI) vers celle de l'équation (EOAB) quand la suite d'amortissements internes γ_n(x) tend vers g(x)δ_{x sur le bord} au sens des distributions. En dimension d=1, on montre que la dynamique de (EOAI) converge vers celle de (EOAB). En dimension d>1, des résultats un peu plus faibles de convergence des attracteurs sont obtenus. La perturbation étudiée ici est irrégulière et on doit donc généraliser certains théorèmes classiques de stabilité. Pour obtenir les meilleurs résultats de convergence, il faut montrer que les semi-groupes linéaires associés à (EOAI) satisfont à une décroissance de type exponentiel ||e^{A_nt}||X
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00011715 |
| Date | 08 December 2005 |
| Creators | Joly, Romain |
| Publisher | Université Paris Sud - Paris XI |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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